青岛青大附中九年级数学上册第二十三章《旋转》经典题(答案解析)

一、选择题
1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，点D 在AC 边上．将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD ′，且D ′、D 、B 三点在同一条直线上，则∠ABD 的大小为（ ）
A ．15°
B ．22.5°
C ．25°
D ．30°B
解析：B
【分析】 由旋转的性质可得∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，即可求∠ABD 的度数．
【详解】
解：∵将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD′，
∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，
∴∠AD'D=12
(180°-45°)=67.5°，∠D'AB=90°， ∴∠ABD=90°-67.5°=22.5°；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识；熟练运用旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
2．下列图形一定不是中心对称图形的是（ ）
A ．正六边形
B ．线段()213y x x =-+≤≤
C ．圆
D ．抛物线2y x x =+D
解析：D
【分析】
根据中心对称图形的定义即可得．
【详解】
A 、正六边形是中心对称图形，此项不符题意；
B 、线段()213y x x =-+≤≤是中心对称图形，对称中心是点(2,0)，此项不符题意；
C 、圆是中心对称图形，此项不符题意；
D 、抛物线2y x x =+是关于直线12x =-轴对称的，不是中心对称图形，此项符合题意； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形、抛物线的图象等知识点，熟练掌握概念是解题关键． 3．如图，正方形ABCD 内一点P ，5AB =，2BP =，把ABP △绕点B 顺时针旋转90°得到CBP '，则PP '的长为（ ）
A ．22
B ．23
C ．3
D ．32A
解析：A 【分析】 由△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBP'，根据旋转的性质得BP=BP′，∠PBP′=90，则△BPP′为等腰直角三角形，由此得到PP′=2BP ，即可得到答案．．
【详解】
解：解：∵△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBP'，
而四边形ABCD 为正方形，BA=BC ，
∴BP=BP′，∠PBP′=90，
∴△BPP′为等腰直角三角形，而BP=2，
∴PP′=2BP=22．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性质． 4．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 旋转，得到正方形CEFG ，在旋转过程中，则线段AE 的最小值为（ ）
A 32
B 2-1
C ．0．5
D 51-B 解析：B
【分析】 分析题易可知点E 的运动轨迹是以DC 为半径以C 为圆心的圆，当A ，E ，C 三点共线且E
在正方形ABCD 内部的时候AE 值最小．
【详解】
解：如图所示，连接AC
∵正方形边长为1
∴AC=2
当A ，E ，C 三点共线且E 在正方形ABCD 内部的时候AE 值最小 ∴AE=AC-CE=2-1
故选：B
5．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2020次得到正方形202020202020OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2020B 的坐标为（ ）
A ．(﹣1，1)
B ．(2，
C ．(﹣1，﹣1)
D ．(02)-，C
解析：C
【分析】 根据图形可知：点B 在以O 为圆心，以OB 为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
【详解】
解：如图，
∵四边形OABC是正方形，且OA=1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB=2，
由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3= (2)
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，
∴B1（0，2），B2（-1，1），B3（-2，0），B4（-1，-1），…，
发现是8次一循环，所以2020÷8=252…4，
∴点B2020的坐标为（-1，-1）
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
6．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）
A．3种B．4种C．5种D．6种C
解析：C
【分析】
根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形进行解答．
【详解】
如图所示：
，
共5种，
故选C．
【点睛】
此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义．
7．如图所示的图形中,是中心对称图形的是( )
A．B．
C．D．D
解析：D
【分析】
根据中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．D
解析：D
