河南省示范性高中罗山高中2016届高三数学(理)专题复习加餐训练：映射(含解析)

河南省示范性高中罗山高中2016届高三数学（理）专题复习
加餐训练：映射（含解析）
1．设2
x →x :f 是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}.则B ∩A 只可能是
A ．∅
B ．{1}
C ．∅或{2}
D ．∅或{1} 2．已知在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→， 则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（ ）
A.)1,3(-
B.)3,1(
C.)3,1(--
D.)1,3(
3．下列各个对应中,构成映射的是 （ ）
A B A B A B A B
4．设A={|02x x ≤≤}, B={|02y y ≤≤}, 下列各图中能表示从集合A 到集合B 的映射是( )
5．如下图所示，对应关系f 是从A 到B 的映射的是（ ）
6．建立{}c b a A ,,=到{}2,1,0,1-=B 的映射B A f →:，满足
()()()0=++c f b f a f 的不同映射有 （ ）
A ．6个
B ．8个
C ．10个
D ．12个
7．已知映射B A f →:，其中R B A ==，对应法则x x y x f 2:2+-=→，对于 实数B k ∈在集合A 中存在两个不同的原像，则k 的取值范围是 （ ）
A.1>k B ．1≤k C ．1<k D ．1≥k
8．设f :2x x →是集合A 到集合B 的映射，如果B={1,2}，则A B 为 （ ）
A ．Φ
B ．{1}
C ．Φ或{2}
D ．Φ或{1}
9．已知集合0)(:},1,0,1{},,,{=→-==b f Q P f Q c b a P 满足映射的映射的个数共有 个
A ．2
B ．4
C ．6
D ．9
10．从集合A 到B 的映射中,下列说法正确的是( )
A ．
B 中某一元素b 的原象可能不只一个；B ．A 中某一元素a 的象可能不只一个
C ．A 中两个不同元素的象必不相同；
D ．B 中两个不同元素的原象可能相同
11．．下图展示了一个由区间(0,4)到实数集R 的映射过程：区间(0,4)中的实数m 对应数轴上的点M （如图1），将线段AB 围成一个正方形，使两端点A B 、恰好重合（如图2），再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y 轴上，点A 的坐标为
(0,4)（如图3）
，若图3中直线AM 与x 轴交于点(,0)N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =．现给出以下命题：
①(2)0f =； ②()f x 的图象关于点(2,0)对称；
③()f x 为偶函数； ④()f x 在(3,4)上为常数函数.
其中正确命题的个数为（ ）
A ．4 B.3 C ．2 D ．1
12．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成 个不同的映射.
13．若从集合P 到集合Q={a ，b ，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q 到集合P 可作的不同映射共有 个.
14．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x y N N =挝上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：
则(3,5)f =__________，使不等式(2,)4x f x ≤成立的x 的集合是_____________.
15． 设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量
11(,)a x y V =∈22(,)b x y V =∈，以及任意λ∈R ，均有((1))()(1)(),f a b f a f b λλλλ+-=+- 则称映射f 具有性质P.现给出如下映射：
①11:,(),(,);f V R f m x y m x y V →=-=∈
②222:,(),(,);f V R f m x y m x y V →=+=∈ ③33:,()1,(,).f V R f m x y m x y V →=++=∈
其中，具有性质P 的映射的序号为________.（写出所有具有性质P 的映射的序号）
16．已知(,)x y 在映射f 的作用下的像是(+,)x y xy ，求(3,5)-在f 作用下的像和(3,4)-在f 作用下的原像.（12分）
17．已知（ｘ，ｙ）在映射ｆ下的象是（ｘ＋ｙ，ｘ2
－ｙ），其中ｘ≥０，
求：（２，－２）的原象．
18．（本小题满分12分）
已知向量a=(1，1)，b=(1，0)，c 满足a·c=0，且|a|=|c|，b·c>0
(1)求向量c ；
(2)若映射f ：(x ，y)→(x′，y′)=xa+yc；
①求映射f 下(1，2)的原象；
②若将(x ，y)作点的坐标，问是否存在直线l 使得直线l 上任一点在映射f 的作用下，仍在直线上，若存在求出的l 方程，若不存在说明理由.
19．设f 是集合{}M a b c d =，，，到{}123N =，，的映射，
且有()()()()9f a f b f c f d +++=，那么映射f 的个数是多少？
20．若f :y =3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2+3a }的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B.
参考答案
1．D
【解析】因为设2
x →x :f 是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}.则B ∩A 只可能是∅或{1}，选D
2．A
【解析】
试题分析：由),(),(:y x y x y x f +-→知：:(1,2)(12,12)(3,1)f -→---+=- 故选A 。

考点：本题考查映射的概念。

3．D
【解析】因为映射定义可知，要球A 中每一个元素，B 中都有唯一的元素对应，那么符合定义的只有D.故选D
4．D
【解析】略
5．D
【解析】
试题分析：在映射f A B →中，取集合A 中的任何一个元素，都能在集合B 中找个唯一一个元素与之对应，选项D 具有这样的特点，而其他选项没有。

