福建高二高中数学月考试卷带答案解析

福建高二高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知复数满足（为虚数单位），则共轭复数等于（）
A．B．C．D．
2.已知，其中m为实数，i为虚数单位，若，则m的值为（）A．4B．C．6D． 0
3.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
4.已知函数,则（）
A．B．0C．D．
5.（）
A．B．C．D．
6.在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
7.如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点．现将一质点随机投入长方形
中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）
A．B．C．D．
8.若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围（）
A．
B．
C．
D．不存在这样的实数k
9.点是双曲线与圆在第一象限的交点，、分别为双曲线左右焦点，且，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
10.已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（）（注：为自然对数的底数）
A．B．C．D．
11.已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
1.－1）dx= .
2.已知函数在单调递增，则实数的取值范围是___________
3.若复数，，且为纯虚数，则=
4.已知，若在区间上任取三个数、、,均存在以、、为边长的三角形，则实数的取值范围为
三、解答题
1.已知函数。

（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值。

2.如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，
，．
（Ⅰ）求证平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值；
3.已知抛物线上的一点的横坐标为，焦点为，且.直线与抛物线
交于两点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若P是x轴上一点，且的面积等于9，求点P的坐标.
4.如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，，若为
的中点，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
5.已知椭圆:的离心率为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆
于两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）在轴上，是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．
6.已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R
令F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；
福建高二高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.已知复数满足（为虚数单位），则共轭复数等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得
【考点】复数运算
2.已知，其中m为实数，i为虚数单位，若，则m的值为（）A．4B．C．6D． 0
【答案】B
【解析】由题意可得
【考点】复数相等
3.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为
【考点】椭圆双曲线性质
4.已知函数,则（）
A．B．0C．D．
【答案】A
【解析】
【考点】函数求导数
5.（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【考点】定积分计算
6.在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得
又
【考点】异面直线所成角
7.如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点．现将一质点随机投入长方形
中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知易得：S长方形=4×2=8，S阴影=
故质点落在图中阴影区域的概率
【考点】几何概型及定积分的几何意义
8.若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围（）
A．
B．
C．
D．不存在这样的实数k
【答案】B
【解析】，由函数不单调可知或
，解不等式得
【考点】函数导数与单调性
9.点是双曲线与圆在第一象限的交点，、分别为双曲线左右焦点，且，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依据双曲线的定义：，又∵
∴，，∵圆的半径
∴是圆的直径，∴在直角三角形中，由，得
【考点】双曲线的简单性质
10.已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（）（注：为自然对数的底数）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵方程恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴，设切点为，∴切线方程为，
而切线过原点，∴∴直线的斜率为，又∵直线与y=x+1平行，
∴直线的斜率为，∴实数a的取值范围是
【考点】分段函数的应用
11.已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】构造函数，
则，即函数g（x）在单调递增，
则，，即，故A正
确．，即
【考点】利用导数研究函数的单调性
二、填空题
1.－1）dx= .
【答案】
【解析】
【考点】定积分计算
2.已知函数在单调递增，则实数的取值范围是___________
【答案】
【解析】，由函数单调递增可得恒成立，所以实数的取值范围
是
【考点】函数导数与单调性
3.若复数，，且为纯虚数，则=
【答案】
【解析】为纯虚数，所以
【考点】复数运算
4.已知，若在区间上任取三个数、、,均存在以、、为边长的三角形，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】，求导由f'（x）=0得到x=1或者x=-1，
又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f（x）min=f（1）=m-2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m．
在[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边的三角形，三个不同的数a，b，c对应的f （a），f（b），f（c）可以有两个相同．由三角形两边之和大于第三边，可知最小边长的二倍必须大于最大边长．由题意知，f（1）=-2+m＞0…（1），
f（1）+f（1）＞f（0），得到-4+2m＞m…（2），
f（1）+f（1）＞f（2），得到-4+2m＞2+m…（3），
由（1）（2）（3）得到m＞6为所求．
【考点】函数的零点与方程根的关系
三、解答题
1.已知函数。

