江苏省启东中学2017-2018学年高中数学必修一学案：2-2

第二章 函数
§2.2函数的简单性质
第9课时 函数性质的应用（习题课） 主备人：胡勇 学案16
一、学习目标
1．会利用函数单调性和奇偶性证明问题；
2．能综合应用函数的奇偶性和单调性解决问题．
二、释疑拓展
题型一 利用函数单调性和奇偶性证明问题
例1.若)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在),0(+∞上是增函数，求证：)(x f 在)0,(-∞上是单调增函数．
变式跟踪1：
（1）已知函数)(x f 定义在)0)(,(>-l l l 上，求证：)()(x f x f -+是偶函数，)()(x f x f --是奇函数．
（2）已知函数)(x f y =是奇函数，它在),0(+∞上是单调增函数，且0)(<x f ，试问：)
(1)(x f x F =在)0,(-∞上是单调增函数还是单调减函数？证明你的结论．
题型二 函数单调性和奇偶性的综合应用
例2．(1)已知函数)(x f 在定义域[]1,1-上是奇函数，且是减函数，若0)1()1(2<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围．
（2）定义在[]2,2-上的偶函数)(x f 在区间[]2,0上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实数m 的取值范围．
变式跟踪2:
（1）设函数)(x f 在R 上是偶函数，在区间()0,∞-上单调递增，且)322()12(22+-<++a a f a a f ，求实数a 的取值范围．
（2）已知)0,0,,,(1)(2>>∈++=b a R c b a c
bx ax x f 是奇函数，当0>x 时， )(x f 有最小值2，且)(x f 的单调增区间是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21，试求c b a ,,的值．
三、反馈提炼
1．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的奇函数，且2)(5)(3)(++=x g x f x F ，若b a F =)(，则)(a F -=_____________．
2．已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调递减，且0)2(=f 。

若0)1(>-x f ，则x 的取值范围是____________．
3．若函数[]3,3,2)()(-∈+=x x g x f ，且)(x g 满足)()(x g x g -=-，若)(x f 的最大值和最小值分别是M 和m ，则=+m M ____________．
4．若奇函数)(x f 在区间[]7,3上是单调减函数，在区间[]7,3上的最大值为8，最小值为-1，
则=-+-)3()7(2f f ____________．
5．函数)(),(x g x f 在区间[])0(,>-a a a 上都是奇函数，有下列结论：
1.)()(x g x f -在[]a a ,-上是奇函数；
2.)()(x g x f +在[]a a ,-上是奇函数；
3.)()(x g x f ⋅在[]a a ,-上是偶函数；
4.0)0()0(=+g f .
其中正确的选项是____________．
6．设定义在)2,2(-上奇函数)(x f 在整个定义域上是单调减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围．
7.设函数)(x f 的定义域{}
0≠=x x D ,且)(x f 满足对于任意D x x ∈21,,有)()()(2121x f x f x x f +=⋅．
（1）)1(f 与)1(-f 的值；
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）当1>x 时0)(>x f ，求证：)(x f 在区间()+∞,0上是单调增函数；
（4）在（3）的条件下，若1)4(=f ，求不等式2)13(≤+x f 的解集．。