2020-2021中考数学相似(大题培优)含答案解析

2020-2021中考数学相似(大题培优)含答案解析
一、相似
1．如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，点M沿AB边从A点开始向B以2cm/s 的速度移动，点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动．如果点M、N同时出
发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤9），求：
（1）当t为何值时，∠ANM=45°？
（2）计算四边形AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论；
（3）当t为何值时，以点M、N、A为顶点的三角形与△BCD相似？
【答案】（1）解：对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t，当AN=AM时，△MAN为等腰直角三角形，即：9-t=2t，
解得：t=3（s），
所以，当t=3s时，△MAN为等腰直角三角形
（2）解：在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=12，∴S△NAC= NA•DC= （9-t）•18=81-9t．
在△AMC中，AM=2t，BC=9，
∴S△AMC= AM•BC= •2t•9=9t．
∴S四边形NAMC=S△NAC+S△AMC=81（cm2）．
由计算结果发现：
在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变．（也可提出：M、N两点到对角线AC的距离之和保持不变）
（3）解：根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：①当NA：AB=AM：BC 时，△NAP∽△ABC，那么有：
（ 9-t）：18=2t：9，解得t=1.8（s），
即当t=1.8s时，△NAP∽△ABC；
②当 NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC，那么有：
（ 9-t）：9=2t：18，解得t=4.5（s），
即当t=4.5s时，△MAN∽△ABC；
所以，当t=1.8s或4.5s时，以点N、A、M为顶点的三角形与△ABC相似
【解析】【分析】（1）根据题意可得：因为对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t．当NA=AM时，△MAN为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案。

（2）根据（1）中．在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=18，利用三角形的面积公式，可得S△NAC= =81-9t，S△AMC=9t．就可得出S四边形NAMC=81，因此在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变。

（3）根据题意，在矩形ABCD中，可分为①当NA：AB=AM：BC时，△NAP∽△ABC；②当NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案。

2．如图，BD是□ABCD的对角线，AB⊥BD，BD=8cm，AD=10cm，动点P从点D出发，以5cm/s的速度沿DA运动到终点A，同时动点Q从点B出发，沿折线BD—DC运动到终点C，在BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动.过点Q作QM⊥AB，交射线AB于点M，连接PQ，以PQ与QM为边作□PQMN.设点P的运动时间为t(s)（t>0），□PQMN与□ABCD重叠部分图形的面积为S（cm2）.
（1）AP=________cm（同含t的代数式表示）.
（2）当点N落在边AB上时，求t的值.
（3）求S与t之间的函数关系式.
（4）连结NQ，当NQ与△ABD的一边平行时，直接写出t的值.
【答案】（1）（10-5t）
（2）解：如图①，
当点N落在边AB上时，四边形PNBQ为矩形．∵PN∥DB，∴△APN∽△ADB，∴AP：
AD=PN：DB，∴（10－5t）：10=8t：8，120t=80，∴．
（3）解：分三种情况讨论：
a)如图②，过点P作PE⊥BD于点E，则PE=3t．
当时，．
b)如图③，过点P作PE⊥BD于点E，则PE=3t，设PN交AB于点F，则
．
当时，．
c)如图④，当时，PF=8-4t，FB=3t，PN=DB=QM=8，∴FN=4t，DQ=6(t-1)，∴BM=DQ=6(t-1)．∵∠GBM=∠A，∠DBA=∠GMB，∴△BGM∽△ABD，∴GM：BM=DB：
AB，解得：GM=8t-8，∴S=S平行四边形PNMQ-S△FMN-S△BMG=8（9t-6）－ ×4t×（9t-6）－ ×（6t-6）（8t-8）= ．
综上所述：
（4）解：分三种情况讨论．
①当NQ∥AB时，如图5，
过P作PF⊥BD于F，则PF=3t，DF=4t，PN=FQ=BQ=8t，∴BD=8t+8t+4t=8，解得：．②当AD∥NQ，且Q在BD上时，如图6．
∵PNQD和PNBQ都是平行四边形，∴PN=DQ=BQ，∴8t+8t=8，解得：．
③当AD∥NQ，且Q在DC上时，如图7，
可以证明当Q与C重合，即直线NQ与直线BC重合时，满足条件，如图8，
此时DQ=AB= =6，t= =2．
综上所述：或或．
【解析】【解答】解：（1）（10-5t）；
【分析】（1）由题意可得，DP=5t,所以AP=AD-DP=10-5t;
（2）由欧勾股定理的逆定理可得∠ABD=，所以根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，当点N落在边AB上时，四边形PNBQ为矩形；由平行线分线段成比例定理可得
