【华东师大版】初二数学上期末一模试卷(含答案)

一、选择题
1．若关于x 的一元一次不等式组()()1
1122
32321x x x a x ⎧-≤-
⎪⎨⎪-≥-⎩恰有3个整数解，且使关于y 的分式方程
3133y ay
y y
++=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．3
2．计算：2x y x y
x y xy
-⋅-=（ ） A ．x B ．
y x
C ．y
D ．
1x
3．如果分式
1
1
m m -+的值为零，则m 的值是（ ） A ．1m =- B ．1m = C ．1m =±
D ．0m =
4．若分式 2132
x x x --+的值为0，则x 的值为（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．±1
5．下列等式中从左到右边的变形是分解因式的是（ ） A ．()2
1a a b a ab a +-=+- B ．()2
211a a a a --=-- C ．()()2
2
492323a b a b a b -+=-++
D ．1212x x x ⎛
⎫+=+
⎪⎝⎭
6．已3,2x y a a ==，那么23x y a +=（ ） A ．10
B ．15
C ．72
D ．与x ，y 有关
7．下列计算正确的是（ ） A ．()2
22x y x y +=+ B ．()
3
2
626m m =
C ．()2
224x x -=-
D ．()()2
111x x x +-=-
8．下列各式运算正确的是（ ） A ．235a a a +=
B ．1025a a a ÷=
C ．()
3
2
626b b = D ．24
21a a
a
-⋅=
9．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分
别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于
1
2
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；④:2:5DAC ABC S S =△△
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，AB 垂直平分线DE 交AB 于点D ，交
AC 于点E ，BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点P ，交AC 于点Q ，连接BE ，BQ ，则
EBQ ∠=（ ）
A ．65︒
B ．60︒
C ．56︒
D ．50︒
11．如图，ABC 的面积为26cm ，AP 垂直B 的平分线BP 于P ，则PBC 的面积为
（ ）
A ．21cm
B ．22cm
C ．23cm
D ．24cm 12．内角和与外角和相等的多边形是（ ）
A ．六边形
B ．五边形
C ．四边形
D ．三角形
二、填空题
13．若关于x 的方程
2144416
m x x x +=-+-无解，则m 的值为__________． 14．计算：0
5(21)-+=__． 15．计算：2221111112310⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
⨯-⨯⋯⋯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
________ 16．若ABC 的三边长是a 、b 、c ，且222a b c ab bc ac +=++＋，则这个三角形形状是_________角形．
17．如图，在ABC 中，AB AC =，36ABC ∠=︒，DE 是线段AC 的垂直平分线，连接AE ，若BE a =，EC b =，则用含有a ，b 的代数式表示ABC 的周长是______．
18．如图，DF 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ，若110BAC ∠=︒，则
DAE =∠__________°．
19．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，
2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．
20．若,,a b c 是△ABC 的三边长,试化简a b c a c b +-+--= __________．
三、解答题
21．己知A 、B 两地相距240千米，甲从A 地去B 地，乙从B 地去A 地，甲比乙早出发3小时，两人同时到达目的地．已知乙的速度是甲的速度的2倍． （1）甲每小时走多少千米？ （2）求甲乙相遇时乙走的路程．
22．（提示：我们知道，如果0a b ->，那么a b >．） 已知0m n >>．如果将分式n
m
的分子、分母都加上同一个不为0的数后，所得分式的值比
n
m
是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究． （1）当所加的这个数为1时，请通过计算说明； （2）当所加的这个数为2时，直接说出结果；
（3）当所加的这个数为0a >时，直接说出结果．
23．若一个三位或三位以上的整数A 分成左、中、右三个数后满足：①中间数=左边数2-右边数2，则称中间数是A 的“吉祥数”．如231的“吉祥数”是3，4122的“吉样数”是12；②中间数=（左边数-右边数）2，则称中间数是A 的“如意数”．如143的“如意数”是4，5161和1165的“如意数”是16．
（1）若一个三位数的“吉祥数”是5，则这个数是_________，若一个四位数的“如意数”是81，则这个数是____，
（2）一个“吉祥数”与一个“如意数”的左边数均为m ，右边数均为n ，且这个“吉祥数”比这个“如意数”大12，求满足条件的“吉样数”．
