山东省各市中考数学分类解析 专题6 函数的图像与性质

山东各市2012年中考数学试题分类解析汇编
专题6：函数的图像与性质
一、选择题
1. （2012山东滨州3分）直线1y x =-不经过【 】
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】B 。

【考点】一次函数图象与系数的关系。

【分析】∵1y x =-，∴00k >b <，
∴1y x =-的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。

故选B 。

2. 2012山东滨州3分）抛物线2
34y x x =--+ 与坐标轴的交点个数是【 】 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】A 。

【考点】抛物线与x 轴的交点，解一元一次、二次方程。

【分析】∵抛物线解析式2
=34y x x --+，
令=0x ，解得：=4y ，∴抛物线与y 轴的交点为（0，4），
令=0y ，得到2
2
124
340340(34)(1)013
x x x x x x x x --+=⇒+-=⇒+-=⇒=-=，， ∴抛物线与x 轴的交点分别为（4
3
-
，0），（1，0）。

综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3。

故选A 。

3. （2012山东德州3分）如图，两个反比例函数1y=
x 和2
y=x
-的图象分别是l 1和l 2．设点P 在l 1上，PC⊥x 轴，垂足为C ，交l 2于点A ，PD⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则三角形PAB 的面积为【 】
A．3 B．4 C．9
2
D．5
4.（2012山东东营3分）如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数
4 y=
x
的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．
其中正确的结论是【】
A ．①② B． ①②③ C．①②③④ D． ②③④ 【答案】C 。

【考点】反比例函数和一次函数交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质。

【分析】∵一次函数y=x+3的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴A（0，－3），B （3，0）。

联立y=x+3和4
y=
x
可得C （－4，－1），D （1，4），∴E（0，－1），F （1，0）。

∴OA=OB=3，OE=OF=1，即△ABO 和△EFO 都是等腰直角三角形。

∴∠BAO=∠EFO=450。

∴AB∥EF。

∴△CEF 与△DEF 是同底等高的三角形。

∴△CEF 与△DEF 的面积相等。

所以结论①正确。

又由AB∥EF，得△AOB∽△FOE。

所以结论②正确。

由各点坐标，得CE=4，DF=4，CF=225+126=，DE=221+526=，∴CE=DF，CF=DE 。

又∵CD=DC，∴△DCE≌△CDF（SSS ）。

所以结论③正确。

由AF=CE=4和AF∥CE 得，四边形ACEF 是平行四边形。

∴AC=FE。

由BE=DF=4和BE∥DF 得，四边形DBEF 是平行四边形。

∴BD=EF。

∴AC=BD。

所以结论④正确。

因此，正确的结论是①②③④。

故选C 。

5. （2012山东菏泽3分）反比例函数2
=y x
的两个点为11(,)x y 、22(,)x y ，且12x x >，则下式关系成立的是【 】
A ．12y y >
B ．12y y <
C ．12y y =
D ．不能确定 【答案】D 。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。

【分析】∵反比例函数2=y x
中，k =2＞0，
∴函数的图象在一、三象限，在每个象限内，函数值随自变量的增加而减小。

∴当12x >x 时，①若两点在同一象限内，则21y >y ；②若两点不在同一象限内，21y <y 。

故选D 。

6. （2012山东菏泽3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数a
y x
=
在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】 A ．
B ．
C ． D
【答案】C 。

【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的图象性质。

【分析】∵由二次函数的图象知：二次函数图象开口向下，∴a ＜0，
∵由二次函数的图象知：二次函数图象的对称轴为=02b
x <a
-
，∴由a ＜0得b ＜0。

∵由二次函数的图象知：二次函数图象经过坐标原点，∴=0c 。

∴一次函数y bx c =+过第二四象限且经过原点，反比例函数=a
y x
位于第二四象限， 观察各选项，只有C 选项符合。

故选C 。

7. （2012山东济南3分）一次函数y=kx ＋b 的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为【 】
A ．x=2
B ．y=2
C ．x=-1
D ．y=-1 【答案】C 。