故选D 。

考点：映射的概念
点评：映射的对应关系的特点是：一对一或多对一。

6．C
【解析】略
7．C
【解析】根据题意函数22y x x =-+的图像与直线y k =有两个不同交点；又22y x x =-+是开口向下的抛物线，且222(1)11;y x x x =-+=--+≤所以k 的取值范围是 1.k <故选C
8．D
【解析】
9．D
【解析】
分析：利用映射的定义进行求解，若f 是M→N 的映射，且f （b ）=0，f （a ）可以等于-1，0，1，同样f （c ）也可以等于-1，0，1，从而求解；
解答：解：∵集合M={a ，b ，c}，N={-1，0，1}，若f 是M→N 的映射，且f （b ）=0， ∴f （a ）=-1，0，1，共三种，
f （c ）=-1，0，1，共三种，
∴这样的映射共有：3×3=9，
故选D ．
点评：此题主要考查映射的定义，映射是高考常考的热点，是一道基础题比较简单．
10．A
【解析】根据映射的定义知可排除B 、C 、D
11．B
【解析】略
12．4
【解析】集合A 中每个元素都可以有两种选择，因而可以构成22=4个映射. 13．64
【解析】略
14．8 ，{1,2}．
【解析】
试题分析：试题分析：根据映射对应法则可知(3,5)538f =+=；
(2,)4x f x ≤，当1x =时，(2,1)211f =-=≤，当2x =时，(4,2
)422f =-=≤，当3x =时，(8,3)835f ≥=-=，因此当1,2x =时，(2,)4x f x ≤成立．
考点：映射．
15．①③
【解析】解： a =(x 1，y 1)， b =(x 2，y 2)，则λ a +(1-λ) b =(λx 1+(1-λ)x 2， λy 1+（1-λ）y 2}
对于①，f[λ a +(1-λ) b ]=λx 1+（1-λ）x 2-λy 1-（1-λ）y 2=λ（x 1-y 1）+（1-λ）（x 2-y 2） 而λf( a )+(1-λ)f( b )=λ（x 1-y 1）+（1-λ）（x 2-y 2）满足性质P
对于②f2（λa+（1-λb ））=[λx 1+（1-λ）x 2]2+[λy 1+（1-λ）y 2]，λf 2（a ）+（1-λ）
f 2（b ）=λ（x 12+y 1）+（1-λ）（x 22+y 2）
∴f 2（λa+（1-λb ））≠λf 2（a ）+（1-λ）f 2（b ），∴映射f2不具备性质P ．
对于③f[λ a +(1-λ) b ]=λx 1+（1-λ）x 2+λy 1+（1-λ）y 2+1=λ（x 1+y 1）+（1-λ）（x 2+y 2）+1
而λf( a )+(1-λ)f( b )=λ（x 1+y 1+1）+（1-λ）（x 2+y 2+1）═λ（x 1+y 1）+（1-λ）（x 2+y 2）+1
满足性质p
故答案为：①③
16．(3,5-）的像是215（，-）， 34（，-） 的原像是1,4（-）
或41（，-）。

【解析】
试题分析：因为-3+5=2,3×5=15，所以(3,5-）的像是215（，-）；
由314441
x y x x xy y y +==-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-==-⎩⎩⎩得:或 ，所以34（，-） 的原像是1,4（-）或41（，-）。

考点：映射的概念；像和原像的概念。

点评：直接考查映射中像与原像的概念，属于基础题型。

17．（２，－２）的原象为（０，２）
【解析】
试题分析：因为，（ｘ，ｙ）在映射ｆ下的象是（ｘ＋ｙ，ｘ2－ｙ），
所以，当象为（２，－２）时，2⎧⎨⎩ｘ＋ｙ=2，ｘ－ｙ=-2
解得，x=0，y=2，（因为ｘ≥０）， 故（２，－２）的原象为（０，２）。

考点：映射的概念，象与原象的概念。

点评：简单题，注意象与原象的对应关系，建立方程组，求得原象。

18．]
【解析】略
19．映射f 共有16个
【解析】∵()()()()9f a f b f c f d +++=，
N ∴中象的取法为：（１）1，2，3，3；（２）2，2，2，3．
用图示法可知，映射f 共有16个
20． a =2，k =5，A ={1，2，3，5}，B ={4，7，10，16}；
【解析】∵f （1）=3×1+1=4，f （2）=3×2+1=7，f （3）=3×3+1=10，f （k ）=3k +1，由映射
的定义知（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,133,1024k a a a 或（2）⎪⎩⎪⎨⎧+==+.
13,10342k a a a ∵a ∈N ，∴方程组（1）无解.
解方程组（2），得a =2或a =－5（舍），3k +1=16，3k =15，k =5.
∴A ={1，2，3，5}，B ={4，7，10，16}.。