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；
D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选D ．
9．如图，点O 是矩形ABCD 的对称中心，点E 在AB 边上，连接CE ．若点B 与点O 关于CE 对称，则CB ：AB 为（ ）
A ．12
B ．512-
C ．33
D ．32
C 解析：C
【分析】
连接DB ，AC ，OE ，利用对称得出OE ＝EB ，进而利用全等三角形的判定和性质得出OC ＝BC ，进而解答即可．
【详解】
解：连接DB ，AC ，OE ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC ＝DB ，∠ABC ＝90°，OC ＝OA ＝OB ＝OD ，
∵点B 与点O 关于CE 对称，
∴OE ＝EB ，∠OEC ＝∠BEC ，
在△COE 与△CBE 中，
OE BE OEC BEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△COE ≌△CBE （SAS ），
∴OC ＝CB ，
∴AC ＝2BC ，
∵∠ABC ＝90°，
∴AB 3CB ，
即CB ：AB ＝
33
， 故选：C ．
【点睛】
此题考查中心对称，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，和勾股定理，利用对称得出
OE=EB 是解题的关键．
10．如图，在△ABC 中，AB ＝2.2，BC ＝3.6，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△ADE ，若点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）
A ．1.5
B ．1.4
C ．1.3
D ．1.2B
解析：B
【分析】 运用旋转变换的性质得到AD ＝AB ，进而得到△ABD 为等边三角形，求出BD 即可解决问题．
【详解】
解：如图，由题意得：AD ＝AB ，且∠B ＝60°，
∴△ABD 为等边三角形，
∴BD ＝AB ＝2，
∴CD ＝3.6﹣2.2＝1.4．
故选：B ．
【点睛】
该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是解题的关键．
二、填空题
11．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AC =，4BC =，将ABC 绕着点B 旋转得到A BC ''△，且点A 的对应点A '落在BC 的延长线上，连接AA '，则AA '的长为________．
【分析】根据勾股定理可求得AB=5根据旋转的
性质得=5则=1再根据勾股定理即可求得的长【详解】解：∵∴由勾股定理得∵绕着点B 旋转得到∴=5∴=﹣BC=5﹣4=1在Rt △中由勾股定理得：故答案为：
【点 解析：10 【分析】 根据勾股定理可求得AB =5，根据旋转的性质得A B AB '==5，则A C '=1，再根据勾股定理即可求得AA '的长．
【详解】
解：∵90ABC ∠=︒，3AC =，4BC =，
∴由勾股定理得2222AB AC BC 345=+=+=，
∵
ABC 绕着点B 旋转得到A BC ''△，
∴A B AB '==5，
∴A C '=A B '﹣BC=5﹣4=1，
在Rt △A CA '中，由勾股定理得： 22223110A A AC A C ''=+=+=，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了勾股定理、旋转的性质，熟练掌握勾股定理和旋转的性质是解答的关键． 12．如图所示，在直角坐标系中，点()0,6A ，点()3,4P 将AOP 绕点O 顺时针方向旋转，使OA 边落在x 轴上，则PP '=_______________．
【分析】根据旋转的性质绕点顺时针方向旋转了90°则
△POP´为等腰直角三角形且OP=OP´利用勾股定理求出OP 的长进而可求得PP´
的长【详解】解：∵绕点顺时针方向旋转使边落在x 轴上∴∠POP´
=∠A 解析：52【分析】
根据旋转的性质，AOP 绕点O 顺时针方向旋转了90°，则△POP´为等腰直角三角形，且OP=OP´，利用勾股定理求出OP 的长，进而可求得PP´的长．
【详解】
解：∵
AOP 绕点O 顺时针方向旋转，使OA 边落在x 轴上，
∴∠POP´=∠AOA´=90°，OP=OP´,
∴△POP´为等腰直角三角形，
∵点P 坐标为（3，4），
∴OP=22345+=，
∴PP´=2252OP OP '+=，
故答案为：52．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变换-旋转变换、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，掌握旋转的性质，结合旋转的角度得到△POP´为等腰直角三角形是解答的关键．
13．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△．若B '落到BC 边上，50B ∠=︒，则CB C ''∠的度数为______．
80【分析】由旋转的性质可得AB=AB ∠ABC=50°再根据据
等腰三角形的性质得到∠B=∠BBA=50°最后根据平角的定义即可解答【详解】解：由旋转的性质可得：AB=AB ∠ABC=50°∵AB=AB
解析：80
【分析】
由旋转的性质可得AB=AB',∠AB' C'=50°，再根据据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB'A=50°，最后根据平角的定义即可解答．
【详解】
解：由旋转的性质可得：AB=AB',∠AB' C'=50°.
∵AB=AB'，
∴∠B=∠BB'A=50°.
∵∠BB'A+∠AB' C'+∠CB' C' =180°.