比例式：,则可得关于t的方程，解方程即可求解；
（3）由（2）知，当□PQMN全部在□ABCD中时，运动时间是秒，由已知条件可知，点Q 在BD边上的运动速度是8cm/s，在DC边上的运动速度是6cm/s，所以当点Q运动到C点时，点P也运动到了点A，所以分3种情况：
a)如图②，过点P作PE⊥BD于点E，当0 < t ≤时， S=BQ PE；
b)如图③，过点P作PE⊥BD于点E，设PN交AB于点F，当< t ≤ 1 时，S =（PF+BQ）PE；
c)如图④，当1 < t ≤ 2 时， S =平行四边形PNMQ的面积-三角形FNM的面积-三角形BMG 的面积；
（4）由题意NQ与△ABD的一边平行可知，有3种情况：
①当NQ∥AB；
②当AD∥NQ，且Q在BD上时；
③当AD∥NQ，且Q在DC上时。

分这三种情况根据已知条件即可求解。

3．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC= AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN MC的值.
【答案】（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB，
又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线
（2）证明：∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC，
∴
（3）解：连接MA，MB，
∵点M是弧AB的中点，∴弧AM=弧BM，∴∠ACM=∠BCM，
∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM，
∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB，∴，∴ BM2=MN⋅MC ，
又∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM，
∴∠AMB=90°，AM=BM，
∵AB=4，∴，
∴ MN⋅MC=BM2=8 ．
【解析】【分析】(1)根据等边对等角得出∠A=∠ACO，运用外角的性质和已知条件得出∠A=∠ACO=∠PCB，再根据直径所对的圆周角是直角得出∠PCB+∠OCB=90°，进而求解.（2）根据等边对等角得出∠A=∠P，再根据第一问中的结论求解即可，
（3）连接MA，MB，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM，证出△MBN∽△MCB，得出比例式进而求解即可.
4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；
（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0），∴ ,
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：∵ A（1，0），B（5，0），
∴ OA=1，AB=4.
∵ AC=AB且点C在点A的左侧，
∴ AC=4 .
∴ CB=CA+AB=8.
∵线段CP是线段CA、CB的比例中项，
∴ .
∴ CP= .
又∵∠PCB是公共角，
∴△CPA∽△CBP .
∴∠CPA= ∠CBP.
过P作PH⊥x轴于H.
∵ OC=OD=3，∠DOC=90°，
∴∠DCO=45°.∴∠PCH=45°
∴ PH=CH=CP =4，
∴ H（-7，0），BH=12，
∴ P（-7，-4），
∴，
tan∠CPA= .
（3）解：∵抛物线的顶点是M（3，-4），
又∵ P（-7，-4），
∴ PM∥x轴 .
当点E在M左侧，则∠BAM=∠AME.
∵∠AEM=∠AMB，
∴△AEM∽△BMA.
∴ ,
∴ .
∴ ME=5，∴ E（-2，-4）.
过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，-4）.
当点E在M右侧时，记为点，
∵∠A N=∠AEN，
∴点与E 关于直线AN对称，则（4，-4）.
综上所述，E的坐标为（-2，-4）或（4，-4）.
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解。

即;由题意把A（1，0），B（5，0），代入解析式可得关于a、b的方程组，a + b + 5 = 0 ，25 a + 5 b + 5 = 0 ,解得a=1、b=-6，所以抛物线的解析式为 y =− 6 x + 5；
(2)过P作PH⊥x轴于H.由题意可得OA=1，AB=4.而AC=AB且点C在点A的左侧，所以
AC=4 ，则CB=CA+AB=8，已知线段CP是线段CA、CB的比例中项，所以,解得CP=
4，因为∠PCB是公共角，所以根据相似三角形的判定可得△CPA∽△CBP ，所以∠CPA= ∠CBP；因为OC=OD=3，∠DOC=90°，∠DCO=45°.所以∠PCH=45°，在直角三角形PCH中，PH=CH=CP sin 45 ∘=4，所以H（-7，0），BH=12，则P（-7，-4），在直角三角形PBH
中，tan ∠ CBP ==tan∠CPA;
（3）将（1）中的解析式配成顶点式得y=-4,所以抛物线的顶点是M（3，-4），而P点的纵坐标也为-4，所以PM∥x轴.分两种情况讨论：当点E在M左侧，则∠BAM=∠AME，而∠AEM=∠AMB，根据相似三角形的判定可得△AEM∽△BMA，所以可
得比例式,即,解得ME=5，所以E（-2，-4）；当点E在M右侧时，记为点E ′ ，过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，-4），因为∠A E ′ N=∠AEN，所以根据轴对称的意义可得点E ′ 与E 关于直线AN对称，则（4，-4）.