24．如图1，点A 是射线OE ：y x =-（x≥0）上的一点，已知232OA =，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OE 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ． （1）求点A 的坐标；
（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．
（3）①若射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
②在①的条件下，在平面内另有三点1(8,8)P -、2P （4，32-）、
3(84
84)P +-，，请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）
25．如图，点,,,B F C E 在一条直线上，,//,//AB DE AB ED AC FD =．
求证：（1） AC DF = （2）FB CE =
26．已知一个n 边形的每一个内角都等于120°． （1）求n 的值；
（2）求这个n 边形的内角和；
（3）这个n 边形内一共可以画出几条对角线？
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a 的值，求出之和即可． 【详解】
关于x 的一元一次不等式组整理得：325x a x ≤⎧⎪
+⎨≥⎪⎩，
∵3
25x a x ≤⎧⎪+⎨≥⎪⎩
恰有3个整数解，
∴2015
a
+<
≤，即：23a -<≤， 关于y 的分式方程
3133y ay y y ++=--，整理得：6
y a
=， ∵
3133y ay y y ++=--有正整数解且6
3a
≠， ∴满足条件的整数a 的值为：1，3 ∴所有满足条件的整数a 的值之和是4， 故选A ． 【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握求一元一次不等式组的解以及解分式方程的步骤，是解题的关键．
2．A
解析：A 【分析】
根据分式乘法计算法则解答． 【详解】
解：
2x y x y
x y xy
-⋅-=x ， 故选：A ． 【点睛】
此题考查分式的乘法计算法则，熟记计算法则是解题的关键．
3．B
解析：B 【分析】
先根据分式为零的条件列出关于m 的不等式组并求解即可． 【详解】 解：∵
1
1
m m -+=0 ∴m-1=0，m+1≠0，解得m=1． 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键，同时分母不等于零是解答本题的易错点．
4．A
解析：A 【分析】
根据分式值为零的条件列出方程和不等式，解方程和不等式得到答案． 【详解】
由题意得：|x|−1＝0，x 2−3x+2≠0，解得，x ＝-1， 故选：A ． 【点睛】
本题考查的是分式为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
5．C
解析：C 【分析】
将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义依次判断． 【详解】
A 、()2
1a a b a ab a +-=+-这是整式乘法计算，故该项不符合题意；
B 、()2
211a a a a --=--，等式右侧不是整式的乘积，故该项不符合题意；
C 、()()2
2
492323a b a b a b -+=-++，故该项符合题意；
D 、1212x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，等式右侧是乘积，但1x
不是整式，故该项不符合题意； 故选：C ． 【点睛】
此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的定义是正确判断的关键．
6．C
【分析】
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可. 【详解】
a 2x+3y =(a x )2(a y )3=32⨯23=9⨯8=72， 故选：C 【点睛】
本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答此题的关键.
7．D
解析：D 【分析】
根据完全平方公式，平方差公式和积的乘方公式分别判断即可． 【详解】
A. ()2
222x y x xy y +=++，故原选项错误； B.()
3
2
628m m =，故原选项错误；
C.()2
2244x x x -=-+，故原选项错误； D. ()()2
111x x x +-=-，故选项正确．
故选：D ． 【点睛】
本题考查完全平方公式，平方差公式和积的乘方公式．熟记公式是解题关键．
8．D
解析：D 【分析】
根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项的法则，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】
解：A 、a 2与3a 不是同类项，不能合并，故本选项错误； B 、1028a a a ÷=，故本选项错误； C 、()
3
2
628b b =，故本选项错误；
D 、2
4
22
1
a a
a a --⋅==
，正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．
9．C
【分析】
根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，由此判断①正确；
先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到
60ADC ∠=︒，判断②正确；
过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断③正确；