∴∠CB'C'=180°-（∠BB'A+∠AB' C'）=80°．
故答案为80°．
【点睛】
本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．
14．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E 在CD 边上，1DE =，把ADE 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE '△，连接EE '，则线段EE '的长为______．
【分析】先根据正方形的性质可得再根据旋转的性质
可得从而可得点在同一条直线上然后根据线段的和差可得最后在中利用勾股定理即可得【详解】四边形ABCD 是正方形由旋转的性质得：点在同一条直线上则在中故答案为 解析：25 【分析】 先根据正方形的性质可得90,3ABC D C CD BC AB ∠=∠=∠=︒===，再根据旋转的性质可得1,90BE DE ABE D ''==∠=∠=︒，从而可得点,,E B C '在同一条直线上，然后根据线段的和差可得4E C '=，最后在Rt ECE '中，利用勾股定理即可得．
【详解】
四边形ABCD 是正方形，
90,3ABC D C CD BC AB ∴∠=∠=∠=︒===，
1DE =，
312CE CD DE ∴=-=-=，
由旋转的性质得：1,90BE DE ABE D ''==∠=∠=︒，
180ABC ABE '∴∠+∠=︒，
∴点,,E B C '在同一条直线上，
134E C BE BC ''∴=+=+=，
则在Rt ECE '中，22222425EE CE E C ''=+=+=，
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形与旋转的性质是解题关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC ≌△DEF 关于点H 成中心对称，则对称中心H 点的坐标是_________．
（2-1）【分析】连接对应点ADCF 根据对应点的连线经过对称中
心则交点就是对称中心H 点在坐标系内确定出其坐标【详解】解：如图连接
ADCF 则交点就是对称中心H 点观察图形可知H （2-1）故答案为：（2- 解析：（2，-1）
【分析】
连接对应点AD 、CF ，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心H 点，在坐标系内确定出其坐标．
【详解】
解：如图，连接AD 、CF ，则交点就是对称中心H 点．
观察图形可知，H （2，-1）．
故答案为：（2，-1）．
【点睛】
本题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．确定H 点位置是解决问题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2019B 的坐标为________．
【分析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心以OB 为半径
的圆上运动由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45∘可得对应点B 的坐标根据规 解析：(2,0)
【分析】
根据图形可知：点B 在以O 为圆心,以OB 为半径的圆上运动,由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45∘后得到正方形OA 1B 1C 1,相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45∘，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论.
【详解】
∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B(1,1),连接OB，
由勾股定理得：OB=2，
由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3= (2)
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45∘,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45∘，
∴B1(0,2),B2(−1,1),B3(−2,0)，…，
发现是8次一循环，所以2019÷8=252…3，
∴点B2019的坐标为(−2,0)
【点睛】
本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连接线段的夹角等于旋转角，也考查了坐标与图形的变化、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法.
17．如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____．
(42)【分析】画出平面直角坐标系作出新的
ACBD的垂直平分线的交点P点P即为旋转中心【详解】解：平面直角坐标系如图所示旋转中心是P点P（42）故答案为：（42）【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转
解析：(4，2)
【分析】
画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．
【详解】
解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P 点，P （4，2），
故答案为：（4，2）．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
18．如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，∠C=30°，AB=2，将ABC 绕着点A 顺时针旋转，得到AMN ，使得点B 落在BC 边上的点M 处，MN 与AC 交于点D ，则ADM △的面积为____．
【分析】先根据直角三角形的性质可得再根据旋转的
