辽宁省丹东市第十三中学2020-2021学年高一数学理下学期期末试题含解析

辽宁省丹东市第十三中学2020-2021学年高一数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）已知函数f（x）=|x|，则下列哪个函数与y=f（x）表示同一个函数（）
A．g（x）=（）2 B．h（x）=
C．s（x）=x D．y=
参考答案：
B
考点：判断两个函数是否为同一函数．
专题：函数的性质及应用．
分析：由f（x）的对应关系和定义域，求出A、B、C、D中函数的定义域和对应关系，判定是否与f （x）为同一函数即可．
解答：∵f（x）=|x|，x∈R；
∴A中，g（x）=x，x≥0，定义域不同，不是同一函数；
B中，h（x）=|x|，x∈R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
C中，s（x）=x，x∈R，对应关系不同，不是同一函数；
D中，y==|x|，x≠0，定义域不同，不是同一函数．
故选：B．
点评：不同考查了判定函数是否为同一函数的问题，解题时只需考虑两个函数的定义域、对应关系是否相同即可，是基础题．2. 若方程表示平行于x轴的直线，则的值是（）
A．B．C．,Ｄ．1参考答案：
B
略
3. 已知函数f(x)=有3个零点，则实数a的取值范围是（）
A．a＜1 B．a＞0 C．a≥1D．0＜a＜1
参考答案：
D
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】作出函数f（x）的图象，利用函数f（x）有3个零点，建立条件关系即可求出a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）有3个零点，须满足，
即，
即0＜a＜1，
故选D．
【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
4. 已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（）
A．k=1且c与d同向 B．k=1且c与d反向
C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向
参考答案：
D
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=﹣1是否满足条件，从而选出应选的选项．
【解答】解：∵=（1，0），=（0，1），若k=1，
则=+=（1，1），=﹣=（1，﹣1），
显然，与不平行，排除A、B．
若k=﹣1，则=﹣+=（﹣1，1），=﹣=（1，﹣1），
即∥且与反向，排除C，
故选 D．
5. 设S n为等比数列{a n}的前n项和，若，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
6. 定义函数（定义域），若存在常数C，对于任意，存在唯一的，使
得，则称函数在D上的“均值”为C．已知，，则函数在上的均值为…………（）
A．B． C． D．10
参考答案：
C
7. 对一切实数x，若不等式x4+(a -1)x2+1≥0恒成立，则a的取值范围是
A.a ≥-1
B.a ≥0
C.a ≤3
D.a ≤1
参考答案：
A
令x2=t,因为t=0时1>0，所以此时当时，的最大值，
因为，所以
因此，
8. 如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设f 1 (x)＝f(x)，f n+1 (x)＝f[f n(x)]，n∈N*，则函数y ＝f 4 (x)的图象为( )
参考答案：
D
略
9. 在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
参考答案：
C
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】正四面体P﹣ABC即正三棱锥P﹣ABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，进而可得答案．
【解答】解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．
若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE
故DF⊥平面PAE，故B正确．
由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．
故选C．
【点评】本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．
10. 设集合A=，B=，则A B等于( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列命题中：
（1）若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；
（2）已知函数y=f（3x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0]；
（3）方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数是2．
（4）已知f（x）=x5+ax3+bx﹣8，若f（﹣2）=8，则f（2）=﹣8；
（5）已知2a=3b=k（k≠1）且，则实数k=18；
其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）
参考答案：
（3）（5）
【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求出满足条件的k值，可判断（1）；求出函数的定义域，可判断（2）；求出方程根的个数，可判断（3）；求出f（2）的值，可判断（4）；求出k值，可判断（5）；
【解答】解：（1）若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1，或k=0，故错误；
（2）已知函数y=f（3x）的定义域为[﹣1，1]，则3x∈[，3]，
则函数y=f（x）的定义域为[，3]，故错误；
（3）函数y=2|x|与函数y=log2（x+2）+1的图象有两个交点，
故方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数是2，故正确；
（4）已知f（x）=x5+ax3+bx﹣8，则f（﹣x）+f（x）=﹣16，
若f（﹣2）=8，则f（2）=﹣24，故错误；
（5）已知2a=3b=k（k≠1）则=log k2，
若，则log k2+2log k3=log k18=1，
故实数k=18，故正确；
故答案为：（3）（5）
12. 下图中的三个正方形块中，着色的正方形的个数依次构成一个数列的前3项，根据着色的规律，这个数列的通项__________.
参考答案：
略
13. 已知数列为；其前n项和为_____________. 参考答案：
.
【分析】
将数列的通项化简，将其裂项，利用裂项求和法求出前项和。