5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a＜0）从左到右依次交x轴于A、B两点，交y轴于点C．
（1）求点A、C的坐标；
（2）如图1，点D在第一象限抛物线上，AD交y轴于点E，当DE=3AE，OB=4CE时，求a 的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P在C、D之间的抛物线上，连接PC、PD，点Q在点B、D之间的抛物线上，QF∥PC，交x轴于点F，连接CF、CB，当PC=PD，∠CFQ=2∠ABC，求BQ的长．
【答案】（1）解：当x=0时，y=3，∴C（0，3）．
当y=0时，ax2+（a+3）x+3=0，
（ax+3）（x+1）=0，解得x1=- ，x2=-1．
∵a＜0，
∴- ＞0，
∴A（-1，0）
（2）解：如图1，过点D作DM⊥AB于M．
∵OE∥DM，
∴，
∴OM=3，
∴D点纵坐标为12a+12．
∵tan∠EAO= =3a+3，
∴OE=3a+3，
∴CE=OC-OE=3-（3a+3）=-3a．
∵OB=4CE，
∴- =-12a，
∵a＜0，
∴a=-
（3）解：如图2，过点D作DT⊥y轴于点T，过点P作PG⊥y轴于点G，连接TP．
∵a=- ，
∴抛物线的解析式为y=- x2+ x+3，D（3，6），DT=3，OT=6，CT=3=DT，
又∵PC=PD，PT=PT，
∴△TCP≌△TDP，
∴∠CTP=∠DTP=45°，TG=PG．
设P（t，- t2+ t+3），
∴OG=- t2+ t+3，PG=t，
∴TG=OT-OG=6-（- t2+ t+3）= t2- t+3，
∴ t2- t+3=t，解得t=1或6，
∵点P在C、D之间，
∴t=1．
过点F作FK∥y轴交BC于点K，过点Q作QN⊥x轴于点N，则∠KFC=∠OCF，∠KFB=∠CON=90°．
∵FQ∥PC，
∴∠PCF+∠CFQ=180°，∠PCF+∠PCG+∠OCF=180°，
∴∠CFQ=∠PCG+∠OCF，
∴∠CFK+∠KFQ=∠PCG+∠OCF，
∴∠KFQ=∠PCG．
∵P（1，5），∴PG=1，CG=OG-OC=5-3=2，
∴tan∠PCG= ，
∵tan∠ABC= ，
∴∠PCG=∠ABC，
∴∠KFQ=∠ABC．
∵∠CFQ=2∠ABC，
∴∠CFQ=2∠KFQ，
∴∠KFQ=∠KFC=∠OCF=∠ABC，
∴tan∠OCF= ，
∴OF= ．
设FN=m，则QN=2m，Q（m+ ，2m），
∵Q在抛物线上，
∴- （m+ ）2+ ×（m+ ）+3=2m，
解得m= 或m=- （舍去），
∴Q（4，5），
∵B（6，0），
∴BQ= ．
【解析】【分析】（1）令x=0，求出y的值，得到C点坐标；令y=0，求出x的值，根据a＜0得出A点坐标；（2）如图1，过点D作DM⊥AB于M．根据平行线分线段成比例定理求出OM=3，得到D点纵坐标为12a+12．再求出OE=3a+3，那么CE=OC-OE=-3a．根据
OB=4CE，得出- =-12a，解方程求出a=- ；（3）如图2，过点D作DT⊥y轴于点T，过点P作PG⊥y轴于点G，连接TP．利用SSS证明△TCP≌△TDP，得出∠CTP=∠DTP=45°，那么
TG=PG．设P（t，- t2+ t+3），列出方程 t2- t+3=t，解方程求得t=1或6，根据点P在C、D之间，得到t=1．过点F作FK∥y轴交BC于点K，过点Q作QN⊥x轴于点N，根据平行线的性质以及已知条件得出∠KFQ=∠PCG，进而证明∠KFQ=∠KFC=∠OCF=∠ABC，由
tan∠OCF= =tan∠ABC= ，求出OF= ．设FN=m，则QN=2m，Q（m+ ，2m），根据
Q在抛物线上列出方程- （m+ ）2+ ×（m+ ）+3=2m，解方程求出满足条件的m的值，得到Q点坐标，然后根据两点间的距离公式求出BQ．
6．
（1）【探索发现】如图1，是一张直角三角形纸片，，小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________.
