信号与系统第三章5、6

j y ( )
│H(j)│幅频特性
= E ( j ) H ( j ) e j[e ( ) ( )]
()相频特性
2）LTI 系统的频域分析举例
例1 y( t ) 4 y( t ) 3 y( t ) e( t ) e(t ), ：
H ( j )
求 H ( j )及 h( t )。
K
（a）低通滤波器
（c）带通滤波器
（b）高通滤波器
（d）带阻滤波器 几种理想滤波器的幅频特性
常用的理想化的系统模型 阻带：被抑制的频率范围
截止频率：滤波器的边界频率
通带：允许通过的频率范围
1、理想低通滤波器( ILPE)的频率特性
e(t )
理想低通滤波器
y (t )
常用的理想化的系统模型
理想低通滤波器的频率响应H( j)
当激励信号为虚指数信号时,系统的零状态响应仍为同频 率的虚指数信号,其幅度和相位由系统函数H( j)确定。
4）LTI 系统对正弦信号的稳态响应
1 j0 t (e e j0t ) 2 yzs (t ) H ( j0 ) cos[0 t (0 )] e( t ) cos 0 ( t )
() | H(j) |

1
0. 5
y( t ) 2 2cos(5t ) 2 2sin 5t 2
5
10

-10
-5
0

-
e( t ) cos 0 ( t ) yzs ( t ) H ( j0 ) cos[0 t (0 )] (3 191)
3.8.2 无失真传输条件 系统加工处理信号时 a)非线性失真 (有意进行) b) 线性失真 (不希望发生) 1、失真的概念及系统产生失真的原因 (1) 无失真的概念

输出信号各谐波的相移和频率成正比，即基波和各谐波延迟时间相同。
无失真传输系统的冲激响应h(t )
e( t ) ( t )
无失真传输系统
y( t ) h( t )
y( t ) K e( t td ) (3 192) h( t ) K ( t td ) (3 196)
|H( j) | 1
()
c td
–c
0
c

–c
c
0

c td
通带为0 c ,阻带为 c
() e j td c j td H ( j ) K 2c ( )e g (3 197) c 0 0 0 ( ) td 2、理想低通滤波器的冲激响应（略）
只取决于频谱函数的模量
3.8 连续时间系统的频域分析 3.8.1 系统的频率响应 1）频率响应函数 H( j) 的定义
e(t )
时域分析法
h(t )
yzs (t )
yzs ( t ) e( t ) h( t ) (2 76)
E ( j )
H ( j )
Yzs ( j )
Yzs ( j ) E ( j ) H ( j ) (3 180)
(d) 带阻网络
(a)、(b)物理不可实现， (c)、(d)物理可实现
说明:
K
| H(j) |
0

()
0
( ) td

b)系统的频率特性
a)无失真传输系统的频率特性 输入信号的波形和频谱
|H( j) | 1
()
c td
–c
0
c

–c
c
0

c td
理想低通滤波器的频率特性
3.6 周期信号的傅里叶变换
1) 周期信号f T(t) 的傅里叶级数（离散谱）
fT ( t )
n


Fn e j n t
(3 41)
1 t0 T Fn f ( t )e jnt d t (3 42) t0 T 2 T fT 的基波频率, Fn 是傅里叶系数
4

0
1 1
2
3

3）LTI 系统对虚指数信号e j t 的零状态响应
yzs (t ) e j t h( t )



h( ) e
j ( t )
d e
j t



h( ) e j d
yz s ( t ) H ( j )e j t H ( j ) e j ( )e j t H ( j ) e j[ t ( )] (3 190)
s
0

t
uc ( t ) (1 e

t RC
) ( t )
例3：图所示系统 ，已知 e( t ) Sa ( t )，s( t ) cos 2t , H ( j ) g2c ( ) 求三种 情况下的 y( t )。(1) c 4rad / s ; (2) c 2rad / s ; (3) c 1rad / s
y (t )
e(t )
e(t )
0
t
无失真传输系统
y (t )
0
td
t
(2) 线性失真的概念 特点:信号在传输过程中没有产生新的频率分量 原因:系统的频率特性不是线性
a) 输入信号
b) 幅度失真
c) 相位失真
(3) 非线性失真的概念 (有意进行) 特点:信号在传输过程中产生新的频率分量
系统的非线性失真举例
2）周期信号傅里叶变换与其傅里叶系数Fn的关系。
3.6.1
一般周期信号的傅里叶变换
n
fT ( t )


Fn e j n t
(3 41)
1 t0 T Fn f ( t )e jnt d t (3 42) t0 T 2 T fT 的基波频率, Fn 是傅里叶系数
j 1 2 1 ( j )2 4 j 3 3 j 1 j
H ( j ) h( t ) (2e 3 t e t ) ( t )
例2：在图所示电路中求uc ( t ), 已知 us ( t ) ( t ), uc (0 ) 0 uC(t) 1 R uC(t) C u (t)
2、系统无失真传输条件 e(t )
y (t )
y (t )
0
0
t
e(t )
无失真传输系统
td
t
y(t ) K e(t td ) (3 192) Q Y ( j ) K E ( j )e
H ( j )
j td
无失真传输系统的频域条件 | H(j) |
K
Y ( j ) K e j td (3 193) E ( j )
13、能量定理(帕斯瓦尔定理) 若 0 < E < ，P = 0 f (t)为能量信号 若 0 < P < ， E = f (t)为功率信号
功率信号的帕斯瓦尔(Parseval)恒等式
1 P T

