宽带随机激励下单自由度碰撞振动系统的平稳响应_黄志龙

第37卷第1期2003年1月
浙　江　大　学　学　报(工学版)
Jo ur nal o f Zhejiang U niv ersity(Eng ineer ing Science)
Vol.37No.1Jan.2003
收稿日期:2002-08-09.
基金项目:国家自然科学基金资助项目(10002015;19972059);浙江省自然科学基金资助项目(102040).
作者简介:黄志龙(1965-),男,浙江上虞人,副教授,主要从事随机振动与结构分析研究.E-m ail:h uangzhilon g@yah
宽带随机激励下单自由度碰撞
振动系统的平稳响应
黄志龙,高李霞,朱位秋
(浙江大学力学系,浙江杭州310027)
摘　要:在实际工程结构中经常要研究随机激励的单自由度碰撞振动系统的稳态响应,应用基于广义谐和函数的单自由度强非线性系统的随机平均法,分别得到了该系统响应的总能量、位移、幅值的稳态概率密度及位移与速度的联合概率分布.通过与数字模拟结果的比较,证明用随机平均法所得的结果有很高的精度.关键词:碰撞系统;随机平均法;宽带激励;稳态响应
中图分类号:O 324 文献标识码:A 文章编号:1008-973X (2003)01-0094-04
Random response of SDOF vibro -impact
system to wide -band excitation
HU ANG Zhi -long ,GAO Li -x ia ,ZHU Wei -qiu
(D ep artment of M echanics ,Zhej iang U niv er sity ,H angz hou 310027,China )
Abstract :The stationary r espo nses of sing le-degree-o f-freedom (SDOF)system under w ide-band sto chas-tic excitation are very im por tant in engineering structures.T he appro ximate stationar y responses of the sy stem w ere obtained by using the stochastic aver aging metho d for stro ng ly non -linear SDOF system under w ide -band r ando m excitation .It w as show n that the analytical stationary probability densities o f am pli-tude,total energ y and displacem ent and velocity of the system ag reed w ell w ith those fro m digital sim ula-tio n of the original equation of motion.
Key words :vibro -impact ;stochastic averaging metho d ;w ide -band random ex citatio n ;statio nary response 对于现代机电系统,内部或边界上的间隙通常使系统产生碰撞振动,即零部件间或零部件与边界间的往复碰撞.飞机、火箭内部部件往往受到喷气噪声作用,船上的货物往往受到海浪等不确定载荷的作用,需要了解在这些不确定载荷作用下,系统是否能正常工作.因此研究随机载荷作用下碰撞振动系统的响应具有重要的工程实际意义.
对碰撞振动的研究已有近50年的历史,关于碰撞振动及其典型现象的研究,文[1]作了较为全面的评述.国内外关于该领域的研究主要集中在用现代分析方法研究在确定性载荷作用下碰撞系统的响应、稳定性、分岔及混沌.对随机载荷作用下碰撞振动系统的响应的研究较少,主要是Jing [2,3]、Dim ent-berg [4]等研究了单自由度碰撞振动系统在高斯白噪声作用下的随机响应.迄今为止,国内外尚无人对宽带随机激励下的碰撞系统作过分析.另一方面,近几
年来,作者曾利用广义谐和函数[5]发展了适用于宽带随机激励的单自由度强非线性系统的随机平均法[6],该方法物理意义明确、算法简洁,且适用于各类强非线性系统.本文正是应用该法研究宽带随机激励下单自由度碰撞振动系统的随机响应.
1　理论推导
将复杂的结构模型化为图1所示的单自由度碰撞振动系统,其中m 为球的质量;k 为系统刚度;c
为线性阻尼系数;f (t )为宽带随机激励;a l 、a r 为球与左、右两侧弹性壁的距离.设球与左右两侧弹性壁碰撞时的力与位移之间的关系满足Hertz 撞触定律,则该系统的运动方程为
X b +g (X )=-2F X Y +1m
f (t ).(1)
其中,Y =X a 为系统速度,
X 2=k m ,F =c
2X m ,E [f (t )f (t +S
)]=R (S ),
g (X )=
X 2X +G r ûX -a r û3/2　
(X >a r ),X 2
X -G l ûX +a l û3/2
　(X <-a l ),X 2X (-a l ≤X ≤a r ).
(2)
G l 、G r 是由Hertz 撞触定律得到的参数,它与球及左、右弹性壁的几何及材料特性有关.
图1　单自由度碰撞振动系统示意图F ig.1　SD OF vibr o -impact system
该系统的势能为V (X )=
∫
X
g (X )d X =X 22
X 2
(-a l ≤X ≤a r ),X 2
X 2
2+25G r (X -a r )5/2
　(X >a r ),
X 2X 22
+25G l (-X -a l )5/2
　(X <-a l ).
(3)
该系统的总能量为
H =12
Y 2
+V (X ).(4)当系统的阻尼与随机激励都较小时,可应用宽带随机激励的单自由度强非线性系统的随机平均法[6],
作如下变换:
X (t )=A (t )co s 5(t )+B (t ),X a (t )=-A (t )v (A (t ),5(t ))sin 5(t ),5(t )=U (t )+((t ).(5)
其中,B 由V (A +B )=V (-A +B )=H 确定.
v (A ,5)=
d U d t
=2[V (A +B )-V (A cos 5+B )]
A 2sin 25
=
C 0(A )+
∑∞
n =1
C n
(A )cos n 5,
T =2P /C 0(A ).