【考点】一次函数与一元一次方程的关系。

【分析】直接根据函数图象与x 轴的交点进行解答即可：
∵一次函数y=kx ＋b 的图象与x 轴的交点为（－1，0）， ∴当y=kx ＋b=0时，x=－1。

故选C 。

8. （2012山东济南3分）如图，二次函数的图象经过（－2，－1），（1，1）两点，则下列关于此二次函
数的说法正确的是【
】
A ．y 的最大值小于0
B ．当x=0时，y 的值大于1
C ．当x=－1时，y 的值大于1
D ．当x=－3时，y 的值小于0
9. （2012山东临沂3分）如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ∥y 轴，分别交函数
1(0)k y x x =
>和2(0)k
y x x
=>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是【 】
A ．∠POQ 不可能等于90°
B ．
1
2
PM QM k k = C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称 D ．△POQ 的面积是()121
2
k k + 【答案】D 。

【考点】反比例函数综合题，直角三角形的判定，反比例函数的性质，反比例函数系数的几何意义。

【分析】根据反比例函数的性质逐一作出判断：
A ．∵当PM=MO=MQ 时，∠POQ=90°，故此选项错误；
B ．根据反比例函数的性质，由图形可得：1k ＞
0，2k ＜0，而PM ，QM 为线段一定为正值，故
1
2
PM QM k k =
，故此选项错误； C ．根据1k ，2k 的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称，故此选项错误； D ．∵|1k |=PM•MO，|2k |=MQ•MO， ∴△POQ 的面积=
12MO•PQ=12MO （PM+MQ ）=12MO•PM+1
2
MO•MQ=()1212k k +。

故此选项正确。

故选D 。

10. （2012山东青岛3分）点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)都在反比例函数3
y=x
-的图象上，且 x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系是【 】
A ．y 3＜y 1＜y 2
B ．y 1＜y 2＜y 3
C ．y 3＜y 2＜y 1
D ．y 2＜y 1＜y 3 【答案】A 。

【考点】反比例函数的图象和性质。

【分析】作出反比例函数3
y=x
-的图象（如图），即可作出判断： ∵－3＜0， ∴反比例函数3
y=x
-
的图象在二、四象限，y 随x 的增大而增大，且当x ＜0时，y ＞0；当x ＞0时，y ＜0。

∴当x 1＜x 2＜0＜x 3时，y 3＜y 1＜y 2。

故选A 。

11. （2012山东日照4分）二次函数y=ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2
－4ac>0；② 2a＋b<0；③ 4a－2b ＋c=0；④ a︰b ︰c= －1︰2︰3.其中正确的是【 】
(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④
【答案】D 。

【考点】二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，。

【分析】根据二次函数图象和性质分别作出判断：
∵二次函数图象与x 轴有两个交点，∴对应的一元二次方程ax 2
＋bx ＋c 有两个不相等的实数根。

∴b 2
－4ac ＞0。

选项①正确。

又∵对称轴为直线x=1，即b
12a
-
=，∴2a＋b=0。

选项②错误。

∵由图象知，x=－2对应的函数值为负数，∴当x=－2时，y=4a －2b ＋c ＜0。

选项③错误。

∵图象知，x=－1对应的函数值为0，∴当x=-1时，y=a ＋b ＋c=0。

联立2a ＋b=0和y=a ＋b ＋c=0可得：b=－2a ，c=－3a 。

∴a：b ：c=a ：（－2a ）：（－3a ）=－1：2：3。

选项④正确。

综上所述，正确的选项有：①④。

故选D 。

12. （2012山东泰安3分）二次函数2
y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程2
0ax bx m ++=有实数
根，则m 的最大值为【 】
A ．3-
B ．3
C ．6-
D ．9 【答案】B 。

【考点】抛物线与x 轴的交点。

【分析】∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，
∴a ＞0，2
34b a
-=-，即212b a =。

