扭摆法研究垂直轴定理的讨论

扭摆法研究垂直轴定理的讨论
摘要：用扭摆法对钢丝的切变模量进行了测量，通过实验数据与分析，验证了反应刚体转动惯量性质的垂直轴定理；并进一步对垂直轴定理的适用条件进行了分析。

关键词：垂直轴定理 转动惯量 切变模量 扭摆法 1、 引言
转动惯量可以采用多种方法进行测量，扭摆是其中一种重要方法。

扭摆具有结构简单、操作简便的特点，可测量钢丝的切变模量及验证刚体垂直轴定理等。

在进行垂直轴定理验证时，由于刚体并非完全没有厚度，实验中的测量值往往集中在理论值的一侧。

笔者利用一般条件下的垂直轴定理，对实验结果进行了进一步讨论，并对垂直轴定理的成立条件进行了深入的探究。

2、 实验原理
2.1 扭摆法测量钢丝的切变模量
扭摆的结构如图1所示。

若使爪手绕中心轴转过某一角度，然后放开，则爪手将在钢丝弹性扭转力矩的作用下做周期性的自
由振动，这就构成了扭摆。

若爪手扭动的角度为θ，刚体转动惯量为I 0，爪手转动惯量为I 1，则其运动方程为：
2
012
()
d I I D dt
θθ+=-
式中D 的表达式为：4
32G d D l
π=
G 为金属丝的切变模量，d 为金属丝直径，l
为长度。

求出刚体扭动周期为：
02T π
=所以221104
128lI T T G d
π-=
即12
2
4
10128()lI G
T T d
π=
-
当I 1已知时，即可算出钢丝的切变模量G 。

2.2 扭摆法测量刚体的转动惯量
由上面切变模量的测量原理，在已知G 的情况下，对于转动惯量I 1未知的物体，有：
2
2
4
101()128G T T d
I l
π-=
利用此式即可求出物体绕金属丝转动时的转动惯量。

2.3 关于垂直轴定理
对于厚度无穷小的刚体薄板，建立三维直角坐标系O-xyz ，使得x ，y 轴均在薄板平面内垂直，如图2，则刚体绕z 轴转动的转动惯量就等于其分别绕x ，y 轴转动的转动惯量之和，即：
z x y I I I =+ 这就是垂直轴定理。

本次实验使用刚体圆环作为对象验证垂直轴定理，若不考虑圆环厚度：
水平放置时的转动惯量为： 2
2
1(
)24
b c I M +=
水平
垂直放置时转动惯量为： 2
2
1(
)44
b c I M +=
垂直
其中b 、c 分别为圆环的内径和外径，M 为圆环的质量。

易得=2I I 水平垂直 3、 实验装置简介
实验装置结构如图3 所示：
实验使用的是FD-TM-B 切变模量与转动惯量试验仪。

爪手的顶部带轧具，环状刚体可水平和垂直放置在爪盘上绕轴扭转；环状刚体有水平放置和垂直放置2种状态；底座支架可调；数字式智能计时计数仪的量程为
0～256s ，分辨率为0.01s 。

4、 实验方法
1）测量圆环的质量m 1、内直径d 1、外直径d 2；钢丝的直径d=2R
2）将实验装置组装好，测量金属丝的长度l 3）转动爪盘270°，用霍尔开关计时计数仪测量摆动周期T 0；再将环状刚体水平放置在爪手上，同样方法测量摆动周期T 1。

计算出钢丝的切变模量G
4）分别测量圆环垂直放置时与空载时的摆
动周期；并计算出相应的转动惯量I 垂直；根据步骤1)中的数据，计算出圆环水平放置时的转动惯量I 水平
5）计算I 水平/I 垂直的值并进行分析 5、 实验数据与结果分析 5.1 数据处理
圆环参量：d 1 = 79.91 mm , d 2 =110.03 mm ,
m 1 = 557.76g
钢丝参量: l = 72.80cm , 2R =0.402 mm 摆动周期：T 0 = 5.800s , T 1 = 14.904s 因此钢丝切变模量
()
2
2
10
2
224
0.557760.079910.11003
1280.72808
7.66610
/(14.904 5.800)0.000402
G N m
π⨯+⨯⨯=
=⨯-⨯
对垂直轴定理的验证：
圆环垂直放置时的转动惯量
4
42
6.539 6.537 6.512+6.512+6.532
10
6.526105
I kg m
--++=
⨯=⨯⋅垂直
圆环水平放置时的转动惯量
2
2
2
2
32
12()
0.55766(0.07991+0.11003)
1.289108
8
m d d I kg m
-+⨯=
=
=⨯⋅水平所以：
34
1.28910 1.9756.52610
I I --⨯=
=⨯水平垂直
即2I I ≈水平垂直，两者百分差约为1.2%，基本与垂直轴定理相符。

5.2分析与讨论
从实验角度看，既然实验误差是不可避免的，那么在多次测量时，比值/I I 水平垂直就应该在2附近波动。

但实验数据中看，该比值总是偏小。

这可能是由于测量的圆环具有一定厚度造成的，事实上，对于一般情况，垂直轴定理的形式应该为：
2
2x y z i i I I I m z +=+∑
具体到圆环则为： 2
2
2
(
)1612
x b c d
I I M +==+
垂直 2
2
(
)8
z b c I I M +==水平
其中d 为圆环的厚度 即：
()
()22
2
2
2
2
2
2
2
2
68
34(
)
16
12
b c M b c
I b c d
I b c
d
M ++==++++
水平垂直
可以看出，只有当厚度趋于零时，才有：
/2I I =水平垂直
下面讨论满足垂直轴定理时，厚度d 需要满足的条件：
对转动惯量的测量值进行不确定度分析：由
()()()()22
22
4
22
101101
212
2
10()()()
=
1288()
G T T d
m T T d
d I l
T T π'
''
'
--+=
-可得：影响I 垂直不确定度的主要量为：
1m 、()()2
2
10()T T '
'
-、
2212()d d +、22
10()T T -
以上四个量分别为圆环质量、测量圆环转动惯量时的周期平方差、圆环内外径的平方和、测量钢丝切变模量时的周期平方差。

所以总不确定度应为：
()
-3
710
U I I =⨯垂直垂直
即I 垂直测量值的误差在0.7%左右。

同理，根据I 水平的计算公式，可得：
()
-3
710
U I I =⨯水平
水平
因此可以认为，通过多次测量，当比值
/I I 水平垂直相对理论值的误差也能控制在
0.7%以内时，可以认为刚体圆环的厚度对于实验的影响可以忽略不记，即视为薄板状。

对于圆环，要求：
2-/20.7%I I ⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝
⎭水平
垂直 即：
()
1/2
2
2
0.1d
b
c
<+
本实验中：
()
1/2
2
2
0.136b c
m +=
所以圆环厚度d 应小于0.0136m 实验中实际测得的圆环厚度为：
1.619cm d =
略大于1.36cm 的限制，因此从数据中可以较为明显地看出/I I 水平垂直相对理论值偏小。

如果将d 考虑进去，则测量所得的2
1/(/12) 2.010I I m d -=水平垂直
相对误差为0.5%，小于0.7%，说明实验结果是准确的。

6、 小结
通过以上分析，我们对于垂直轴定理中刚体的“厚”与“薄”的问题有了一个定量的了解。

即当刚体厚度在其线度的10%以内时，其厚度可以忽略不计。

对于本实验，则可以增设一些外径不同，内径、厚度相同或者厚度不同，内径、外径相同的圆环进行比较实验，从而加深对实验的理解。

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