（2）【拓展应用】如图2，在中，，BC边上的高，矩形PQMN 的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值用含a、h的代数式表示；
（3）【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形为所剪出矩形的内角，直接写出该矩形的面积.
【答案】（1）
（2）解：，
∽，
，可得，
设，由，
当时，最大值为 .
（3）解：如图，过DE上的点P作于点G，延长GP交AE延长线于点I，过点P 作于点H，
则四边形AHPI和四边形BGPH均为矩形，
设，则，
，，，，
，，
由∽知，
即，得，
，
则矩形BGPH的面积，
当时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567.
【解析】【解答】（1）解：、ED为中位线，
，，，，
又，
四边形FEDB是矩形，
则，
故答案为：；
【分析】（1）由中位线知EF= BC、ED= AB、由可得；（2）由△APN∽△ABC知，可得PN=a- ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ•PN=
，据此可得；（3）结合图形过DE上的点P作PG⊥BC于点G，延长GP交AE延长线于点I，过点P作PH⊥AB，设PG=x，知PI=28-x，由△EIP∽△EKD知
，据此求得EI= ，PH= ，再根据矩形BGPH的面积S=
可得答案.
7．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3．请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值。

【答案】（1）或或 .
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ACB =∠CAD，
又∵∠BAC=∠ADC，
∴△ABC∽△DCA，
∴ = ，
即CA2=BC·AD，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∴CA2=BC·AB，
∴△ABC是比例三角形.
（3）解：如图，过点A作AH⊥BD于点H,
∵AB=AD,
∴BH= BD,
∴AD∥BC，∠ADC=90°,
∴∠BHA=∠BCD=90°,
又∵∠ABH=∠DBC,
∴△ABH∽△DBC,
∴ = ,
∴AB·BC=DB·BH,
∴AB·BC= BD2,
又∵AB·BC=AC2,
∴ BD2=AC2,
∴ = .
【解析】【解答】解：（1）∵已知△ABC是比例三角形，依题可得：
①当AB2=BC·AC时，
∵AB=2，BC=3．
∴4=3AC，
∴AC= ；
②CB2=AB·AC，
∵AB=2，BC=3．
∴9=2AC，
∴AC= ；
③AC2=BC·AB，
∵AB=2，BC=3．
∴AC2=2×3，
∴AC= .
综上所述：AC的长为：或或 .
【分析】（1）由比例三角形的定义分三种情况讨论：①当AB2=BC·AC时，②CB2=AB·AC，③AC2=BC·AB，代入CB、AB的数值分别求得AC长.
（2）根据平行线的性质和相似三角形的判定得△ABC∽△DCA，由相似三角形的性质得CA2=BC·AD；根据平行线的性质和角平分线的定义得∠ADB=∠ABD，根据等腰三角形等角对等边得AB=AD，将此代入上式即可得证.
（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H,根据等腰三角形三线合一的性质可知BH= BD,由相
似三角形的判定和性质得AB·BC=DB·BH,即AB·BC= BD2,联立（1）中的结论即可得出答案. 8．如图1，直线l：与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线
段OA上一动点（0＜AC＜），以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．
（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；
（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，
①求证：△OCE∽△OEA；
②求点E的坐标；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值．
【答案】（1）解：把A（4，0）代入，得 ×4+b=0，
解得b=3，
∴直线l的函数表达式为，
∴B（0,3），
∵AO⊥BO，OA=4，BO=3，
∴tan∠BAO= .
（2）①证明：如图，连结AF，
∵CE=EF，
∴∠CAE=∠EAF，
又∵AC=AE=AF，
∴∠ACE=∠AEF，
∴∠OCE=∠OEA，
又∵∠COE=∠EOA，
∴△OCE∽△OEA.