∵一元二次方程2
0ax bx m ++=有实数根，
∴△=2
40b am -≥，即1240a am -≥，即1240m -≥，解得3m ≤。

∴m 的最大值为3。

故选B 。

13. （2012山东泰安3分）二次函数2
()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过【 】
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第二、三、四象限
D ．第一、三、四象限 【答案】C 。

【考点】二次函数的图象，一次函数的性质。

【分析】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m ＞0，n ＜0。

∴m ＜0，
∴一次函数y mx n =+的图象经过二、三、四象限。

故选C 。

14. （2012山东泰安3分）设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2
(1)y x a =-++上的三点，则
1y ，2y ，3y 的大小关系为【 】
A ．213y y y >>
B ．312y y y >>
C ．321y y y >>
D ．312y y y >> 【答案】 A 。

【考点】二次函数图象上点的坐标特征。

【分析】∵函数的解析式是2
(1)y x a =-++，如右图，
∴对称轴是1x =-。

∴点A 关于对称轴的点A′是1(0)y ，。

，
那么点A′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小， ∴于是123y y y >>。

故选A 。

15. （2012山东威海3分）下列选项中，阴影部分面积最小的是【 】
【答案】C 。

【考点】反比例函数的图象和性质。

【分析】根据反比例函数的图象和性质，A ，B ，D 三个图形中阴影部分面积均为2。

而C 图形中阴影部分面积为
3
2。

故选C 。

16. （2012山东威海3分）已知二次函数()2y=ax +bx+c a 0≠的图象如图所示，下列结论错误的是【 】
A.abc ＞0
B.3a ＞2b
C.m （am ＋b ）≤a－b
D.4a －2b ＋c ＜0 【答案】D 。

【考点】二次函数的图象和性质，不等式的性质。

【分析】∵二次函数()2y=ax +bx+c a 0≠的图象的开口向下，对称轴为x=－1，与y 轴的交点在x 轴上方， ∴a＜0，c ＞0，且b
=12a
-
-，即b=2a ＜0。

∴abc＞0。

结论A 正确。

∵3a－2b=3a －4a=－a ＞0，∴3a＞2b 。

结论B 正确。

∵.()
()2
2m am b a b m am 2a a 2a =a m 2m 1=a m 10+--=+--+++≤（）（
）（）（）， ∴m（am ＋b ）≤a－b 。

结论C 正确。

从图象可知，当x=－2时，y ＞0，即4a －2b ＋c ＞0。

结论D 错误。

故选D 。

17. （2012山东潍坊3分）若直线y=－2x －4与直线y=4x ＋b 的交点在第三象限，则b 的取值范围是【 】．
A ． －4<b<8
B ．－4<b<0
C ．b<－4或b>8
D ．－4≤6≤8 【答案】A 。

【考点】两条直线相交问题，解二元一次方程组，平面直角坐标系中各象限点的特征，解一元一次不等式组。

【分析】联立y=－2x －4和y=4x ＋b ，求解得交点坐标，x 和y 的值都用b 来表示，再根据交点坐标在第三象限表明x 、y 都小于0，即可求得b 的取值范围：
由y 2x 4 y 4x b =--⎧⎨=+⎩解得b 4 x ?6
b 8y
3+⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩。

∵交点在第三象限，∴b 4 0 ?6
b 80
3
<<+⎧-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得 b 4?b 8 ><-⎧⎨⎩。

∴－4＜b ＜8。

故选A 。

18. （2012山东烟台3分）已知二次函数y=2（x ﹣3）2
+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有【 】
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】A 。

【考点】二次函数的性质。

【分析】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可：
①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本说法错误； ②图象的对称轴为直线x=3，故本说法错误； ③其图象顶点坐标为（3，1），故本说法错误； ④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，故本说法正确。

综上所述，说法正确的有④共1个。

故选A 。

19. （2012山东枣庄3分）抛物线2
y ax bx 3=+-经过点（2，4），则代数式8a 4b 1++的值为【 】
A ．3
B ．9
C ．15
D ．15- 【答案】C 。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。

