道真仡佬族苗族自治县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

道真仡佬族苗族自治县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，C 1D 1上的动点，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ）
A ．5
B ．4
C ．4
D ．2
2． 已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧
a x －1，x ≤1
log a
1
x ＋1
，x ＞1（a ＞0且a ≠1），若f （1）＝1，f （b ）＝－3，则f （5－b ）＝（ ） A ．－14
B ．－12
C ．－34
D ．－54
3． 已知数列｛n a ｝满足n
n n a 2
728-+=（*
∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ） A ．
211 B ．227 C ． 32259 D ．32
435
4． 函数y=sin （2x+）图象的一条对称轴方程为（ ）
A ．x=﹣
B ．x=﹣
C ．x=
D ．x=
5． 命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是（ ）
A ．“∀a ∈R ，函数y=π”是减函数
B ．“∀a ∈R ，函数y=π”不是增函数
C ．“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数
D ．“∃a ∈R ，函数y=π”是减函数
6． 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）
A．B．C． D．
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°
8．已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（）
A．B．C．D．
9．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（）
A．4πB．12πC．16πD．48π
10．学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（）
A．20种B．24种C．26种D．30种
11
．已知向量=（﹣1，3），=（x，2），且，则x=（）
A．B．C．D．
12．某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为（）
A．程序流程图B．工序流程图C．知识结构图D．组织结构图
二、填空题
13
由表中数据算出线性回归方程为=x+．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年
推销金额为 万元．
14．如图，在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧 面11BCC B 内一点，若1AP 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.
15．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则的取值范围 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=与直线x=1及x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，
圆锥的体积V 圆锥=
π（）2dx=x 3|=
．
据此类推：将曲线y=x 2
与直线y=4所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．
17．已知关于 的不等式
在上恒成立，则实数的取值范围是__________
18．在正方形ABCD 中，2==AD AB ,N M ,分别是边CD BC ,上的动点，当4AM AN ⋅=时，则MN 的取值范围为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．
三、解答题
19．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x 年后游艇的盈利为y 万元． （1）写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？
20．【徐州市2018届高三上学期期中】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池及其矩形附属设施，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为，半径为，
矩形的一边在直径上，点、、、在圆周上，、在边上，且，设．
（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式；
（2）怎样设计才能符合园林局的要求？
215
（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．
22．已知a＞0，a≠1，命题p：“函数f（x）=a x在（0，+∞）上单调递减”，命题q：“关于x的不等式x2﹣2ax+≥0对一切的x∈R恒成立”，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．
23．如图，在四棱柱中，底面，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，判断直线与平面是否垂直？并说明理由．
24．（本题满分12分）在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，E 是棱CD 上的一点，P 是棱1AA 上的一点.
（1）求证：⊥1AD 平面D B A 11； （2）求证：11AD E B ⊥；
（3）若E 是棱CD 的中点，P 是棱1AA 的中点，求证：//DP 平面AE B 1.
道真仡佬族苗族自治县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考
答案）
一、选择题
1． 【答案】 D
【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴， 建立空间直角坐标系，
设AE=a ，D 1F=b ，0≤a ≤4，0≤b ≤4，P （x ，y ，4），0≤x ≤4，0≤y ≤4， 则F （0，b ，4），E （4，a ，0），
=（﹣x ，b ﹣y ，0），
∵点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离，
∴当E 、F 分别是AB 、C 1D 1上的中点，P 为正方形A 1B 1C 1D 1时， PE 取最小值，
此时，P （2，2，4），E （4，2，0），
∴|PE|min ==2
．
故选：D ．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．
2． 【答案】
【解析】解析：选C.由题意得a －1＝1，∴a ＝2. 若b ≤1，则2b －1＝－3，即2b ＝－2，无解．
∴b ＞1，即有log 21b ＋1＝－3，∴1b ＋1＝1
8
，∴b ＝7.
∴f （5－b ）＝f （－2）＝2－2－1＝－3
4，故选C.