性质可得然后根据等边三角形的判定与性质可得又根据三角形的外角性质三角形的内角和定理可得最后根据直角三角形的性质勾股定理可得据此利用直角三角形的面积公式即 3【分析】
先根据直角三角形的性质可得60B ∠=︒，再根据旋转的性质可得
2,60AM AB AMN B ==∠=∠=︒，然后根据等边三角形的判定与性质可得
60AMB ∠=°，又根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理可得30DAM ∠=︒，90ADM ∠=︒，最后根据直角三角形的性质、勾股定理可得1,3DM AD ==用直角三角形的面积公式即可得．
【详解】
在Rt ABC 中，90,30,2BAC C AB ∠=︒∠=︒=，
60B ∴∠=︒，
由旋转的性质可知，2,60AM AB AMN B ==∠=∠=︒，
ABM ∴是等边三角形，
60AMB ∴∠=︒，
30DAM AMB C ∴∠=∠-∠=︒，
18090ADM DAM AMN ∴∠=︒-∠-∠=︒，
在Rt ADM △中，11,2
DM AM AD ====，
则ADM △的面积为111222
DM AD ⋅=⨯=，
【点睛】 本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
19．若点()3,5B n +与点()4,A m 关于原点O 中心对称，则m n +=______________．-12
【分析】两个点关于原点对称时它们的横坐标互为相反数纵坐标也互为相反数直接利用关于原点对称点的性质得出mn 的值进而得出答案【详解】∵点B （5）与点A （4）关于原点成中心对称∴∴∴故答案为：【点睛
解析：-12
【分析】
两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，直接利用关于原点对称点的性质得出m ，n 的值，进而得出答案．
【详解】
∵点B （3n +，5）与点A （4，m ）关于原点成中心对称，
∴34n +=-，5m =-，
∴5m =-，7n =-，
∴()5712m n +=-+-=-．
故答案为：12-．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确记忆关于原点对称点的坐标性质是解题关键．
20．如图，在正方形ABCD 内部有一点P ，PB =1，PC =2，135BPC ∠=︒，则PA = ____．
【分析】将△PBA沿B点顺时针旋转90°此时A与C点重合
P点旋转到E点连接PE易证△BPE是等腰直角三角形利用勾股定理可求出PE 的长再证明△PCE是直角三角形利用勾股定理求出CE的长即可得到PA的长
解析：6
【分析】
将△PBA沿B点顺时针旋转90°，此时A与C点重合，P点旋转到E点，连接PE，易证
△BPE是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出PE的长，再证明△PCE是直角三角形．利用勾股定理求出CE的长，即可得到PA的长．
【详解】
将△PBA沿B点顺时针旋转90°，此时A与C点重合，P点旋转到E点，连接PE，
∴PB=BE=1，PA=EC，∠BPE=90°
∴△PEB是等腰直角三角形，
∴∠PEB=∠EPB =45°，
∴22，
又∵∠BPC=135°，
∴∠EPC=135°-45°=90°，
∴在直角△PEC中，()2
222
+=+=
226
PC PE
=
∴PA=EC6
6．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解．
三、解答题
21．（探索发现）如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且
45MAN=∠︒，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将ADM ∆绕点A 顺时针旋转90︒，点D 与点B 重合，得到ABE ∆，连接AM 、AN 、MN ．
（1）试判断DM ，BN ，MN 之间的数量关系，并写出证明过程．
（2）如图②，点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 的延长线上，45MAN=∠︒，连接MN ，请写出MN 、DM 、BN 之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，120BAD=∠︒，180B+D=∠∠︒，点N ，M 分别在边BC ，CD 上，60MAN=∠︒，请直接写出线段BN ，DM ，MN 之间的数量关系．
解析：（1）MN DM BN =+，证明见解析；（2）MN BN DM =-,证明见解析；（3）MN DM BN =+．
【分析】
（1）根据正方形的性质和旋转的性质可证ADM ≌ABE ，利用SAS 可证
AMN AEN ≌，则可得：MN DM BN =+； （2）根据正方形的性质和旋转的性质可证ADM ≌ABE ，利用SAS 可证AMN AEN ≌，则可得：MN BN DM =-；
（3）根据正方形的性质和旋转的性质可证ADM ≌ABE ，利用SAS 可证
AMN AEN ≌，则可得：MN DM BN =+； 【详解】
证明：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形
∴AB=AD ，ABC
ADC BAD =90 将ADM 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE ∴ADM ≌ABE ∴AM
AE,DM BE,MAD EAB MAE BAD 90 ∵MAN 45
EAN
MAN 45 在AMN 和AEN 中
AM
AE MAN
EAN AN AN
AMN AEN SAS
≌
MN EN
∵EN EB BN DM BN =+=+，
∴MN BN DM =+
（2）如图②，将ADM 绕点A 顺时针旋转90，得到ABE
∵四边形ABCD 是正方形
∴AB=AD ，ABC
ADC BAD =90 ∵ADM 绕点A 顺时针旋转90，得到ABE
∴ADM ≌ABE
∴AM AE,DM BE,MAD EAB MAE BAD 90, ∵MAN 45
EAN
MAN 45 在AMN 和AEN 中
AM
AE MAN
EAN AN AN
AMN AEN SAS ≌
MN EN
∵BN
EB EN DM MN ， 即：MN BN DM =-；