【分析】∵抛物线2
y ax bx 3=+-经过点（2，4），∴44a 2b 3=+-，即4a 2b 7+=。

∴()8a 4b 124a 2b 127115++=++=⨯+=。

故选C 。

二、填空题
1. （2012山东滨州4分）下列函数：①y=2x﹣1；②5y=x -；③y=x 2
+8x ﹣2；④22y=x
；⑤1y=2x ；⑥a y=x 中，y 是x 的反比例函数的有 ▲ （填序号） 【答案】②⑤。

【考点】反比例函数的定义。

【分析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：
①y=2x﹣1是一次函数，不是反比例函数；②5
y=x -
是反比例函数； ③y=x 2
+8x ﹣2是二次函数，不是反比例函数；④22y=x
不是反比例函数；
⑤1y=2x 是反比例函数；⑥a y=x
中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数。

故答案为：②⑤。

2. （2012山东济南3分）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx ．小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需 ▲ 秒．
【答案】36。

【考点】二次函数的应用
【分析】设在10秒时到达A 点，在26秒时到达B ，
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同， ∴A，B 关于对称轴对称。

则从A 到B 需要16秒，从A 到D 需要8秒。

∴从O 到D 需要10+8=18秒。

∴从O 到C 需要2×18=36秒。

3. （2012山东济宁3分）如图，是反比例函数k 2
y=x
-的图象的一个分支，对于给出的下列说法： ①常数k 的取值范围是k ＞2； ②另一个分支在第三象限；
③在函数图象上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；
④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；
其中正确的是▲ （在横线上填出正确的序号）
【答案】①②④。

【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征。

【分析】①根据函数图象在第一象限可得k﹣2＞0，故k＞2，故①正确；
②根据反比例函数的性质可得，另一个分支在第三象限，故②正确；
③根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增大而减小，A、B不一定在图象的同一支上，故③错误；
④根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增大而减小，故在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2正确。

故正确的说法为：①②④。

4. （2012山东聊城3分）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴
平行，点P（3a，a）是反比例函数
k
y
x
=（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积
等于9，则这个反比例函数的解析式为▲ ．
【答案】
3
y
x =。

【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质。

【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P（3a，a）在直线AB上可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：
∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积。

设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=6。

∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=3。

∵点P（3a，a）在直线AB上，∴3a=3，解得a=1。

∴P（3，1）。

∵点P在反比例函数
k
y
x
=（k＞0）的图象上，∴k=3×1=3。

∴此反比例函数的解析式为：
3
y
x =。

5. （2012山东日照4分）如图，点A在双曲线
6
y=
x
上，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交
OC于点B，当OA＝4时，则△ABC周长为▲ .
【答案】27。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质。

【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组，解之即可求出△ABC的周长。

设A（a，b），则OC=a，AC=b。

∵点A在双曲线
6
y=
x
上，∴
6
b=
a
，即ab=6。

∵OA=4，∴a2＋b2=42，即（a＋b）2－2ab=16，即（a＋b）2－2×6=16，∴a＋b=27。

∵OA的垂直平分线交OC于B，∴AB=OB。

∴△ABC的周长=OC+AC= a＋b=27。

6. （2012山东威海3分）如图，直线l1，l2交于点A。

观察图象，点A的坐标可以看作方程组▲ 的
解.
【答案】y=2x 1
y=x+2-⎧⎨-⎩。

【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】观察图象，知l 1经过点A （1，1）和点（0，－1），l 2经过点A （1，1）和点（0，2）。

