北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题1(含答案)

北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题1（含答案）1．下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是（）
A．两条直角边对应相等B．一条边和一个角对应相等
C．一条边和一个锐角对应相等D．有两条边对应相等
2．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）
A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等
C．一条边和一锐角对应相等D．一条边和一个角对应相等
3．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，BC交AD于O．给出下列结论：①BC 平分∠ABD；②△ABO≌△CDO；③∠AOC＝120°；④△BOD是等腰三角形．其中正确的结论有（）
A．①③B．②④C．①②D．③④
4．在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）
A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上
C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A的正弦值是，那么下列各式正确的是（）A．AB＝4BC B．AB＝4AC C．AC＝4BC D．BC＝4AC
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠B的余切值为（）A．B．C．D．
7．如图，AB∥DF，AC⊥CE于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于（）
A．110°B．100°C．80°D．70°
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，则BC的长为（）A．3B．2C．3D．2
9．如图，将一个含有45°角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上．若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最长边的长是（）
A．2cm B．4cm C．2cm D．4cm
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，∠A＝30°，则AC的长度为（）
A．8B．12C．10D．10
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是（）
A．B．4C．D．2
12．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，点D、E分别在边AC、AB 上，若AD＝DC，AE＝CB+BE，则线段DE的长为（）
A．2B．C．D．2
13．已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，BC的中点，延长AC到F，使得CF＝AC，连接EF．若EF＝4，则AB的长为（）
A．8B．C．4D．
14．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，AC＝6，BD＝10，则EF的长为（）
A．3B．4C．5D．
15．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．已知AC＝3，CD＝2，则tan A的值为（）
A．B．C．D．
16．如图，三角形ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你填加一个适当的条件，使△AEC≌△CDA．
17．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件．（只需写出符合条件一种情况）
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为9，则BE＝．
19．当三角形中的一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”为直角三角形，则这个“特征角”的度数为．
20．如图，在△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D是BC上的中点．点P是边AB 上的动点，若要使△BPD为直角三角形，则BP＝．
21．已知∠AOB＝30°，点D在OA上，OD＝，点E在OB上，DE＝2，则OE的长是．
22．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为．
23．如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是度．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝．
25．在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，AD⊥AB，AD交直线BC于点D，CD＝1，则BC＝．
26．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB边的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．若CE＝1，则△ABC的面积是．
27．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，∠BAC＝120°，小明要将该三角形分割成两个直角三角形和两个等腰三角形，他想出了如下方案：在AB上取点D，过点D画DE∥AC交BC 于点E，连结AE，在AC上取合适的点F，连结EF可得到4个符合条件的三角形，则满足条件的AF长是．
28．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．
29．如图，已知Rt△ABC斜边AB长为13，则中线CD长为．
30．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝65°，D是AC的中点，连结BD，则∠ADB ＝度．
31．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC．
32．已知如图，∠A＝90°，∠D＝90°，且AE＝DE，求证：∠ACB＝∠DBC．
33．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，且AE＝BC，ED⊥AB于点D，过A点作AC的垂线，交ED的延长线于点F．
求证：AB＝EF．
34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，求BE的长．
35．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CE是高，连接DE．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．
参考答案
1．解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，能判定全等；