（3）如图，
∵AB AD =，BAD 120∠=，B D 180，
将ADM 绕点A 顺时针旋转120，得到ABE
∴ADM≌ABE
∴AM AE,DM BE,MAD EAB
MAE BAD120
MAN60
EAN MAN60
在AMN和AEN中
AM AE
MAN EAN
AN AN
≌
AMN AEN SAS
MN EN
EN BE BN
MN DM BN；
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键是学会．
22．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3），如图：
（1）以点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，写出A1、B1、C1的坐标；
（2）在（1）中，若△ABC上有一点P（m，n），直接写出对应点P1的坐标．
（3）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
解析：（1）图见解析，A1（4，﹣2）、B1（2，﹣1）、C1（3，﹣5）；（2）P1的坐标为（n，﹣m）；（3）见解析
【分析】
（1）依据点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，即可得到△A1B1C1；
（2）依据旋转前后坐标的变化规律，即可得到对应点P1的坐标；
（3）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（4，﹣2）、B1（2，﹣1）、C1（3，﹣5）；
（2）若△ABC 上有一点P （m ，n ），则对应点P 1的坐标为（n ，﹣m ）．
（3）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23．如图1，等腰Rt ABC 中，90A ∠=︒，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若8AD =，20AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．
解析：（1）PM PN =， PM PN ⊥；（2）PMN 是等腰直角三角形，理由见解析；（3）98
【分析】
（1）根据题意可证得BD CE =，利用三角形的中位线定理得出12
PM CE =，12
PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线定理得出//PM CE ，得出DPM DCA =∠∠，通过角的转换得出DPM ∠与DPN ∠互余，证得PM PN ⊥．
（2）先证明E ABD AC ∆≌，得出BD CE =，同（1）的方法得出12
PM BD =，
12
PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论．
（3）当BD 最大时，PMN 的面积最大，而BD 最大值是28AB AD +=，
21()2
PMN S
PM =⨯，计算得出结论． 【详解】 （1）线段PM 与PN 的数量关系是PM PN =，位置关系是PM PN ⊥． ∵等腰Rt ABC 中，90A ∠=︒，
∴AB=AC ，
∵AD=AE ，
∴AB-AD=AC-AE ，
∴BD=CE ，
∵点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点， ∴12
PM CE =，12PN BD =， ∴PM PN =；
∵//PM CE ，
∴DPM DCA ∠=∠，
∵90A ∠=︒，
∴90ADC ACD ∠+∠=︒，
∵ADC DPN ∠=∠（两直线平行内错角相等），
∴90MPN DPM DPN DCA ADC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，
∴PM PN ⊥．
（2）PMN 是等腰直角三角形．
证明：由旋转可知，BAD CAE ∠=∠，
AB AC =，AD AE =，
∴()ABD ACE SAS ≌△△，
∴ABD ACE ∠=∠，BD CE =， 根据三角形的中位线定理可得，12PN BD =，12
PM CE =， ∴PM PN =， ∴PMN 是等腰三角形，
同（1）的方法可得，PM //CE ，
∴DPM DCE ∠=∠， 同（1）的方法得，//PN BD ，
PNC DBC ∠=∠，
∵DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，
∴MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠+∠
BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠
ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，
∵90BAC ∠=︒，∴90ACB ABC ∠+∠=︒，
∴90MPN ∠=︒，
∴PMN 是等腰直角三角形．
（3）由（2）知，PMN 是等腰直角三角形，12PM PN BD ==
， ∴PM 最大时，PMN 面积最大，
∵点D 在BA 的延长线上，BD 最大，
∴28BD AB AD =+=，
∴14PM =，
∴2211149822PMN S PM =
=⨯=最大△． 【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质的综合运用，熟练掌握中位线定理是解题关键．
24．已知30AOB ∠=，P 为射线OB 上一点，M 为射线OA 上一动点，连接PM ， 满足OMP ∠为钝角，将线段PM 绕点 P 顺时针旋转150，得到线段PN ，连接ON ． （1）依题意补全图1；
（2）求证：OMP OPN ∠=∠；
（3）在射线 MA 上取点D ，点M 关于点D 的对称点为E ，连接EP ，当PDO ∠= 时，使得对于任意的点M ，总有ON EP =，并证明
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）45，见解析
【分析】
（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据三角形内角和定理以及角的和差定义解决问题即可．
