人教A版高中数学必修五复习教案第六章不等式新人教(1)(6)

第十七教时
教材：含绝对值的不等式
目的：要求学生掌握和、差的绝对值与绝对值的和、差的性质，并能用来证明有
关含绝对值的不等式。

过程：一、复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法 当a >0时，
a
x a x a x a
x a a x -<>⇔><<-⇔<或||||
二、定理：||||||||||b a b a b a +≤+≤-
证明：∵|||||)||(|||||||||b a b a b a b b b a a a +≤+≤+-⇒⎭⎬⎫
≤≤-≤≤-
||||||b a b a +≤+⇒ ①
又∵a =a +b -b |-b |=|b |
由①|a |=|a +b -b |≤|a +b |+|-b | 即|a |-|b |≤|a +b | ② 综合①②: ||||||||||b a b a b a +≤+≤-
注意：1︒ 左边可以“加强”同样成立，即||||||||||b a b a b a +≤+≤-
2︒ 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
3︒ a ,b 同号时右边取“=”，a ,b 异号时左边取“=”
推论1：||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++ 推论2：||||||||||b a b a b a +≤-≤-
证明：在定理中以-b 代b 得：|||||)(|||||b a b a b a -+≤-+≤--
即：||||||||||b a b a b a +≤-≤-
三、应用举例
例一 至 例三见课本P26-27略
例四 设|a |<1, |b |<1 求证|a +b |+|a -b |<2
证明：当a +b 与a -b 同号时，|a +b |+|a -b |=|a +b +a -b |=2|a |<2
当a +b 与a -b 异号时，|a +b |+|a -b |=|a +b -(a -b )|=2|b |<2 ∴|a +b |+|a -b |<2
例五 已知21)(x x f += 当a ≠b 时 求证：|||)()(|b a b f a f -<-
证一：1
111|11||)()(|2
2
222
2+++--+=
+-+=-b a b a b a b f a f
|
||||
)(||||
))((|1
1||2
22222b a b a b a b a b a b a b a b a +-+=
+-+<
+++-=
|||
||||
||)||(|b a b a b a b a -=+-+≤
证二：（构造法）
如图：21)(a a f OA +==
)(b f OB == ||||b a AB -=
由三角形两边之差小于第三边得：|||)()(|b a b f a f -<- 四、小结：“三角不等式” 五、作业：P28 练习和习题6.5。