设l 1的解析式为y=kx+b ，将（1，1）和点（0，－1）代入得
k+b=1b=1⎧⎨-⎩，解得k=2
b=1⎧⎨-⎩。

∴l 1的解析式为y=2x 1-。

设l 2的解析式为y=mx+n ，将（1，1）和点（0，2）代入得
k+b=1b=2⎧⎨⎩，解得k=1
b=2-⎧⎨⎩。

∴l 2的解析式为y=x+2-。

∴点A 的坐标可以看作方程组y=2x 1y=x+2-⎧⎨-⎩
的解。

7. （2012山东潍坊3分）点P 在反比例函数k
y=x
(k≠0)的图象上，点Q(2，4)与点P 关于y 轴对称，则反比例函数的解析式为 ▲ . 【答案】8y=x
-。

【考点】关于y 轴对称的点的坐标特征，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据轴对称的定义，利用点Q （2，4），求出P 点坐标，将P 点坐标代入解析式，即可求出反比例函数解析式：
∵点Q （2，4）和点P 关于y 轴对称，关于y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为
相反数
∴P 点坐标为（－2，4）。

将（－2，4）解析式k
y=
x
得，k=xy=－2×4=－8。

∴函数解析式为
8y=x
-。

8. （2012山东枣庄4分）二次函数2y x 2x 3=--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是 ▲ ．
【答案】－1＜x ＜3。

【考点】二次函数与不等式（组）
【分析】根据二次函数的性质得出，y ＜0，即是图象在x 轴下方部分，从而得出x 的取值范围：
∵二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示， ∴图象与x 轴交在（－1，0），（3，0），
∴当y ＜0时，即图象在x 轴下方的部分，此时x 的取值范围是：－1＜x ＜3。

三．解答题
1. （2012山东滨州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2
+bx+c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax 2
+bx+c 的解析式；
（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM 的最小值．
【答案】解：（1）把A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y=ax 2
+bx+c 中，得
4a+2b+c=04a 2b+c=4c=0
⎧⎪
--⎨⎪⎩，解这个方程组，得1a=2b=1c=0⎧
-⎪⎪⎨⎪⎪
⎩。

∴抛物线的解析式为y=﹣
12
x 2
+x 。

（2）由y=﹣12x 2+x=﹣12（x ﹣1）2+12
，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB 。

∴OM=BM。

∴OM+AM=BM+AM。

连接AB 交直线x=1于M 点，则此时OM+AM 最小。

过点A 作AN⊥x 轴于点N ，
在Rt△ABN 中，2222AB=AN +BN 4+442==， 因此OM+AM 最小值为42。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。

（2）根据O 、B 点的坐标发现：抛物线上，O 、B 两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连
接A 、B ，直线AB 和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M 点，而AM+OM 的最小值正好是AB 的长。

对x=1上其它任一点M′，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有： O M′+A M′= B M′+A M′＞AB=OM+AM ， 即OM+AM 为最小值。

2. （2012山东德州10分）现从A ，B 向甲、乙两地运送蔬菜，A ，B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A 到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B 地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨．
（1）设A 地到甲地运送蔬菜x 吨，请完成下表：
运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨）
A
x
B
（2）设总运费为W 元，请写出W 与x 的函数关系式 （3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【答案】解：（1）完成填表：
运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨）
A x 14﹣x B
15﹣x
x ﹣1
（2）W=50x ＋30（14－x ）＋60（15－x ）＋45（x －1），
整理得，W=5x ＋1275。

（3）∵A，B 到两地运送的蔬菜为非负数，
∴x 0
14x 015x 0x 10≥⎧⎪-≥⎪⎨
-≥⎪⎪-≥⎩，解不等式组，得：1≤x≤14。

在W=5x+1275中，W 随x 增大而增大， ∴当x 最小为1时，W 有最小值 1280元。

【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）根据题意A ，B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，可得解。

（2）根据从A 到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B 地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨可列出总费用，从而可得出答案。

（3）求出x 的取值范围，利用w 与x 之间的函数关系式，求出函数最值即可。

3. （2012山东东营11分）已知抛物线2
3+bx+63经过A （2，0）
． 设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ．
（1）求b 的值，求出点P 、点B 的坐标；
（2）如图，在直线 y=3x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D 的坐 标；若不存在，请说明理由；
（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线2
3+bx+63A （2，0）
， 2
3+bx+63=0，解得b=43- ∴抛物线的解析式为2
343x+63-。