（3）结论：当∠PDO ＝45°时，总有ON ＝EP ．过点N 作NC ⊥OB 于点C ，过点P 作PH ⊥OA 于点H ，即可构造出△PHM ≌△NCP ，进而得PH ＝NC ，HM ＝CP ，设PH ＝DH ＝x ，MH ＝PC ＝y ，则OP ＝2x ，OC ＝OP ＋PC ＝2x ＋y ，由于点M 关于点D 的对称点为E ，即点D 为ME 中点，故ME ＝2MD ，EH ＝ME−MH ＝2x ＋y ，所以OC ＝EH ，通过证明△OCN ≌△EHP 证得ON ＝EP ．
【详解】
解（1）如图所示
（2）设OPM α∠=
线段PM 绕点P 顺时针旋转150得到线段PN
150MPN ∴∠=，PM PN =
150OPN MPN OPM α∴∠=∠-∠=-
30AOB ∠=
30AOB ∴∠=
180********OMP AOB OPM αα∴∠=-∠-∠=--=-
OMP OPN ∴∠=∠
（3）当45PDO ∠=时，总有ON EP =，证明如下：
过点P 作PC OD ⊥于点C
过点N 作NF OB ⊥于点F ，如图
90NFP PCM PCE ∴∠=∠=∠=
OMP OPN ∠=∠
180180OMP OPN ∴-∠=-∠
即PMC NPF ∠=∠
在PDM ∆与NCP ∆中
PCM NFP PMC NPF PM NP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()PCM NFP AAS ∴∆≅∆
PC NF ∴=，CM FP =
30AOB ∠=，22OP PC CD ==
点M 关于点D 的对称点为E
DE DM CM CD ∴==+
2CE CD DE CM CD ∴=+=+
OF CE ∴=
在OFN ∆与ECP ∆中
OF CE OFN ECP NF PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()OFN ECP SAS ∴∆≅∆
ON EP ∴=．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将ABC 绕点A 按顺时针方向旋转90°得到AB C ''．
（1）在正方形网格中，画出AB C ''；
（2）求线段CC '的长度．
解析：（1）图见解析；（2）2．
【分析】
（1）先利用网格特点和旋转的性质画出点,C B ''，再顺次连接点,,A C B ''即可得； （2）利用旋转的性质、勾股定理即可得．
【详解】
（1）分以下三步：
①先利用网格特点和旋转的性质画出点C '，
②再利用旋转的性质可得,90B B A C BC AC CB '=∠'''=∠=︒，由此可画出点B '， ③顺次连接点,,A C B ''即可，
如图中AB C ''即为所作：
（2）由网格特点和旋转的性质得：4,90AC AC CAC ''==∠=︒， 则2242CC AC AC ''=+=，
即线段CC '的长度为42．
【点睛】
本题考查了旋转的定义和性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 26．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，以点A 为中心，把△ABE 逆时针旋转90°，设点E 的对应点为F ．
（1）画出旋转后的三角形和点E 经过的路径；
（2）若正方形ABCD 的边长为2，求线段EF 的长．
解析：（1）见解析；（210
【分析】
（1）根据旋转的性质即可画出△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后的图形以及E 的轨迹； （2）利用勾股定理求出AE ，再利用等腰直角三角形的性质求出EF 即可．
【详解】
解：（1）旋转后的△ADF 如图所示，点E 的运动路径如图所示：
（2）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=2，∠B=90°，
∵BE=EC=1，
∴AE=22AB BE +=2221+=5，
∵△EAF 是等腰直角三角形，∠EAF=90°，AE=AF ，
∴EF=2AE=10．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．如图，等边△ABC 中，P 是BC 边上任意一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°．
（1）请用圆规和无刻度的直尺作出旋转后的三角形（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）记点P 的对应点为P ʹ，试说明△APP ʹ的形状，并说明理由
解析：（1）见解析；（2）△APP ʹ是等边三角形，理由见解析．
【分析】
（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可；
（2）根据“含有60°角的等腰三角形是等边三角形”进行判断△APP ʹ的形状．
【详解】
解：（1）如图所示，
（2）△APP ʹ是等边三角形，
如图，连接PPʹ,
根据作图得∠PAPʹ=60°，AP=APʹ，
∴△APPʹ是等边三角形．
【点睛】
本题考查的是作图-旋转变换和等边三角形的判断，熟知图形旋转的性质及等边三角形的判定定理是解答此题的关键．
28．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC以x轴为对称轴，画出对称后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2.
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）依据轴对称的性质，即可画出对称后的△A1B1C1；
（2）依据旋转变换，即可画出旋转后的△A2B2C2．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1为所求的三角形；
（2）如图，△A2B2C2为所求的三角形；
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换和旋转变换作图以及勾股定理的运用，解答本题的关键是掌握旋转的性质及轴对称的性质．。