(6)
应用式(5)可将方程(1)变换为以幅值A (t )及相位差((t )为基本变量的随机微分方程,且A (t )、((t )为慢变随机过程,应用随机平均与确定性平均,可得
如下以幅值A (t )为基本变量的I to d 随机微分方程:d A =b (A )d t +R (A )d B (t ).
(7)
其中
　b (A )=〈m 1+∫
-∞
5R 1
5A t
R 1ût +S +
5R 1
5(t
R 2ût +S R (S )d S 〉t ,R 2
(A )=〈
∫+∞
-∞
R 1
ût R 1û
t +S
R (S )d S 〉t ,
m 1=-2F
X A 2v 2
(A ,5)sin 2
5g (A +B )[1+h (A )],
R 1=-A v (A ,5)sin 5
g (A +B )[1+h (A )],
R 2=-v (A ,5)cos 5g (A +B )[1+h (A )]
,h (A )=
d B (A )
d A
.(8)
〈・〉t 表示对时间的确定性平均.
在实际计算时,将式(6)的展开式代入式(8),并
完成确定性平均,即可得漂移系数b (A )与扩散系数R 2(A ).求解与I to d
随机微分方程(7)相应的稳态FPK 方程,即得该系统关于变量a 的稳态概率密度:
p (a )=
C R 2
(a )
e ∫a 02b (x )
R 2(x )d x ,(9)式中:C 为归一化常数.利用能量H 与广义幅值A 的关系H =V [a +b (a )]=H (a )及式(9),可得关于
系统总能量H 的稳态概率密度为
p (H )=p (a )
d H /d a a =a (H ),(10)及系统位移与速度的联合概率密度和位移的概率密度
p (x ,y )=p (H )T (a (H ))
H =
12
y 2
+V (x ),(11)p (x )=
∫+∞-∞
p (x ,y )d y .
(12)
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　第1期
黄志龙,等:宽带随机激励下单自由度碰撞振动系统的平稳响应
2　算例分析
现考虑图1所示的系统具有左右二侧相同弹性壁,且两壁与小球的距离也相同(a l =a r =a 0、G l =G r =G )的情形,此时方程(1)中的g (x )是x 的反对称函数,由式(6)、(8)可知B =0、h =0,且v (A ,5)的展开式中仅保留C i (a )的偶数项(即C 1(a )=C 3(a )=…=0).最后需要指出的是,在式(6)、(8)中,仅需保留前几项富氏级数即可得到很高的精度.例如,当
X =1.0、a r =a l =0.1、G r =G
l =50.0时,各C i (a )随a 的变化见图2.保留C 6前几项已有足够的精度,因
此在实际计算时,仅保留C 6项前面的系数,
这样使
图2　富氏级数C i (a )随a 变化示意图Fig.2　Fo urier coefficients C i (a )ver sus a
计算大为简化.宽带随机激励f (t )由强度为D 的高斯白噪声W (t )通过一个二阶线性滤波器产生,即
f ¨
(t )+2F
1X 1f ・
(t )+X 2
1f (t )=W (t ).(13)
f (t )的谱密度为
S (X )=D P 1
(X 2-X 21)2+4F 21X 2X 21
.(14)图3(a )、(b )、(c )分别是G l =G r =50.0、m =1.0、a l =
a r =0.1、X 1=5.0、F
1=0.5时在不同的激励强度D =0.4、0.8、1.2下的幅值、总能量及位移的稳态概率密度.由图3(a)、(c)知,随着激励强度的增加,非线性效应更明显,位移的稳态概率密度更加偏离高斯分布.图4给出了不同参数G l =G r =G 时幅值a 的稳态概率密度,图5给出了对应于不同的球与壁间距a 0的幅值稳态概率密度,由图4、5可知,G 越大,或球与壁间距越小,结构的非线性效应越明显,幅值的响应越偏离瑞利分布.图6(a)、(b)分别给出了m =1.0、X =1.0、X 1=5.0、F =0.1、F 1=0.5时位移与速度的联合概率密度的理论解与数字模拟解.图3
～图5中,实线表示解析结果,●、
▲、■表示数字模拟结果.数字模拟结果与理论解吻合得很好,说明该随
机平均法具有较高的精度.
图3　幅值、总能量及位移的稳态概率密度Fig .3　Stationar y pr obability densities of amplit ude ,to-tal ener g y and displacement
图4　幅值的稳态概率密度
F ig .4　Stationary pro babilit y density o f amplit ude
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浙　江　大　学　学　报(工学版) 第37卷　
图5　幅值的稳态概率密度
Fig.5　Stat ionar y pr obability density of
amplitude
图6　位移与速度联合概率密度
F ig.6　Jo int stationar y pro babilit y densit yies of dis-placement and v elo city
3　结　语
应用基于广义谐和函数的宽带随机激励的单自
由度强非线性系统的随机平均法,得到了单自由度碰撞振动系统响应的幅值、总能量、位移的稳态概率密度及位移与速度的联合概率密度,通过与数字模拟结果的比较,证明该方法具有很高的精度.随着激励强度的增加,球与壁间距减小及壁刚度增加,壁对系统稳态响应的影响增加,此时的碰撞振动系统是一个强非线性系统,通常的线性化处理方法已完全不适用,而用单自由度强非线性系统的随机平均法仍可得到很好的结果,可望将该方法进一步推广应
用于多自由度碰撞振动系统.
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黄志龙,等:宽带随机激励下单自由度碰撞振动系统的平稳响应。