∵)2233
y=43x+63=x 42322
---
∴顶点P 的坐标为（4，23-）。

令y=02
343x+63=0-，解得12x =2x =6，。

∴点B 的坐标是（6，0）。

（2）在直线 y=3x 上存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形。

理由如下：
设直线PB 的解析式为y=kx+b ，把B （6,0）,P(4, 23-)分别代入，得
6k+b=0
4k+b=23⎧⎪⎨
-⎪⎩， 解得k=3b=63
⎧⎪⎨-⎪⎩ ∴直线PB 的解析式为y=3x 63- 又∵直线OD 的解析式为y=3x ∴直线PB∥OD。

设直线OP 的解析式为y=mx ，把P(4, 23-)代入，得
23=4m -，解得3
m= 如果OP∥BD，那么四边形OPBD 为平行四边形。

设直线BD 的解析式为3
y=，将B(6,0)代入，得
3
6+n=0-
⋅，解得n=33。

∴直线BD
的解析式为3
y=x+332-。

联立方程组y=3x
3y=x+33⎧⎪
⎨-
⎪⎩
，解得x=2y=23⎧⎪⎨⎪⎩。

∴D 点的坐标为（2, 23）。

（3）符合条件的点M 存在。

验证如下：
过点P 作x 轴的垂线，垂足为为C ，则PC=23，AC=2， 由勾股定理，可得AP=4，PB=4。

又∵AB=4，∴△APB 是等边三角形。

作∠PAB 的平分线交抛物线于M 点，连接PM,BM 。

∵AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP ，∴△AMP≌△AMB.（SAS ）。

因此即存在这样的点M ，使△AMP≌△AMB.。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定。

【分析】（1）由抛物线2
3y=
x +bx+63经过A （2，0）
，代入即可求出b 的值；从而得出抛物线的解析式，化为顶点式即可求出顶点P 的坐标；令y=0，即可求出点B 的坐标。

（2）用待定系数法，求出直线PB 、BD 的解析式，联立y=3x 和3
y=x+33-，解之即得 点D 的坐标。

（3）由勾股定理求出AP 、BP 和AB 的长，证出△APB 是等边三角形，即可作BP 的中垂线AM 交BP
于点M ，点M 即为所求。

4. （2012山东菏泽7分）如图，一次函数2
y=23
x -
+的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B 、C 两点直线的解析式．
【答案】解：一次函数
2
y=2
3
x
-+中，令=0
x得：y=2；令y=0，解得=3
x。

∴A的坐标是（0，2），C的坐标是（3，0）．
作CD⊥x轴于点D。

∵∠BAC=90°，∴∠OAB+∠CAD=90°。

又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠BAO。

又∵AB=AC，∠BOA=∠CDA=90°，∴△ABO≌△CAD（AAS）。

∴AD=OB=2，CD=OA=3，OD=OA+AD=5。

∴C的坐标是（5，3）。

设BC的解析式是y kx b
=+，
根据题意得：
2
35
b
k b
=
⎧
⎨
=+
⎩
，解得：
1
5
2
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩。

∴BC的解析式是：
1
2
5
y x
=+。

【考点】一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】作CD⊥x轴于点D，易证△ABO≌△CAD，即可求得AD，CD的长，则C的坐标即可求解；利用待定系数法即可求得直线BC的解析式。

5. （2012山东菏泽10分）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件）…20 30 40 50 60 …
每天销售量y（件）…500 400 300 200 100 …
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x 的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）
（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
【答案】解：（1）画图如下：
由图可猜想y 与x 是一次函数关系，设这个一次函数为(0)y kx b k =+≠，
∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）两点，
∴5002040030k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得10700
k b =-⎧⎨=⎩。