证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，得到S △ACD =S △AED ，根据等底同高得到S △AED =S △BED ，即可得到
:1:3DAC
ABC
S
S
=，判断④错误．
【详解】
解：由题意得：AD 是BAC ∠的平分线，故①正确； ∵90C ∠=︒，30B ∠=︒， ∴∠BAC=60︒，
∵AD 是BAC ∠的平分线， ∴∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒， ∴60ADC ∠=︒，故②正确； 过点D 作DE ⊥AB 于E ， ∵∠BAD=30B ∠=︒， ∴AD=BD ，
∴△ABD 是等腰三角形， ∴AE=BE ，
∴点D 在AB 的中垂线上，故③正确； ∵AD 是BAC ∠的平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ， ∴CD=DE ，∠C=∠AED=90︒， 又∵AD=AD ， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED ， ∴S △ACD =S △AED ， ∵AE=BE ，DE ⊥AB ， ∴S △AED =S △BED ， ∴:1:3DAC
ABC
S
S
=，故④错误；
故选：C ．
．
【点睛】
此题考查角平分线的作图方法及性质应用，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的
判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．
10．C
解析：C 【分析】
根据等腰ABC ，118ABC ︒∠=，得到AB=CB ，∠A=∠C=1
(180)312
ABC ︒︒-∠=，由DE 垂直平分AB ，求得∠ABE=31A ∠=︒，同理：31QBC C ∠=∠=︒，根据
∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC 计算得出答案． 【详解】
在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=， ∴AB=CB ，∠A=∠C=1
(180)312
ABC ︒︒-∠=， ∵DE 垂直平分AB ， ∴AE=BE ，
∴∠ABE=31A ∠=︒， 同理：31QBC C ∠=∠=︒， ∴∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC=56︒， 故选：C ． 【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
11．C
解析：C 【分析】
延长AP 交BC 于E ，根据AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，即可求出△ABP ≌△BEP ，又知△APC 和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC 的面积． 【详解】
解：延长AP 交BC 于E ， ∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ， ∴∠ABP =∠EBP ，∠APB =∠BPE =90∘， 在△APB 和△EPB 中
∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
APB EPB BP BP
ABP EBP ∴△APB ≌△EPB (ASA )， ∴APB EPB S S =△△，AP =PE ， ∴△APC 和△CPE 等底同高，
∴APC
PCE
S
S
=,
∴PBC PCE PCE S S S =+△△△=12
ABC S =
1
632
⨯= 故选C ．
【点睛】
本题考查了三角形的面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出
PBC PCE PCE S S S =+△△△=12
ABC
S
．
12．C
解析：C 【分析】
设这个多边形为n 边形，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】
解：设这个多边形为n 边形，由题意得 （n-2）180°=360°， 解得n=4，
所以这个多边形是四边形． 故选：C 【点睛】
本题考查多边形的内角和公式，多边形的外角和360°，熟知两个定理是解题关键．
二、填空题
13．-1或-【分析】直接解分式方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案【详解】解：去分母得：（x+4）+m(x-4)=4可得：（m+1）x=4m 当m+1=0时分式方程无解此时m=-1当m
解析：-1或-12
【分析】
直接解分式方程，再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案． 【详解】
解：
2144416m x x x +=-+-， 去分母得：（x+4）+m(x-4)=4， 可得：（m+1）x=4m ，
当m+1=0时，分式方程无解，
此时m=-1，
当m+1≠0时，则x=
41m m +=±4， 当41
m m +=4时，此时方程无解； 当41
m m +=-4时，解得：m=-12， 经检验，m=-12是方程41
m m +=-4的解， 综上所述：m=-1或-
12． 故答案为：-1或-
12
． 【点睛】 此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
14．【分析】分别计算绝对值和0次幂再计算和即可【详解】解：原式＝5+1＝6故答案为：6【点睛】此题主要考查了实数运算解题的关键是熟练掌握绝对值及零次幂的性质
解析：【分析】
分别计算绝对值和0次幂，再计算和即可．
【详解】
解：原式＝5+1
＝6．
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，解题的关键是熟练掌握绝对值及零次幂的性质．
