四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高二上学期第三次月考(12月)数学(理)试题

仁寿一中南校区高2019级高二十二月月考
理科数学试题
本试卷满分150分，考试用时120分钟
一、单项选择题（每题5分，共60分） 1、直线310x y -+=的倾斜角为（ ）A
A.
6
π B. 3π C. 23π D. 56π
2、已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）B
A. 1
B. 2
C.
2
3
D. 4
3、若x 、y 满足 010x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
， 则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）C
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
4、向量(1,1,0),a =向量b (1,0,2)=-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ）D
A ．1-
B ．
3
4
C ．
3
5 D ．
5
7 5、过圆()()2
2
:2125C x y +=－－上一点(2,4)P -作切线l ，直线:30m ax y =－
与切线l 平行，则a 的值为（ ）C
A ．
3
5
B ．2
C ．4 D.
125
6、在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线A 1B 1与AC 1所成角的余弦值为（ A ）
A. 1414
B. 83
14
C. 1313
D.
13
7、已知点()()2,3,3,2A B ---，直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则直线l 的斜率
k 的取值范围是（ ）A A. 34k ≥
或4k ≤- B. 344k -≤≤ C. 15k <- D. 3
44
k -≤≤ 8、已知圆C 1：222880x y x y +++-=和圆C 2：()()2
2
5425x y -+-=，则圆C 1与圆C 2的公切线有（ C ）
A. 1 条
B. 2 条
C. 3 条
D. 4 条
9、已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上，1AB AC ==，3BC =，
12AA =，则球O 的表面积为（ ）B
A. 4π
B. 8π
C. 12π
D. 16π
10、如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界 上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（ ）D
A. 11
3
P AA D V -= B. AP ⊥平面11AC D C. 1AP BC ⊥
D. //AP 平面11AC D
11、椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ，该椭圆上有一点A ，满足△OAF 是等边三角形(O 为坐标原点)，则椭圆的离心率是( )D
A. 2－1 B ．2－2 C. 2－3 D ．3－1
12、已知圆C ：()2
222-+=x y ，直线l ：2=-y kx ，若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线1l ，2l ，使得12⊥l l ，则实数k 的取值范围为（ ）B
A ．(),0-∞ B
．
[)
0,+∞ C ．
()
0,22⎡-⋃++∞⎣
D ．2⎡⎣
二、填空题（每题5分，共20分）
13、若三点A (2，－3)、B (4,3)、C (5，k )在同一条直线上，则实数k ＝_______。

6
14、若方程22
113x y m m
+=--表示椭圆，则m 的取值范围是_____________。

(1,2)(2,3)⋃
15、平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1,,AB AD AA 两两的夹角均为60︒，且
1|AB|=1,|AD|=2|,|AA |3=，则1||AC 等于 。

5
16、已知圆1)1(:2
2
=-+y x M ，圆1)1(:2
2
=++y x N ，直线1l ,2l 分别过圆心M ，
N ，且1l 与圆M 相交于A 、B , 2l 与圆N 相交于C 、D .P 是椭圆22
134
x y +=上的
任意一动点，则PD PC PB PA ⋅+⋅的最小值为____________.6 三、解答题（共70分） 17．（本小题10分）
已知三角形的三个顶点是A （4,0），B （6,7），C （0,3）。

（1）求BC 边上的高所在的直线方程； （2）求BC 边上的中线所在直线方程。

18. （本小题满分12分）
如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点。

（1）求证：//PB 平面EAC ； （2）求证：平面PDC ⊥平面PAD . （1）连接BD 交AC 于点G ,连接EG ，
因为E 为PD 的中点，G 为BD 的中点，所以//PB EG ……3分 又因为EG EAC ⊂平面, PB EAC ⊄平面，所以//PB EAC 平面 ……6分 （2）
,.PA ABCD CD ABCD PA CD ⊥⊂∴⊥面面,
.,,ABCD AD CD PA AD A PA AD PAD ∴⊥⋂=⊂是矩形，而平面 ……9分
..CD PAD CD PDC ∴⊥⊂平面平面
.PDC PAD ∴⊥平面平面 ……12分
19. （本小题满分12分）
已知圆:C 22(1)(1)1x y -+-=，直线:+10l x y +=，
1)点(,)Q x y 是圆C 上任意一点，求z x y =+ 中z 的取值范围；
2) 从点(3,3)P - 射出的光线被直线l 反射之后，反射光线恰好与曲线C 相切，求反射光线所在的直线方程。