3． 【答案】D
【解析】
试题分析： 数列n n n a 2728-+=，112528++-+=∴n n n a ，112527
22
n n n n
n n a a ++--∴-=- ()11
252272922n n n n n ++----+==，当41≤≤n 时，n n a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,
即...765>>>a a a .因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，2
11
1=a ,∴最小
项为211，M m +∴的值为32
43532259211=
+．故选D. 考点：数列的函数特性. 4． 【答案】A
【解析】解：对于函数y=sin （2x+
），令2x+
=k π+
，k ∈z ，
求得x=π，可得它的图象的对称轴方程为x=π，k ∈z ， 故选：A ．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
5． 【答案】C
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是：“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数． 故选：C ．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
6． 【答案】A
【解析】解：几何体如图所示，则V=
，
故选：A ．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．
7． 【答案】A
【解析】解：∵sinC=2sinB，∴c=2b，
∵a2﹣b2
=bc，∴cosA===
∵A是三角形的内角
∴A=30°
故选A．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．
8．【答案】C
【解析】解：∵点P的直角坐标为，∴ρ==2．
再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，结合所给的选项，可取θ=﹣，
即点P的极坐标为（2，），
故选C．
【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
9．【答案】B
【解析】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，
∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，
∴几何体的体积V=π×22×3=12π．
故选B．
【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．
10．【答案】A
【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；
甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案；
甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案；
甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案．
故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案，
故选：A．
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．
11．【答案】C
【解析】解：∵，
∴3x+2=0，
解得x=﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．【答案】D
【解析】解：用来描述系统结构的图示是结构图，
某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示．
故选D．
【点评】本题考查结构图和流程图的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8，=（2+3+7+12）=6，
代入回归方程，可得a=﹣，所以=x﹣，
当x=8时，y=，
估计他的年推销金额为万元．
故答案为：．
【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．
14．【答案】
⎣⎦
【解析】
考点：点、线、面的距离问题.
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.
15．【答案】[，1]．
【解析】解：设两个向量的夹角为θ，
因为|2﹣|=1，|﹣2|=1，
所以，
，
所以，
=
所以5
=1，所以，所以5a 2
﹣1∈[]，
[
，1]，
所以；
故答案为：[
，1]．
【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．
16．【答案】 8π ．
【解析】解：由题意旋转体的体积V===8π，
故答案为：8π．
【点评】本题给出曲线y=x 2
与直线y=4所围成的平面图形，求该图形绕xy 轴转一周得到旋转体的体积．着重
考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．
17．【答案】
【解析】
因为在上恒成立，所以
，解得
答案：
18．【答案】2]
（02x ＃，02y ＃）上的点(,)x y 到定点(2,2)，最大值为2，故MN 的取值
范围为2]．
2
2
y
x
B
三、解答题
19．【答案】 【解析】解：（1）（x ∈N *
） (6)
（2）盈利额为…
当且仅当
即x=7时，上式取到等号 (11)
答：使用游艇平均7年的盈利额最大． (12)
【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．
20．【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）根据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值
（2）要符合园林局的要求，只要最小，
由（1）知，
令，即，
解得或（舍去），
令，
当时，是单调减函数，
当时，是单调增函数，
所以当时，取得最小值.
答：当满足时，符合园林局要求.
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）解法一：
依题意有，
答案一：∵∴从稳定性角度选甲合适．
（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．
答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．
解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；
乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为．
所以选乙合适．
（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．
从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况．
恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况．
∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．
【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．
22．【答案】
【解析】解：若p为真，则0＜a＜1；
若q为真，则△=4a2﹣1≤0，得，
又a＞0，a≠1，∴．
因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q中必有一个为真，且另一个为假．
①当p为真，q为假时，由；
②当p为假，q为真时，无解．
综上，a的取值范围是．
【点评】1．求解本题时，应注意大前提“a＞0，a≠1”，a的取值范围是在此条件下进行的．
23．【答案】
【解析】【知识点】垂直平行
【试题解析】（Ⅰ）证明：因为，平面，平面，
所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面．
又因为，
所以平面平面．
又因为平面，
所以平面．
（Ⅱ）证明：因为底面，底面，
所以．
又因为，，
所以平面．
又因为底面，
所以．
（Ⅲ）结论：直线与平面不垂直．
证明：假设平面，
由平面，得．
由棱柱中，底面，
可得，，
又因为，
所以平面，
所以．
又因为，
所以平面，
所以．
这与四边形为矩形，且矛盾，
故直线与平面不垂直．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明，对空间想象能力及逻辑推理有较高要求，对于证明中辅助线的运用是一个难点，本题属于中等难度.。