15．【分析】运用平方差公式进行计算即可【详解】解：====故答案为：【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算以及平方差公式的应用熟练掌握运算法则以及平方差公式是解答此题的关键 解析：1120
【分析】
运用平方差公式进行计算即可．
【详解】 解：2221111112310⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⋯⋯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=
111111 1+11111 22331010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=1324911 22331010⨯⨯⨯⨯⨯⨯
=111 210⨯
=11 20
．
故答案为：11 20
．
【点睛】
此题主要考查了有理数的混合运算以及平方差公式的应用，熟练掌握运算法则以及平方差公式是解答此题的关键．
16．等边【分析】先等式两边同乘以2再移项利用完全平方公式即可得到答案【详解】∵∴∴∴∵∴∴a=b=c∴这个三角形是等边三角形故答案是：等边【点睛】本题主要考查完全平方公式偶数次幂的非负性以及等边三角形的
解析：等边
【分析】
先等式两边同乘以2，再移项，利用完全平方公式，即可得到答案．
【详解】
∵222
a b c ab bc ac
++=++，
∴222
222222
a b c ab bc ac
++=++，
∴222
2222220
a b c ab bc ac
++---=，
∴222
()()()0
a b a c b c
-+-+-=，
∵222
()0,()0,()0
a b a c b c
-≥-≥-≥，
∴222
()0,()0,()0
a b a c b c
-=-=-=，
∴a=b=c，
∴这个三角形是等边三角形，
故答案是：等边
【点睛】
本题主要考查完全平方公式，偶数次幂的非负性以及等边三角形的定义，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
17．【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC＝108°由线段垂直平分线的性质可得AE=CE∠EAD=∠ECD=36°进而根据角的和差可得∠BAE＝∠BEA进而可得BA＝BE ＝AC然后问题可求解【详解】∵AB
解析：3a b
+
【分析】
根据等腰三角形的性质∠BAC＝108°，由线段垂直平分线的性质可得AE=CE，
∠EAD=∠ECD=36°，进而根据角的和差可得∠BAE＝∠BEA，进而可得BA＝BE＝AC
然后问题可求解．
【详解】
∵AB=AC，∠ABC=36°，
∴∠C=∠ABC=36°，∠BAC＝108°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠EAD=∠ECD=36°，
∴∠AEC=108°=∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝108°－36°＝72°
∵∠BEA＝180°－∠AEC＝180°－108°＝72°
即∠BAE＝∠BEA
∴BA＝BE
∵BE a=，EC b=，
∴BA＝BE＝AC＝a
∴△ABC的周长＝AB＋BE＋EC＋AC＝3a＋b
故答案为：3a+b．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
18．【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD∠C=∠CAE则有∠BAD+∠CAE=70°进而求得∠DAE的度数【详解】解：∵在△A
解析：40︒
【分析】
先由已知求出∠B+∠C=70°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，则有∠BAD+∠CAE=70°，进而求得∠DAE的度数．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，
∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴AD=BD ，AE=CE ，
∴∠B=∠BAD ，∠C=∠CAE ，
∴∠BAD+∠CAE=70°，
∴∠ADE=∠BAC ﹣（∠BAD+∠CAE ）=110°﹣70°=40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质是解答的关键．
19．4【分析】根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD 再求出AD 的长即可【详解】解：∵AB=6BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵∴∠BAC=∠FCE 在△ADE 和△CFE 中∴△ADE ≌△CFE ∴
解析：4
【分析】
根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD ，再求出AD 的长即可．
【详解】
解：∵AB=6，BD=2
∴AD=AB-BD=6-2=4
∵//CE AB
∴∠BAC=∠FCE ，
在△ADE 和△CFE 中
BAC FCE AE CE
AED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADE ≌△CFE
∴CF=AD=4．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADE ≌△CFE 是解答此题的关键． 20．2b 【分析】先根据三角形三边关系确定>0<0再去绝对值化简即可【详解】∵是△ABC 的三边长∴>0<0=+=2b 故答案填：2b 【点睛】本题主要考查三角形三边关系绝对值的性质和化简问题根据三角形三边关系