B、如果一直角和一斜边对应相等，不能判定两个直角三角形全等，不能判定全等；
C、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理AAS，能判定
全等；若一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理ASA，也能判全等；
D、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理HL，能
判定全等；若两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，也能判全等．故选：B．
2．解：∵A、两条直角边对应相等
可利用SAS判定两直角三角形全等，
B、两边对应相等，可利用HL或SSA判定两直角三角形全等；
C、一条边和一锐角对应相等，可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等．
D、一条边和一个角对应相等不能判定两直角三角形全等．
故选：D．
3．解：∵把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠C＝∠A＝90°，AB＝CD；
∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO≌△CDO（第二个正确）；
∴OB＝OD；
∴△BOD是等腰三角形（第四个正确）．
其它无法证明．
故选：B．
4．解：A、∵AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A＝∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；
B、∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴DF＝
DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；
C、∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴△BDF
≌△CDE（AAS），正确；
D、无法判定，错误，
故选：D．
5．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴sin A＝＝，
∴AB＝4BC，
故选：A．
6．解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴cot B＝＝＝，故选：A．
7．解：∵AC⊥BC于C，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，
∵AB∥DF，
∴∠1+∠CEF＝180°，
即∠CEF＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°．
故选：A．
8．解：如图，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，∴AC＝AB＝3，
由勾股定理，BC＝＝＝3．
故选：C．
9．解：过点C作CD⊥AD，∴CD＝2，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD＝2×2＝4，
又∵三角板是有45°角的三角板，
∴AB＝AC＝4，
∴BC2＝AB2+AC2＝42+42＝32，
∴BC＝4，
故选：D．
10．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝2×10＝20，
由勾股定理得：AC＝＝＝10，故选：D．11．解：连接CD，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝8，
∵BD＝CD，
∴∠B＝∠BCD＝30°，
∴∠DCA＝60°，
∵∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD＝AD＝BD＝AB＝4，故选：B．12．解：过点E作EF∥BC
∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4
∴BC＝2，AC＝，∠EF A＝90°
∵AD＝DC
∴AD＝DC＝
∵AE＝CB+BE
∴AE＝CB+BE＝（4+2）÷2＝3，BE＝1
∵EF∥BC
∴△AFE∽△ACB
∴
∴EF＝，AF＝
∴DF＝AF﹣AD＝
根据勾股定理：DE＝＝
故选：B．
13．解：连接CD，
∵点D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC．
∵延长AC到F，使得CF＝AC，
∴DE∥CF且DE＝CF，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴CD＝EF＝4．
∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB中线，
∴AB＝2CD＝8．
故选：A．
14．解：连接AE，CE，
∵∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E是BD，
∴AE＝BD，CE＝BD，
∴AE＝CE，
∵F是AC的中点，
∴EF⊥AC，
∵AC＝6，BD＝10，
∴AE＝5，AF＝3，
∴EF＝＝4，
故选：B．
15．解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝4，
∴BC＝＝＝
∴tan A＝＝故选：C．
16．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB
∴∠AEC＝∠CDA＝90°，
∴当CE＝AD（HL）或∠DAC＝∠ECA（AAS）或∠BAC＝∠ACB（ASA）时，△AEC≌△CDA．
17．解：∵AC⊥BC，AD⊥DB，
∴∠C＝∠D＝90°
∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD
∴添加AC＝BD或BC＝AD或∠DAB＝∠CBA或∠CAB＝∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．
18．解：过B作BF垂直DC的延长线交于点F，∵∠ABC＝∠CDA＝90°，BF⊥CD，∴∠ABE+∠EBC＝∠CBF+∠EBC，∴∠ABE＝∠CBF；
又∵BE⊥AD，BF⊥DF，且AB＝BC，
∴△ABE≌△CBF，即BE＝BF；
∵BE⊥AD，∠CDA＝90°，BE＝BF，
∴四边形BEDF为正方形；
由以上得四边形ABCD的面积等于正方形BEDF的面积，即等于9，
∴BE2＝9，即BE＝3．
19．解：①“特征角”的2倍是直角时，“特征角”＝×90°＝45°；
②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，设“特征角是x”，
由题意得，x+2x＝90°，
解得x＝30°，
所以，“特征角”是30°，
综上所述，这个“特征角”的度数为45°或30°．
故答案为：45°或30°．
20．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵D是BC中点，
∴CD＝BD＝4，
分两种情形：①当∠DPB＝90°时，△DPB∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴BP＝．
②当∠PDB＝90°，易证：DP∥AC，