【详解】，设该数列的前项和为，
因此，，
故答案为：。

【点睛】本题考查数列的裂项求和法，要熟悉裂项求和法对数列通项的基本要求，同时要注意裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题。

14. 一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是km．
参考答案：
3
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】作出图形，则AB=6，A=30°，∠ABS=105°，利用正弦定理解出BS．
【解答】解：由题意可知AB=24×=6km，∠A=30°，∠ABS=180°﹣75°=105°，
∴∠ASB=180°﹣A﹣∠ABS=45°，
在△ABS中，由正弦定理得，即，
解得BS=3．
故答案为：3．15. 下列命题：
①存在x<0，x2－2x－3＝0；
②对于一切实数x<0，都有|x|>x；
③?x∈R，＝x；
④已知a n＝2n，b m＝3m，对于任意n，m∈N*，a n≠b m.
其中，所有真命题的序号为________．
参考答案：
①②
解析：因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，
所以存在x0＝－1<0，使x－2x0－3＝0，故①为真命题；
②显然为真命题；
③＝|x|，故③为假命题；
④当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故④为假命题．
16. 已知定义在R上的函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a
的取值范围是．
参考答案：
（﹣∞，2]
【考点】函数单调性的性质．
【专题】计算题．
【分析】由已知中定义在R上的函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，我们易得函数f（x）在各段上均为增函数，且当X=0时，函数右边一段的值不小于左边的值．
【解答】解：∵定义在R上的函数，
∴当f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，
∴当X=0时，x2+1≥x+a﹣1
即1≥a﹣1
∴a≤2
故答案为：（﹣∞，2]
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中处理分界点处函数值的大小关系，是解答本题的关键．
17. 函数在的最大值比最小值大，则的值为。

参考答案：
或
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题9分）
函数
（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；
（Ⅱ）求证：在定义域内恒为正。

参考答案：
略19. 已知数列{a n}的前n项和为S n，，若数列是公比为4的等比数列.
（1）求S n，并求数列{a n}的通项公式a n；
（2）设，，若数列{b n}是递增数列，求实数的范围.
参考答案：
（1）是等比数列，首项为a1+1=4，q=4，则S n+1=4n，所以.
当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，a n=S n－S n－1=3×4n－1，
则a n= 3×4n－1.
（2）由题意，对恒成立，.
20. （12分）袋子中有红、黄、白3种颜色的球各1个，从中每次任取一个，有放回的抽取3次，求
（1）3个球全是红球的概率；
（2）3个球不全相同的概率；
（3）3个球颜色全不相同的概率.
参考答案：
解：事件总数为27种
设A＝｛全是红球｝，A所包含的基本事件数＝1，P（A）=;
设B＝｛三个颜色不全相同｝，B所包含的基本事件数＝24，P（A）=
设C＝｛三个颜色全不相同｝，C所包含的基本事件数＝6，P（A）=
略
21. 设是定义在R上的奇函数，且对任意a、b，当时，都有。

（1）若，试比较与的大小关系；
（2）若对任意恒成立，求实数k的取值
范围。

参考答案：
解：（1）因为，所以，由题意得：
，所以，又是定义在R上的奇函数，
，即
（2）由（1）知为R上的单调递增函数，
对任意恒成立，
，即，
，对任意恒成立，
即k小于函数的最小值.
令，则，
.
略22. （10分）已知函数f(x)=log4．
（Ⅰ）若f(a)=，求a的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．
参考答案：
【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的判断．
【分析】（Ⅰ）若，则=2，解得a的值；
（Ⅱ）函数f（x）为奇函数，结合函数奇偶性的定义和对数的运算性质，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数．，
∴=，
∴=2，
解得：a=3；
（Ⅱ）函数f（x）为奇函数，理由如下：
函数f（x）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称，
且f（﹣x）+f（x）=+=0，
即f（﹣x）=﹣f（x），
故函数f（x）为奇函数．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，函数求值，难度中档．。