())
4(5,55,3)2()4(32
32117--=-=∴-=∴=x y M BC x y BC k k AM BC 由点斜式方程可得的坐标为中点线段为边上的高所在直线方程）、（
20. （本小题满分12分）
已知动点P 与平面上两定点(1,0),(1,0)A B - 连线的斜率之积为定值2- 1）求动点P 的轨迹方程C ； 2）设直线:1l y x =+ 与曲线C 交于,M N 两点,求||MN 。

21.（本小题12分）[来源:学科网ZXXK]
如图，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面⊥PDCE 平
面ABCD ，0
90=∠=∠ADC BAD ，1
2
1
===CD AD AB ，2=PD .
（1）若M 为PA 的中点，求证：MDE AC 面//；
（2）在线段PC 上是否存在一点Q (除去端点)，使得平面QAD 与平面
PBC 所成的锐二面角的大小为
3
π? 解：（1）证明：在矩形PDCE 中，设PC 交DE 于点N ，
则点N 为PC 的中点．连接MN .
在△APC 中，点M 为PA 的中点，点N 为PC 的中 点，所以AC ∥MN .
又MN ⊂平面MDE ，AC ⊄平面MDE ，
所以AC ∥平面MDE . ………………3分
M
P
A
E
B
C
D
（2）假设存在点Q 满足条件，则可设CQ →＝λCP →
(0<λ<1)，得Q (0，2－2λ，2λ)．……8分
又DA →＝(1，0，0)，DQ →
＝(0，2－2λ，2λ)， 设平面QAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 由⎩⎪⎨⎪⎧DA →·n 1＝x 1＝0DQ →·n 1＝（2－2λ）y 1＋2λz 1＝0， 令y 1＝2λ，则n 1＝(0，2λ，2λ－2)．
由平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角为π
3， ………………10分
得cos π3＝|n 1·n ||n 1||n |＝|32λ－22|2×2λ2＋4（λ－1）2＝12，所以λ＝1
3或λ＝1(舍去)， 所以所求点Q 为线段CP 上靠近点C 的一个三等分点，
即在线段PC 上存在点Q 满足条件． ………………12分
22. （本小题满分12分）
已知椭圆222
:9(0)C x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两
个交点,A B ，线段AB 的中点为M ．
（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若l 过点(
,)3
m
m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 解：(1)设直线:l y
kx b (0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．
由方程组2229y kx b
x y m
=+⎧⎨+=⎩得方程
2222(9)20k x kbx b m +++-= 122
290kb x x k ⎧
+=-⎪+⎨
⎪∆>⎩………………………………………………………….2分 故12229
M x x kb
x k +=
=-+， 299
M M b
y kx b k =+=
+． …………………………………………………4分 于是直线OM 的斜率9
M OM M y k x k
=
=-，即9OM k k ⋅=-． 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． …………………6分 （2）四边形OAPB 能为平行四边形 … …………………………………7分 由（1）知：21229kb
x x k +=-
+， 1212218()29
b
y y k x x b k +=++=
+ 假设四边形OAPB 能为平行四边形，则P 在椭圆且OP OA OB 又1212(,)OP OA OB x x y y =+=++=22218(,)99
kb b
k k -
++ P 22218(,)99
kb b
k k -
++……………………………………………………………9分 因为P 在椭圆2229(0)x y m m +=> 所以222
222189()()99
kb b m k k -
+=++……………………………………………..10分 因为直线l 过点(
,)3m
m 所以1
3
m km b
33b
m k
=
-（3k ≠） 222
22
21839()()()993kb b b k k k
-
+=++-……………………………………………11分 化简得2890k k -+=
解得14k =
24k = 当直线l 的斜率K
4
7或4
7时，四边形OAPB 为平行四边形…..12分
（Ⅱ）解法二. 四边形OAPB 能为平行四边形 ………………………………..7分 直线l 过点(
,)3
m
m 直线l 不过原点且与椭圆有两个交点A ，B 的充要条件为0k
且3k ≠….8分
由（Ⅰ）知OM 的方程9
y x k
=-，设(,)p p P x y
由22299y x k x y m
⎧
=-⎪⎨⎪+=⎩
得2
2
(3)3(9)p mk k x k -=
+p x =
.
因为直线l 过点(
,)3m
m 所以1
3
m km b (3)
3
m k b
22(3)
93(9)
M kb mk k x k k -=-
=++…………………………………………………….10分 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即2p M x
x =
2(3)
23(9)
mk k k -=⨯
+解得1
4
7k 2
47k
当直线
l 的斜率K 447时，四边形OAPB 为平行四边形……12分。