∴函数关系式是10700y x =-+。

经验证，其它各点也在10700y x =-+上。

（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W 元，依题意得：
22W (10)(10700)10800700010(40)+9000x x x x x =--+=-+-=--，
∴当40x =时，W 有最大值9000。

（3）对于函数2W 10(40)+9000x =--，当35x ≤时，W 的值随着x 值的增大而增大，
∴销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大。

【考点】二次函数和一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值和增减性。

【分析】（1）利用表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再取任意两点用待定系数法得出y 与x 的函数关系式，求出即可。

（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出W (10)(10700)x x =--+，从而利用二次函数最值求法得出即可。

（
3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案。

6. （2012山东济南9分）如图，已知双曲线
k
y
x
=，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，
过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）∵双曲线
k
y
x
=经过点D（6，1），∴
k
1
6
=，解得k=6。

（2）设点C到BD的距离为h，
∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，∴BD=6，∴S△BCD=1
2
×6•h=12，解得h=4。

∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1－4= －3。

∴6
3
x
=，解得x= －2。

∴点C的坐标为（－2，－3）。

设直线CD的解析式为y=kx＋b，
则
2k b3
6k b1
-+=-
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
k
2
b2
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩。

∴直线CD的解析式为
1
y x2
2
=-。

（3）AB∥CD。

理由如下：
∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点C的坐标为（－2，－3），点D的坐标为（6，1），∴点A、B的坐标分别为A（－2，0），B（0，1）。

设直线AB的解析式为y=mx+n，
则
2m n0
n1
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
1
m
2
n1
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩。

∴直线AB的解析式为
1
y x1
2
=+。

∵AB、CD的解析式k都等于1
2
相等。

∴AB与CD的位置关系是AB∥CD。

【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的判定。

【分析】（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解。

（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答。

（3）根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线
AB的解析式，可知与直线
CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行。

7. （2012山东济南9分）如图1，抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴相交于点A（－3，0），B（－1，0），与y 轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；
（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴相交于点A（－3，0），B（－1，0），
∴9a 3b 30a b 30-+=⎧⎨-+=⎩，解得a 1b 4
=⎧⎨=⎩。

∴抛物线的解析式为：y=x 2＋4x ＋3。

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x 2＋4x ＋3，
∵令x=0，得y=3，∴C（0，3）。

∴OC=OA=3，则△AOC 为等腰直角三角形。

∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB=22。

在Rt△BOC 中，由勾股定理得：BC=221310+=。

如图1所示，连接O 1B 、O 1C ，
由圆周角定理得：∠BO 1C=2∠BAC=90°。

∴△BO 1C 为等腰直角三角形，
∴⊙O 1的半径O 1B=22BC 105=⨯=。

（3）点N 的坐标为（72，32-）或（12，92
-）。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，圆及抛物线的对称性质，相似三角形的性质，勾股定理。

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如答图1所示，由△AOC 为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由 圆周角定理，确定△BO 1C 为等腰直角三角形，从而求出半径的长度。

（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D 坐标，从而求出点M 的坐标和线段 BM 的长度；点B 、P 、C 的坐标已知，求出线段BP 、BC 、PC 的长度；然后利用△BMN∽△BPC 相似三角形比例线段关系，求出线段BN 和MN 的长度；最后利用勾股定理，列出方程组，求出点N 的坐标。

∵抛物线y=x 2＋4x ＋3=（x ＋2）2－1，
∴顶点P 坐标为（－2，－1），对称轴为x= －2。

又∵A（－3，0），B （－1，0），可知点A 、B 关于对称轴x=2对称。

如图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D 、点C （0，3）关于对称轴对称。

∴D（－4，3）。

又∵点M 为BD 中点，B （－1，0），∴M（53,22
- ）。

∴BM=22533[(1)]()2
222
---+=。

在△BPC 中，B （－1，0），P （－2，－1），C （0，3），
由勾股定理得：BP=2，BC=10，PC=25。

∵△BMN∽△BPC，
∴BM BN MN BP BC PC ==，即32
2 21025
==。

解得：BN=3102
，MN 35=。

设N （x ，y ），由勾股定理可得：
2222223(x 1)y (10)253(x )(y )(35)22⎧++=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩，解得，117x 23y 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，221x 29y 2⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩。