②解：如图，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵tan∠BAO= ，
∴设EH=3x，AH=4x，
∴AE=AC=5x，OH=4-4x，
∴OC=4-5x,
∵△OCE∽△OEA，
∴ = ，
即OE2=OA·OC，
∴（4-4x）2+（3x）2=4（4-5x）,
解得x1= ，x2=0（不合题意，舍去）
∴E（，）.
（3）解：如图，过点A作AM⊥OF于点M，过点O作ON⊥AB于点N,
∵tan∠BAO= ,
∴cos∠BAO= ,
∴AN=OA·cos∠BAO= ,
设AC=AE=r,
∴EN= -r,
∵ON⊥AB，AM⊥OF,
∴∠ONE=∠AME=90°，EM= EF,
又∵∠OEN=∠AEM,
∴△OEN∽△AEM,
∴ = ,
即OE· EF=AE·EN,
∴OE·EF=2AE·EN=2r·（ -r）,
∴OE·EF=-2r2+ r-2（r- ）2+ （0＜r＜）,
∴当r= 时，OE·EF有最大值，最大值为 .
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入直线l解析式即可求出b值从而得直线l的函数表达式，根据锐角三角函数正切定义即可求得答案.（2）①如图，连结AF，根据等腰三角形性质等边对等角可得两组对应角相等，根据相似三角形的判定即可得证.
②如图，过点E作EH⊥x轴于点H，根据锐角三角函数正切值即可设EH=3x，AH=4x，从而得出AE、OH、OC，由①中相似三角形的性质可得OE2=OA·OC，代入数值即可得一个关于x的方程，解之即可求出E点坐标.
（3）如图，过点A作AM⊥OF于点M，过点O作ON⊥AB于点N,根据锐角三角函数定义可求得AN=OA·cos∠BAO= ,设AC=AE=r,则EN= -r,根据相似三角形判定和性质可知 = ,即OE·EF=-2r2+ r=（0＜r＜）,由二次函数的性质即可求此最大值.
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，动点Q在边AB上，连接CQ，将△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN，延长QN交直线CD于点M．
（1）求证：MC＝MQ
（2）当BQ＝1时，求DM的长；
（3）过点D作DE⊥CQ，垂足为点E，直线QN与直线DE交于点F，且，求BQ的长．
【答案】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC AB
即∠MCQ=∠CQB，
∵△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN
∴∠CQN=∠CQB，
即∠MCQ=∠MQC，
∴MC=MQ．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN，
∴∠CNM=∠B=90°，
设DM=x，则MQ=MC=6+x，MN=5+x，
在Rt△CNM中，MB2=BN2+MN2，
即（x+6）2=42+（x+5）2，
解得：x= ，
∴DM= ，
∴DM的长2.5．
（3）解：解：分两种情况：
①当点M在CD延长线上时，如图所示：
由（1）得∠MCQ=∠MQC，
∵DE⊥CQ，
∴∠CDE=∠F，
又∵∠CDE=∠FDM，
∴∠FDM=∠F，
∴MD=MF．
过M点作MH⊥DF于H，则DF=2DH，
又，
∴，
∵DE⊥CQ MH⊥DF，
∴∠MHD=∠DEC=90°，
∴△MHD∽△DEC
∴，
∴DM=1，MC=MQ=7，
∴MN＝
∴BQ＝NQ＝
②当点M在CD边上时，如图所示，类似可求得BQ=2．
综上所述，BQ的长为或2．
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=90°，AB=CD=6，CD∥AB，得出∠MCQ=∠CQB，由折叠的性质得出△CBQ≌△CNQ，求出BC=NC=4，NQ=BQ=1，∠CNQ=∠B=90°，∠CQN=∠CQB，得出∠CNM=90°，∠MCQ=∠CQN，证出MC=MQ．（2）设DM=x，则MQ=MC=6+x，MN=5+x，在Rt△CNM中，由勾股定理得出方程，解方程即
可．（3）分两种情况：①当点M在CD延长线上时，由（1）得：∠MCQ=∠CQM，证出∠FDM=∠F，得出MD=MF，过M作MH⊥DF于H，则DF=2DH，证明△MHD∽△CED，得
出，求出MD= CD=1，MC=MQ=7，由勾股定理得出MN即可解决问题．
②当点M在CD边上时，同①得出BQ=2即可．
10．已知二次函数y=ax2+bx+3的图象分别与x轴交于点A（3，0），C（-1，0），与y轴交于点B．点D为二次函数图象的顶点．
（1）如图①所示，求此二次函数的关系式：
（2）如图②所示，在x轴上取一动点P（m， 0），且1＜m＜3，过点P作x轴的垂线分别交二次函数图象、线段AD，AB于点Q、F，E，求证：EF=EP；
（3）在图①中，若R为y轴上的一个动点，连接AR，则BR+AR的最小值________（直接写出结果）．
