2016-2017学年高中数学必修4学业分层测评 3.1 同角三角函数的基本关系 含解析

学业分层测评
（建议用时：45分钟)
[学业达标］
一、选择题
1．已知sin错误!＝错误!,α∈错误!，则tan α的值为（）
A．－2错误!B．2错误!
C．－错误!D．错误!
【解析】sin错误!＝cos α＝错误!，又α∈错误!，所以sin α＝－错误!＝－错误!,则tan α＝错误!＝
－2错误!。

【答案】A
2．已知tan α＝2,则
cos2α
1－cos α＋错误!＝（)
A．1 B．2 C.错误!D．±2
【解析】
cos2α
1－cos α＋错误!＝
错误!
＝错误!＝2·错误!2＝2×错误!2＝错误!。

【答案】C
3．（2016·宿州高一检测）已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a ＝0的两根,则实数a的值为（）
A．错误!B．－错误!
C。

错误!D．错误!
【解析】由Δ≥0,得a≤错误!，又错误!
故sin αcos α＝－错误!＝错误!，所以a＝－错误!。

【答案】B
4．（2016·桂林高一检测）已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝错误!，则sin θcos θ＝( ）
A．－错误!B．错误!
C。

错误!D．－错误!
【解析】因为θ是第三象限角,
所以sin θ〈0，cos θ〈0，故sin θcos θ〉0。

又因为sin4θ＋cos4θ＝错误!,
所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ，
故1－2sin2θcos2θ＝错误!，
所以sin θcos θ＝错误!＝错误!。

【答案】B
5．已知α是第三象限角,化简错误!－错误!得( )
A．tan αB．－tan α
C．－2tan αD．2tan α
【解析】原式＝错误!
－错误!
＝错误!－错误!
＝错误!－错误!。

因为α是第三象限角，所以cos α〈0,
所以原式＝错误!－错误!＝－2tan α.
【答案】C
二、填空题
6．已知向量a＝(3,4),b＝（sin α，cos α），且a∥b,则tan α＝________。

【导学号：66470065】【解析】∵a＝（3,4）,b＝（sin α,cos α）,且a∥b，
∴3cos α－4sin α＝0.
∴tan α＝错误!。

【答案】错误!
7．（2016·铜川高一检测）已知tan α，错误!是关于x的方程x2
－kx＋k2－3＝0的两个实根，且3π〈α〈错误!π，则cos α＋sin α＝________.
【解析】∵tan α·错误!＝k2－3＝1,∴k＝±2，而3π〈α<错误!π，则tan α＋错误!＝k＝2,得tan α＝1，则sin α＝cos α＝－错误!，∴cos α＋sin α＝－错误!。

【答案】－错误!
8．化简错误!（1－cos α）＝________。

【解析】错误!(1－cos α）＝错误!(1－cos α)
＝错误!＝sin α。

【答案】sin α
三、解答题
9．已知错误!＝2,计算下列各式的值：
(1)错误!；
（2）sin2α－2sin αcos α＋1.
【解】由错误!＝2，化简，得sin α＝3cos α,所以tan α＝3。

（1)法一：原式＝错误!＝错误!＝错误!。

法二:原式＝错误!
＝错误!＝错误!＝错误!。

(2)原式＝错误!＋1
＝错误!＋1
＝错误!＋1＝错误!.
10．若sin αtan α〈0，化简错误!＋错误!。

【解】错误!＋错误!
＝错误!＋错误!
＝错误!＋错误!
＝错误!＋错误!
＝错误!＋错误!。

∵｜sin α｜≤1，∴1－sin α≥0，1＋sin α≥0。

又∵sin αtan α<0,∴α为第二、三象限角,
从而cos α<0，
∴原式＝错误!＋错误!＝－错误!。

［能力提升］
1．已知sin α－cos α＝－错误!，则tan α＋错误!的值为( ）A．－4 B．4
C．－8 D．8
【解析】tan α＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

∵sin αcos α＝错误!＝－错误!,
∴tan α＋错误!＝－8。

【答案】C
2．已知tan α－错误!＝－错误!,则错误!＝（）
A．错误!B．－错误!
C.错误!D．－错误!
【解析】由tan α－错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!＝－错误!，所以错误!＝错误!。

【答案】A
3．已知函数f（x)满足f(tan x）＝错误!，则f（x)的解析式为________.
【导学号：66470066】
【解析】由f（tan x）＝
1
sin2x cos2x＝错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!
＝tan2x＋1＋1＋错误!＝tan2x＋2＋错误!，得f（x）＝错误!＋x2＋2。

【答案】f（x）＝错误!＋x2＋2
4．证明：错误!－错误!＝错误!。

【证明】左边＝错误!
＝错误!
＝错误!
＝错误!
＝错误!＝右边．。