高等数学下知识点总结

高等数学（下）知识点

主要公式总结

第八章 空间解析几何与向量代数 1、

二次曲面

1）

椭圆锥面：2

2

222z b y a x =+ 2）

椭球面：122

222

2=++c

z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）

单叶双曲面：122

222

2=-+c

z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）

椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b

y a x =-22

22 5）

椭圆柱面：1222

2=+b y a x 双曲柱面：122

22=-b

y a x

6）

抛物柱面：

ay x =2 （二） 平面及其方程 1、

点法式方程：

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A

法向量：),,(C B A n =

，过点),,(000z y x

2、

一般式方程：

0=+++D Cz By Ax

截距式方程：

1=++c

z

b y a x 3、

两平面的夹角：),,(1111

C B A n =

，),,(2222C B A n =

，

⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；⇔∏∏21//

2

1

2121C C B B A A ==

4、

点

),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：

（三） 空间直线及其方程

1、

一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0

22221111D z C y B x A D z C y B x A

2、

对称式（点向式）方程：

p

z z n y y m x x 0

00-=-=-

方向向量：),,(p n m s =

，过点),,(000z y x

3、

两直线的夹角：),,(1111

p n m s =

，),,(2222p n m s =

，

⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；⇔21//L L

2

1

2121p p n n m m ==

4、

直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

⇔∏//L 0=++Cp Bn Am ；⇔∏⊥L p

C n

B m

A ==

第九章 多元函数微分法及其应用 1、 连续：

),(),(lim

00)

,(),(00y x f y x f y x y x =→

2、

偏导数：

x

y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim

),(00000

00 ；y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆)

,(),(lim ),(0000000

3、

方向导数：

βαcos cos y

f

x f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中

β

α,为

l

的方向角。

4、

梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x

),(),(),(000000+=。

5、

全微分：设),(y x f z =，则d d d z z z x y x y

∂∂=

+∂∂ （一） 性质 1、

函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

2、 微分法

1） 复合函数求导：链式法则

若

(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则

z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z v y u y v y

∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ （二） 应用

1）

求函数),(y x f z =的极值 解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==0

y x f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令

),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，

① 若02>-B AC ，0>A ，函数有极小值， 若02>-B AC ，0

③ 若02=-B AC ，不定。

2、 几何应用

1）

曲线的切线与法平面

曲线⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧===Γ)

()()

(:t z z t y y t x x ，则Γ上一点),,(000z y x M （对应参数为0t ）处的

切线方程为：

)

()()(00

0000t z z z t y y y t x x x '-='-='-

法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x

充分条件