【答案】（1）解：将A（3，0），C（-1，0）代入y=ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴此二次函数的关系式为y=-x2+2x+3
（2）证明：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴点D的坐标为（1，4）．
设线段AB所在直线的函数关系式为y=kx+c（k≠0），
将A（3，0），C（0，3）代入y=kx+c，得：
，解得：，
∴线段AB所在直线的函数关系式为y=-x+3．
同理，可得出：线段AD所在直线的函数关系式为y=-2x+6．
∵点P的坐标为（m，0），
∴点E的坐标为（m，-m+3），点F的坐标为（m，-2m+6），
∴EP=-m+3，EF=-m+3，
∴EF=EP．
（3）
【解析】【解答】解（3）如图③，连接BC，过点R作RQ⊥BC，垂足为Q．
∵OC=1，OB=3，
∴BC= ．(勾股定理)
∵∠CBO=∠CBO，∠BOC=∠BQR=90°，
∴△BQR∽△AOB，
∴ ,即 ,
∴RQ= BR，
∴AR+ BR=AR+RQ，
∴当A，R，Q共线且垂直AB时，即AR+ BR=AQ时，其值最小．
∵∠ACQ=∠BCO，∠BOC=∠AQC，
∴△CQA∽△COB，
∴ ,即
∴AQ= ，
∴ BR+CR的最小值为．
故答案为：．
【分析】（1）根据A，C点的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的关系式；（2）利用待定系数法求出线段AB，AD所在直线的函数关系式，用m表示EF，EP的长，可证得结论；（3）连接BC，过点R作RQ⊥BC，垂足为Q，则△BQR∽△AOB，利用相似三角形
的性质可得出RQ= BR，结合点到直线之间垂直线段最短可得出当A，R，Q共线且垂直
AB时，即AR+ BR=AQ时，其值最小，由∠ACQ=∠BCO，∠BOC=∠AQC可得出△CQA∽△COB，利用相似三角形的性质可求出AQ的值，此题得解．
11．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF 交AD于点K
①求的值
②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值
（2）若ABAC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．
【答案】（1）解：①、∵EF∥BC ∴△AEF∽△ABC ∵AD⊥BC ∴AK⊥EF
∴ = ．
②∵① ② ①+②得：
又∵EH=x，AD=8，BC=12 ∴EF=12－ x
∴S=EH·EF=－ +12x=－ +24 ∴S的最大值为24
（2）解：或．
【解析】【分析】根据EF∥BC得出△AEF∽△ABC，从而得到，求出答案；根据
题意得出和，将两式相加得到，根据EH=x，得出EF=12－
x，根据S=EH·EF得出函数关系式，求出最大值；根据三角形相似，然后分两种情况得出答案
12．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P
从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1cm的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t=9时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
【答案】（1）解：∵EF∥OA，
∴∠BEF=∠BOA
又∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BOA，
∴ = ，
当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，
∴EF= =8，
∴S△PEF= EF•OE= ×8×9=36（cm2）
（2）解：∵△BEF∽△BOA，
∴EF= = = （15-t），
∴ × （15-t）×t=40，
整理，得t2-15t+60=0，
∵△=152-4×1×60＜0，
∴方程没有实数根．
∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值
（3）解：当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，
∴ = ，即 = ，
解得t=6；
当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，
∴ = ，即 = ，
解得t= ．
∴当t=6或t= 时，△EOP与△BOA相似
【解析】【分析】（1）由于EF∥x轴，则S△PEF= •EF•OE．t=9时，OE=9，关键是求
EF．易证△BEF∽△BOA，则 = ，从而求出EF的长度，得出△PEF的面积；（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40cm2，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．。