广东省广州市流花中学高三数学理测试题含解析

广东省广州市流花中学高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在2012年8月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x99.51010.511
销售量y1110865
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程
是：＝－3.2 x＋a，则a＝()
A．－24 B．35.6 C．40.5 D．40
参考答案：
D
2. 已知函数（其中）的部分图象如右图所示，为了得到
的图象，则只需将的图象（）
A.向右平移个长度单位
B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位
D.向左平移个长度单位
参考答案：
C
3. 某游戏中，一个珠子从如右图所示的通道（图中的斜线）由上至下滑下，从最大面的六个
出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，
那么你取胜的概率为（）
A． B． C． D．以上都不对
参考答案：
A
珠子从出口1出来有种方法，从出口2出来有种方法，依次从出口i（l≤i≤6）出现有
方法，故取任的概率为,故选A．
4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．126 B．105 C．91 D．66
参考答案：
B
略
5. 当m＝6，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．6
B．30
C．120
D．360
参考答案：
C
【知识点】程序框图L1
解析：模拟执行程序框图，可得
m=6，n=3
k=6，S=1，
不满足条件k＜m﹣n+1=4，S=6，k=5
不满足条件k＜m﹣n+1=4，S=30，k=4
不满足条件k＜m﹣n+1=4，S=120，k=3
满足条件k＜m﹣n+1=4，退出循环，输出S的值为120．
故选：C．
【思路点拨】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=3时，满足条件k＜m﹣n+1=4，退出循环，输出S的值为120．
6. 设函数，数列满足,且数列为递增数列,则实数a的取值范围为( )
A.(2,3)
B.(1,3)
C.(1,+)
D. (2, +)
参考答案：
A
略
7. 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（）A．12+B．12+23πC．12+24πD．12+π
参考答案：
C
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，结合图中数据求出它的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，
其表面积为
S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π?（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]
=12+24π．
故选：C．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．
8.
准线方程为x=3的抛物线的标准方程为（）
A．y2=－6x B．y2=6x C．y2=－
12x D．y2=12x
参考答案：
答案：
C
9. 等差数列中，已知
，
，使得
的最小正整数n 为 A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
参考答案：
C
10. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数
(
表示不大于的最大整数）可以表示为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
【知识点】函数的解析式。

B1
【答案解析】B 解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系，用取整函数
(
表示不大于的最大整数）可以表示
为．故选B.
【思路点拨】结合给出的新定义“取整函数 (
表示不大于的最大整数）”直接可得结
果。

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 平面向量满足，，则向量与
夹角为
.
参考答案：
12. 定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=，则f （2 016）的值
为 ．
参考答案：
【考点】函数的周期性．
【专题】计算题；规律型；转化思想；归纳法；转化法；函数的性质及应用． 【分析】由已知可得函数f （x ）的值以6为周期重复性出现，进而得到答案． 【解答】解：由已知得：
f （﹣1）=lo
g 22=1， f （0）=0，
f （1）=f （0）﹣f （﹣1）=﹣1， f （2）=f （1）﹣f （0）=﹣1，
f （3）=f （2）﹣f （1）=﹣1﹣（﹣1）=0， f （4）=f （3）﹣f （2）=0﹣（﹣1）=1， f （5）=f （4）﹣f （3）=1，
f （6）=f （5）﹣f （4）=0， …
所以函数f （x ）的值以6为周期重复性出现， 所以f （2 016）=f （0）=0． 故答案为：0
【点评】本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，根据已知分析出函数的周期，是解答的关
键．
13. 在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶 过程中从汽车仪表盘得到如下信息：
注：油耗
从以上信息可以推断在10：00—11：00这一小时内 （填上所有正确判断的序号） ①行驶了80公里； ②行驶不足80公里；
③平均油耗超过9.6升/100公里 ④平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤平均车速超过80公里/小时。

参考答案： ②③ 略
14. 若
，则
的大小关系是______
参考答案：
试题分析：
又
考点：指数函数、对数函数的性质
15. 设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα
的值是__________．
参考答案： -
考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系． 专题：三角函数的求值．
分析：依题意，利用二倍角的正弦可得
cosα=﹣，又α∈（，π），可求得α的值，继而可得
tanα的值．
解答：解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，
∴cosα=﹣，又α∈（，π），
∴α=
，
∴tanα=﹣
． 故答案为：﹣
．
点评：本题考查同角三角函数间的基本关系与二倍角的正弦，属于基础题． 16. 已知是实数，是虚数单位，若
是纯虚数，则
．
参考答案：
1
17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2﹣b 2=bc ，sin C =2sin B ，则角A 为 ．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，∠AFD =90°，且二面角D －AF －E 与二面角C －BE －F 都是60°．
（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；
（II ）求二面角E －BC －A 的余弦值．
参考答案：
解：（I ）由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC ． 又AF
平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC ．
（II ）过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由（I ）知DG ⊥平面ABEF ．
以G 为坐标原点，
的方向为x 轴正方向，
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G －
xyz．
由（I）知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE=60°，则|DF|=2，|DG|=，可得A(1，4，0)，B(－3，4，0)，E(－3，0，0)，D(0，0，)．
由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC．
又平面ABCD∩平面EFDC=CD，故AB∥CD，CD∥EF．
由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C－BE－F的平面角，∠CEF=60°．从而可得C(－2，0，)．
所以，=(0,4,0) ，，=(－4,0,0)．
设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量，则
，即
所以可取n=(3，0，－)．
设m是平面ABCD的法向量，则
同理可取m=(0，，4)．则．
故二面角E－BC－A的余弦值为．
19. (本小题满分12分）已知,.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)设,若,求的值.
参考答案：
(Ⅰ)∵∴又∵,……3分∴
, ………………5分
∴.…………………6分
(Ⅱ)∵∴即
…………………8分
两边分别平方再相加得:∴∴……10分
∵且∴…………………12分
20. （本小题10分）已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求a的取值范围。

参考答案：
答案：（1）
（2）
略
21. （本小题满分13分）
2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）
已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．
（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；
（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）小李乘坐地铁从A地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里，试写出s的取值范围．(只需写出结论)
参考答案：
（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）
以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为，，．所以，
，
，
，
，……………… 8分
所以随机变量的分布列为：
……………… 9分
所以. ……………… 10分（Ⅲ）解：．
………………13分
考点：古典概型概率，数学期望
22. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，．
（1）求A；
（2）当时，求△ABC的面积．
参考答案：
（1）；（2）．
∵，
∴
，
即．
∴，，，则．
（2）∵，∴，，
∵，∴，
由正弦定理，可得，，
所以．。