2 T 2
T
f ( t ) dt
2
n


Fn
2
(3 61)
(1) 非周期信号能量与频谱函数的关系
0
1
3
Y1 ( j ) y1 ( t ) Sa(t )cos(2t )
1 t 3 y2 ( t ) Sa cos t 2 2 2
-4 -2 -1
H(j) 1 H(j) 1
0 0
y3 ( t ) 0
-3 -2
/2 /2 -1
1 2 Y(j)
(3 191)
当激励为正弦信号时,系统的稳态响应是与激励信号同 频率的正弦信号,其幅度和相位由系统函数H(j)确定。
例4：某LTI 系统 H ( ) j 的幅频特性和相频特性如图所示，
若系统的激励 e( t ) 2 4 cos 5t 4 cos10t , 求系统响应y( t )。
其中 H ( j )
Y ( j ) F ( j )
K : 幅频特性(常数)
()
0

对输入信号的各谐波分量放大(或缩小)的倍数完全一样
( ) y ( ) e ( ) td : 相频特性
td d ( ) : 延迟时间( 常数) d
0
( ) td
| H(j) |
3、理想低通滤波器的阶跃响应（略）
3.8.4 物理可实现系统对系统函数的要求 物理可实现系统的条件
(a) 时域特性满足
h( t ) 0 t 0 h( t ) h( t ) ( t ) （即满足因果条件） 或 g(t ) 0 t 0 g ( t ) g ( t ) ( t )
2
例21：求f (t)=Sa(t)的能量
F ( j )
Sa(t)
Sa(t ) g2 ( )

0
t
–1
0
1

E


1 f (t ) d t 2
2



F ( j ) d
2
(3 137)
1 E 2



g2 ( ) d (J)
2
(2)能量密度函数 ()（简称能量谱）
f t F j E

能量信号的帕斯瓦尔恒等式
1 2 f ( t )dt 2



F ((j )) dd (3 137)7) F j (3 13
22
结论：非周期信号的能量可以在时域中求也可以在频域中求。 在时域中其能量由 f 2 ( t )与时间轴所覆盖的面积确定， 在频域中由 F ( j ) 与频率轴覆盖的面积确定 。
2) 非周期信号f (t) 的 傅里叶变换（连续谱）
f ( t ) F ( j )

f (t )e j t dt
(3 64)
为把周期信号与非周期信号的分析 方法统一起来，使傅里叶变换得到 更广泛的应用。
讨论周期信号傅里叶变换的目的
主要讨论；1）如何求周期信号的傅里叶变换。
频域分析法{当ℱ [f (t)]存在时}
H ( j ) @
Yz s ( j ) E ( j )
H ( j ) e j ( )

频率响应函数
h( t ) H ( j ) h( t )e j t d t H ( j ) e j ( )

Y ( j ) E ( j ) H ( j ) Y ( j ) e
若在某一有限频带内|H( j)|=0 则|ln |H( j)||,不满足条件(2) 对于物理可实现系统|H( j)|可在某些孤立点上可为零 。
信号能量的帕斯瓦尔恒等式
判断下列系统那些是物理不可实现的,那些是物理可实现的
(a) 理想高通滤波器
(b) 理想带通滤波器
(c) 低通滤波器 几种滤波器特性举例
无失真传输系统的时域条件
0
h(t ) H ( j )
t
0
td
t
H ( j )
Y ( j ) K e j td (3 193) E ( j )
无失真传输系统的频域条件
3.8.3 理想低通滤波器的特性 滤波器:信号通过系统时,如果某些频率分量能正常通过,而有些 频率分量却被抑制,则该系统为滤波器,滤波器可分四类。
(b) 频域特性满足（佩利—维纳准则）
条件( 1)
条件( 2)

H ( j ) d
2
即 E h( t )2 dt


1 2



H ( j ) d
2

ln H ( j ) 1
2
d
2 1 E f (t ) d t F ( j ) d (3 )|=0 即不允许在一个有限频带内|H(j137) 2 2
E
单位频率的信号能量



( ) df
(3 140)
信号的总能量等于能量谱 ()曲线所覆盖面积。
2
QE


1 f ( t )dt 2
2



F ( j ) d (3-137) ) df F ( j


2

( ) F ( j )
2
(3 142)
e(t )

x(t )
H( j)
y (t )
-1
E(j)
0
s(t )
y( t ) e( t ) s(t ) h( t )
Y ( j ) 1 E ( j ) S ( j ) H ( j ) 2
-3
()
-2
1 S(j)
2


0
/2
-1
X(j)
E ( j ) g2 ( )