解析：2b
【分析】
先根据三角形三边关系，确定a b c +->0，()a b c -+<0，再去绝对值化简即可．
【详解】
∵,,a b c 是△ABC 的三边长
∴a b c +->0，()a b c -+<0，
a b c a c b +-+--
=a b c +-+b c a +-
=2b ，
故答案填：2b ．
【点睛】
本题主要考查三角形三边关系、绝对值的性质和化简问题，根据三角形三边关系定理正确去绝对值是解决本题的关键．
三、解答题
21．（1）40千米；（2）80千米
【分析】
（1）设甲每小时走x 千米，则乙每小时走2x 千米，根据题意列出分式方程，即可求解； （2）设相遇时甲出发t 小时，根据相遇时甲乙路程和为240千米列出方程，求解即可．
【详解】
解：（1）设甲每小时走x 千米，则乙每小时走2x 千米， 根据题意可得：
24024032x x -=， 解得40x =，
经检验得40x =是原分式方程的解，
∴甲每小时走40千米；
（2）设相遇时甲出发t 小时，
由（1）可得乙每小时走80千米，
根据题意可得：()40803240t t +-=,
解得4t =，
此时乙走的路程为()804380⨯-=千米．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系，并列出方程是解题的关键． 22．（1）所得分式的值比原来增大了，计算说明见解析；（2）增大；（3）增大．
【分析】
（1）先求出
11n n m m +-+，通分化简，然后根据0m n ->，0m >判断即可； （2）先求出
22n n m m +-+，通分化简，然后根据0m n ->，0m >判断即可； （3）先求出
n a n m a m
+-+，通分化简，然后根据0m n ->，0m >，0a >判断即可． 【详解】
解：（1）由题意得：
11n n m m
+-+， (1)(1)(1)(1)
m n n m m m m m ++=-++， (1)
mn m mn n m m +--=+， (1)
m n m m -=+， ∵0m n >>，
∴0m n ->，0m >，10m +>， ∴0(1)
m n m m ->+， ∴
101n n m m
+->+， 11n n m m
+∴>+，即所得分式的值比原来增大了； （2）22n n m m
+-+ (2)(2)(2)(2)m n n m m m m m ++=-++ 22(2)
mn m mn n m m +--=+ ()
2(2)m n m m -=+
同理可得
()20(2)m n m m ->+， ∴22n n m m
+>+，即所得分式的值比原来增大了； （3）
n a n m a m +-+ ()()()()m n a n m a m m a m m a ++=
-++ ()
mn ma mn na m m a +--=+ ()
(2)a m n m m -=+
∵0m n ->，0m >，0a >，
∴
()0(2)a m n m m ->+ ∴n a n m a m
+>+，即所得分式的值比原来增大了． 【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是掌握分式运算的法则．
23．（1）这个数是352，这个数是9810；（2）满足条件的“吉样数”是7481，5212，5163，7136．
【分析】
（1）设左边数为m ，右边数为n ，由题意22
5m n -=，分解为51m n m n +=⎧⎨-=⎩解方程组=32m n ⎧⎨=⎩
即可求出，设左边数为m ，右边数为n ，由题意()281m n -=，直接开平方得9m n -=，直接确定m=9，n=0，即可写出这个数；
（2）由题意得()2
2212m n m n -=-+化简得26mn n -=，因式分解()6n m n -=分别讨论n 与m-n 都是6的因式组成方程组，解之即可．
【详解】
（1）一个三位数的“吉祥数”是5，,设左边数为m ，右边数为n ，m 、n 均为正整数， 225m n -=，
51
m n m n +=⎧⎨-=⎩， =32
m n ⎧⎨=⎩， 则这个数是352，
一个四位数的“如意数”是81，
设左边数为m ，右边数为n ，
()281m n -=，
9m n -=，
m=9，n=0，
则这个数是9810，
故答案为：352；9810；
（2）由题意得()2
2212m n m n -=-+， 26mn n -=，
()6n m n -=，
1=6n m n =⎧⎨-⎩，2=3n m n =⎧⎨-⎩，3=2n m n =⎧⎨-⎩，6=1n m n =⎧⎨-⎩
， 17n m =⎧⎨=⎩，2=5n m =⎧⎨⎩，3=5n m =⎧⎨⎩，6=7n m =⎧⎨⎩
， 求满足条件的“吉样数”是7481，5212，5163，7136．
【点睛】
本题考查是三位或三位以上的整数A 的新定义问题，认真学习题中的定义，掌握如意数与吉祥数的约定，会根据题中的要求列出等式，会解不定方程或方程组是解题关键． 24．（1）(4,4)A -；（2）见解析；（3）①存在，P （8，-4）；②满足全等的点有P 1、P 2、P 3，见解析．
【分析】
（1）根据题意，设(,)A a a -，在Rt △AOB 中，利用勾股定理，解得a 的值，即可解得点A 的坐标；
（2）过点C 作CM ⊥x 轴于M ，由平行线的性质得到∠MBC=∠ABC ，结合角平分线上的点到角两边的距离相等可得CM= CH ，据此可证明CG ＝CH ；
（3）①先计算∠BDC 的度数，再根据角平分线及平行线性质可证明∠BOC=∠BCO ，由等角对等边可解得BO=BC=AB ，继而得到∠ACP=∠BDC ，接着证明△APB 为等腰直角三角形，解答AP 的长，据此解题；
②根据全等三角形的判定方法，分别证明1
()BCD PCA AAS ≅、2()BCD P CA AAS ≅、3()BCD P AC AAS ≅即可解题．