∴点N 的坐标为（72，32-）或（12，92
-）。

8. （2012山东济宁10分）如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣4与x 轴交于A （4，0）、B （﹣2，0）两点，与y 轴
交于点C ，点P 是线段AB 上一动点（端点除外），过点P 作PD∥AC，交BC 于点D ，连接CP ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当动点P 运动到何处时，BP 2
=BD•BC；
（3）当△PCD 的面积最大时，求点P 的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax 2
+bx ﹣4与x 轴交于A （4，0）、B （﹣2，0）两点
∴16a+4b 4=04a 2b 4=0-⎧⎨--⎩，解得1a=2b=1
⎧⎪⎨⎪-⎩。

∴抛物线的解析式为21y=x x 42
--。

（2）设点P 运动到点（x ，0）时，有BP 2
=BD•BC， 在21y=x x 42
--中，令x=0时，则y=﹣4，∴点C 的坐标为（0，﹣4）。

∵PD∥AC，∴△BPD∽△BAC。

∴BD BP BC BA
=。

∵BC ===AB=6，BP=x ﹣（﹣2）=x+2
x+26=
，即)BD x+2=。

∵BP 2=BD•BC，∴(
)
)2x+2x+2=
⋅，解得x 1=43，x 2=﹣2（不合题意，舍去）。

∴点P 的坐标是（43
，0）。

∴当点P 运动到（43
，0）时，BP 2=BD•BC。

（3）∵△BPD∽△BAC，∴2BPD BAC S BP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭
∴()22
2BPD BAC BP x+211S S 64=x+2AB 623∆∆⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵()BPC 1S x+242∆=
⋅⋅， ∴()()()22PCD BPC BPD 111S S S =x+24x+2x 1+3233
∆∆∆=-⋅⋅-=--。

∵13
-＜0，∴当x=1时，S △BPC 有最大值为3。

∴点P 的坐标为（1，0）时，△PDC 的面积最大。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】（1）该抛物线的解析式中有两个待定系数，只需将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可。

（2）首先设出点P 的坐标，由PD∥AC 得到△BPD∽△BAC，通过比例线段可表示出BD 的长；BC 的长易得，根据题干给出的条件BP 2
=BD•BC 即可求出点P 的坐标。

（3）由于PD∥AC，根据相似三角形△BPD、△BAC 的面积比，可表示出△BPD 的面积；以BP 为底，
OC 为高，易表示出△BPC 的面积，△BPC、△BPD 的面积差为△PDC 的面积，通过所列二次函数的性质，即可确定点P 的坐标。

9. （2012山东莱芜12分）如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)与y 轴交于点C(0，
3)，
与x 轴交于A 、B 两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求△ACD 的面积；
(3)点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ．问是否存在点E ，使 得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标为(2，－1)，
∴可设抛物线的表达式为2y=a(x 2)1--。

∵点C(0，3)在2y=a(x 2)1--上，∴23=a(02)1--，解得a 1=。

∴抛物线的表达式为2y=(x 2)1--，即2y=x 4x+3-。

（2）令y=0，即2x 4x+3=0-，解得12x 1x =3=，。

∴A（1，0），B （3，0）。

设BC 的解析式为y=kx+b ，将B （3，0），C （0，3）代入得， 3k+b=0b=3⎧⎨⎩，解得k=1b=3-⎧⎨⎩。

∴BC 的解析式为y=x+3-。

当x=2时，y=－2＋3=1，∴D（2，1）。

∴ACD ABC ABD 11S S S 2321222
∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=。

（3）存在。

假设存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似。

∵△BCO 是等腰直角三角形，∴以D 、E 、F 为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形。

∵由EF∥OC 得∠DEF=450
，。