（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值。

【答案】（1）（2），
【解析】（1）由导数的几何意义可求得曲线的切线斜率，进而借助于点斜式方程可得到切线方程；（2）由函数
的导数可求得函数极值点或，计算可求得极值
试题解析：（1）由题，
故。

又，
故曲线在点处的切线方程为，即；
（2）由可得或，
如下表所示，得
，。

【考点】导数的几何意义；函数导数与极值
2.如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，
，．
（Ⅰ）求证平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值；
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）结合已知条件本题可采用向量法求解，证明线面平行只需证明直线的方向向量垂直于平面的法向量；（Ⅱ）中由线面所成角需找到直线的方向向量与平面的法向量，利用公式
求线面角
试题解析：（Ⅰ）（法一）取中点为，连接、，
且，
，则且．
四边形为矩形，且，
且，
，则．
平面，平面，
平面．
法二四边形为直角梯形，四边形为矩形，
，，
又平面平面，且平面平面，
平面．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．
根据题意我们可得以下点的坐标：
，，，，，，
则，．
为平面的一个法向量．
又，
∴
∵平面
平面．
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，，，则
，取，得．
，设直线与平面所成角为，则
．
所以
所以与平面所成角的余弦值为
【考点】线面平行的判定；线面所成角
3.已知抛物线上的一点的横坐标为，焦点为，且.直线与抛物线
交于两点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若P是x轴上一点，且的面积等于9，求点P的坐标.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（5，0）和（－1，0）
【解析】（Ⅰ）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而得到关于p的方程，求解p值得到抛物线方程；（2）直接由点到直线的距离公式求出P到直线AB的距离，代入三角形面积公式求解P的坐标
试题解析：（Ⅰ）依题意得，所以
所以抛物线方程为
（Ⅱ）联立方程，设，
消去得
从而
有弦长公式得，
设P（a，0），P到直线AB的距离为d，则d＝＝，
＝|AB|·d，则d＝，
又S
△ABP
＝⇒|a－2|＝3⇒a＝5或a＝－1，
故点P的坐标为（5，0）和（－1，0）．
【考点】抛物线方程及性质；直线与抛物线相交的弦长问题
4.如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，，若为
的中点，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）当的长为时，二面角的值为
【解析】（Ⅰ）由已知得为等边三角形，，再由，能证明⊥平面ABCD．
（Ⅱ）过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出当BP的长为时，二面角的值为
试题解析：（Ⅰ）证明：∵，且，
∴为等边三角形
∵为的中点
∴，
又，且，
∴平面．
（Ⅱ）解：过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）
则，，
设，
平面的法向量为，
∵，，
且，
取，得
平面的一个法向量为
由题意得，
解得或（舍去），
∴当的长为时，二面角的值为.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定
5.已知椭圆:的离心率为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆
于两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）在轴上，是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（2）存在定点
【解析】（1）由右焦点求得值，由离心率求得值，进而，从而确定椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，借助于根与系数的关系将转化为用两交点坐标来表示，进而转化为直线的斜率和
点坐标来表示，观察关系式得到为定值时需满足的条件
试题解析：（1）由已知可得，解得，所求的椭圆方程为
（2）设点且斜率为的直线的方程为
由得，则
解得
设，则
又，
．
设存在点，则，，
所以
，
要使得（为常数），只要，
从而，
即
由（1）得，
代入（2）解得，从而，
故存在定点，使恒为定值．
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
6.已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R
令F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；
【答案】（Ⅰ）单增区间为（0，1）（Ⅱ）2
【解析】（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）关于x的不等式F（x）≤mx-1
恒成立，即为恒成立，令，求得导数，求得单调区间，讨论m的符号，由最大值小于等于0，通过分析即可得到m的最小值
试题解析：（1）．
由f′（x）＞0得1﹣x2＞0又x＞0，所以0＜x＜1．所以f（x）的单增区间为（0，1）．
（2）令x+1．
所以=．
当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，
又因为G（1）=﹣．
所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．
当m＞0时，．
令G′（x）=0得x=，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．
因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．
故函数G（x）的最大值为．
令h（m）=，因为h（1）=，h（2）=．
又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．
所以整数m的最小值为2．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用。