∵CD＝DB，
∴AP＝PB＝5，
综上所述，满足条件的PB的值为5或．
故答案为5或
21．解：如图所示，过D作DF⊥OB于F，∵∠AOB＝30°，OD＝2，
∴DF＝OD＝，OF＝3，
又∵DE＝2，
∴Rt△DEF中，EF＝1，
当点E在点F左侧时，OE＝OF﹣EF＝3﹣1＝2；
当点E'在点F右侧时，OE'＝OF+E'F＝3+1＝4；
综上所述，OE的长为2或4，
故答案为：2或4．
22．解：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABE，△ADB是直角三角形，
∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，
∴EM＝DM＝AB，
∵ME＝AB＝MA，
∴∠MAE＝∠MEA，
∴∠BME＝2∠MAE，
同理，MD＝AB＝MA，
∴∠MAD＝∠MDA，
∴∠BMD＝2∠MAD，
∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，所以△DEM是边长为2的正三角形，所以S△DEM＝．
故答案为：．
23．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝65°，
∴∠B＝25°，
故答案为25．
24．解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝1，
又∵直角△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．
故答案为：3．
25．解：在Rt△ABD中，∠ABC＝30°，
∴BD＝2AD，
由勾股定理得，BD2＝AD2+AB2，即BD2＝（BD）2+（4）2，解得，BD＝8，
当点D在线段BC上时，BC＝BD+CD＝9，
当点D在线段BC′的延长线上时，BC＝BD﹣CD＝7，
故答案为：7或9．
26．解：连接EB，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝30°，
∴∠EBC＝30°，
∴EB＝2EC＝2，
由勾股定理得，BC＝＝，
∴△ABC的面积＝×BC×AC＝，
故答案为：．
27．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠C＝30°，∠BDE＝120°，
∴△BDE是等腰三角形，∠ADE＝180°﹣∠BDE＝60°．
被分割的四个三角形中有两个直角三角形和两个等腰三角形．
①当∠AED＝90°时，如图1：
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝30°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣∠DAE＝90°．
则△EFC是等腰三角形．
∵∠AEC＝180°﹣∠BED﹣∠DEA＝60°，
∴△EFC是等腰三角形只可能存在∠FEC＝∠C＝30°的情况，设AF＝x，
∵∠AEF＝180°﹣∠BED﹣∠AED﹣∠FEC＝30°，
∴EF＝2x，
∵EF＝FC＝2x，
∴AF+FC＝3x＝AC＝15，
∴AF＝5．
②当∠DAE＝90°且∠AEF＝90°时，如图2：
此时∠EAF＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，
∴∠AFE＝180°﹣∠AEF﹣∠EAF＝60°
设AF＝x，则EF＝x，
∵∠EFC＝180°﹣∠AFE＝120°，
又∵∠FEC＝180°﹣∠C﹣∠EFC＝30°，
∴△EFC是等腰三角形，CF＝EF＝x，
∵AC＝AF+FC＝x+x＝15，
∴AF＝x＝10．
③当∠DAE＝90°且∠FEC＝90°时，如图3．
∠F AE＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，
∵∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝30°，
∴∠AEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC﹣∠AED＝30°．
∴AF＝AE，
设AF＝EF＝x，
∵∠FEC＝90°，∠C＝30°，
∴CF＝2x，
∵AF+FC＝x+2x＝3x＝AC＝15，
∴AF＝x＝5．
④当∠AFE＝∠EFC＝90°时，则△ADE是等腰三角形，如图4∵∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝∠AED＝60°，
∵∠EAF＝∠BAC﹣∠DAE＝60°，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝30°．
设AF＝x，则EF＝x．
∵∠EFC＝90°，∠C＝30°，
∴FC＝EF＝3x，
∵AC＝AF+FC＝x+3x＝4x＝15，
∴AF＝．
故答案为：5、10或
28．解：由题意，得
sin B＝＝，
故答案为：．
29．解：∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD＝AB＝6.5，
故答案为：6.5．
30．解：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，则BD是斜边AC上的中线，∴BD＝AD，
∴∠DBA＝∠A＝65°，
∴∠ADB＝180°﹣2∠A＝50°．
故答案是：50．
31．证明：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC，
∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）
∴∠ACB＝∠DBC．
∴∠OCB＝∠OBC．
∴OB＝OC（等角对等边）．
32．证明：∵∠A＝∠D＝90°，AE＝DE（已知），
∠AEB＝∠DEC（对顶角相等），
∴△ABE≌△DCE（ASA），
∴BE＝CE，
∴∠ACB＝∠DBC．
33．证明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°；
∴∠DAE+∠DEA＝∠DAE+∠B＝90°，
即∠DEA＝∠B；
∵AD⊥EF，F A⊥AC，
∴∠F AE＝∠C＝90°，
在△AFE和△CAB中
∵，
∴△AFE≌△CAB（ASA）．
∴AB＝EF．
34．解：∵AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，∴∠BDF＝90°，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A，
∵∠F＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝30°，
∴∠ABE＝30°，
∴BE＝2DE＝2．
35．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴DE＝BD＝CD，
∴BC＝2DE；
（2）解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠BAD＝BAC，
∵∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝25°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴∠BCE＝∠BAD＝25°，
∵DE＝CD，
∴∠DEC＝∠DCE＝25°，∴∠BDE＝50°，
∴∠ADE＝40°。