【详解】
（1）∵AB ⊥x 轴
∴∠ABO=90°
∵A 在y x =-上
∴设(,)A a a -
则AB=OB=a
即△ABO 为等腰直角三角形
在Rt △AOB 中
∵222AB OB OA +=
∴2232a a +=
∴a=±4（负值舍去）
A ，
∴(44)
（2）如图，过点C作CM⊥x轴于M
∵BC//OE
∴∠MBC=∠BOA=45°，∠ABC=∠OAB=45°∴∠MBC=∠ABC
∵CM⊥x轴，CG⊥AB
∴CM= CG
∵OC平分∠AOB，CM⊥x轴 CH⊥OE
∴CM= CH
∴CG＝CH
（3）①存在点P
易证∠BDC=∠BOD+∠OBD=22.5°+90°=112.5°∵OC平分∠AOB，BC∥OE
∴∠BOC=∠COA ，∠BCO=∠COA
∴∠BOC=∠BCO
∴BO=BC=AB
又∠ABC =45°
∴∠BAC=∠BCA=67.5°
∴∠ACP=112.5°
∴∠ACP=∠BDC
又∠BAC=∠CDA=67.5°
∴CA=CD
∴当CP=BD时，△ACP≌△CDB
∴∠APC=∠DBC=45°
∴△APB 为等腰直角三角形 ∴AP=AB=OB=4
∴P （8，-4）
②如图，满足全等的点有P 1、P 2、P 3理由如下，
1(8,P
∴点1P 在射线(0)OE x x =-≥：y 上，
84<
1P ∴在线段OA 上，
连接1CP
,45CG AB CBG ⊥∠=︒ BCG ∴是等腰直角三角形， CG BG ∴=
(4,4)A -
4OB ∴=
BC OB =
222216BC BG CG OB ∴=+
== 4BG CG BC ∴==
=
(4C ∴
+-
144CP ∴=+= 11,//CP BC CP x ∴=轴 145CP A BOA CBD ∴∠=∠=∠=︒ 190,PGA ∠=︒ 145P AG ∴∠=︒
1167.545112.5CAP CAG P AG ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒ 在BCD △与1
PCA 中 111BDC P AC CP A CBD BC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
1
()BCD PCA AAS ∴≅ 2P 的横坐标为4，点(4,4)4A OB -=， 2P ∴在BA 的延长线上， 连接22,AP CP
67.5BAC ∠=︒
2180112.5CAP BAC ∴∠=︒-∠=︒
2CAP BDC ∴∠=∠ 2P
的纵坐标为
2BP ∴==2BG =
22GP BP BG ∴=-=
CG ∴=2GP CG ∴=
CG AB ⊥
245AP C ∴∠=︒
2AP C ABC ∴∠=∠
在BCD △与2P CA 中，
22BDC P AC ABC AP C CD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
2()BCD P CA AAS ∴≅
3P
，点C
的横坐标为4，
3CP ∴所在的直线垂直于x 轴，
AB x ⊥轴
3//CP AB ∴
连接33CP AP 、，过点A 作3AQ CP ⊥交3P C 的延长线于点Q ， 3//CP AB
3180BAC ACP ∴∠+∠=︒
3180112.5ACP BAC ∴∠=︒-∠=︒
3ACP BDC ∴∠=∠ (4,4)A -
3
444(4)AQ PQ ∴=-==--=3
AQ PQ ∴= 3
AQ PQ ⊥ 3
45APQ ∴∠=︒ 3
APQ ABC ∴∠=∠ 在BCD △与3P AC 中
33BDC PCA APC ABC CD AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
3()BCD P AC AAS ∴≅
故答案为：123P P P 、、 ．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
25．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行线的性质求出∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，根据AAS 证出△BAC ≌△EDF ，可得AC=DF ；．
（2）由△BAC ≌△EDF ，可证BC=EF ，进而可得FB=CE ．
【详解】
证明：（1）∵AB//ED ，AC//FD ，
∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，
在△BAC 和△EDF 中
ACB DFE B E
AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BAC ≌△EDF （AAS ），
∴AC=DF ；
（2）∵△BAC ≌△EDF ，
∴BC=EF ，
∴BC-FC=EF-FC ，
∴FB=CE ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：①全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
26．（1）6；（2）720°；（3）9条
【分析】
（1）分别用两个式子表示多边形的内角和，列出方程，求解即可；
（2）根据多边形内角和公式即可求解；
（3）根据对角线的定义求出每个顶点的对角线条数，再求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得()2180120n n -︒=︒，
解得 6n =．
（2）()62180720-⨯︒=︒，
所以这个多边形的内角和为720°．
（3）六边形每个顶点可以引6-3=3条对角线， 所以一共可画
6392⨯=条对角线． 【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，多边形对角线的定义，熟记多边形的内角和公式，理解对角线的定义是解题关键．。