2020高考数学复习专题37 简单的线性规划问题(原卷版)

x y 3
2.若不等式组

x

y

3
所表示的平面区域内整点的个数是____．
y 0
5 x 5， 3.不等式组 x 2y 4，所表示的平面区域的面积是____．
x 2y 4
考向 2 求目标函数的最值
x－y＋1≤0， x＞0， 【例】实数 x，y 满足 y≤2. （1）若 z＝ y ，求 z 的最大值和最小值； x＋1 （2）若 z＝x2＋y2，求 z 的最大值与最小值．
题组训练 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6 个单位的
蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位 的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个 单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且 花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
y
满足

x

y
≤1,
则 3x 2 y 的最大值为
▲
．
x 2y ≥1,
x＋y≤2
2x－3y≤6
4.若变量 x，y 满足 x≥0
，且 x＋2y≥a 恒成立，则 a 的最大值是____．
5.若 ，y 满足
，则 2y− 的最小值是_________.
考向 3 线性规划的实际应用 【例】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,
专题知识梳理
专题 37 简单的线性规划问题
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1．二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所 有点组成的平面区域(开半平面)且不含边界直线；不等式 Ax＋By＋C≥0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所 有点组成的平面区域(闭半平面)且包含边界直线． (2)对于直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax＋By＋C 的值的符号相同．也就是说位于同 一半平面的点，若其坐标适合同一个不等式 Ax＋By＋C>0，而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一 个不等式_Ax＋By＋C<0． (3)可在直线 Ax＋By＋C＝0 的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)(若直线不过原点时，常取原点)， 由 Ax0＋By0＋C 的__正负性__即可判断 Ax＋By＋C>0(<0)所表示的区域． (4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． 2．线性规划 (1)线性约束条件：关于变量 x、y 的二元一次不等式组； (2)目标函数：把求最大值或最小值的函数叫做目标函数； （3）可行域：由所有可行解组成的集合； (4)最优解：使目标函数达到最值的点的坐标； 3．利用线性规划求最值，用图解法求解的步骤 (1)在平面直角坐标系内作出可行域； (2)把目标函数改写成斜截式 y=kx+b，并作出动直线；
乙材料 1kg,用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时．生产一件产品 A 的利 润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工 时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元．
(3) 确定最优解：在可行域内平移动直线，确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
考点探究
考向 1 不等式组表示的平面区域
【例】设不等式组
表示的平面区域为 M，若直线
上存在 M 内的点，则实数 k 的取值范
围是
.
题组训练 1.若点(1，3)和(－4，－2)在直线 2x＋y＋m＝0 的两侧，则实数 m 的取值范围是 ．
题组训练
x 2，
1.设变量
x，y
满足约束条件

x

2
y

1

0，则函数
z

x2

y2 的最小值为_____________
．
x y 1 0
x 0
2.已知实数
x,
y
满足

x

y

7
，则 y 的最小值是
▲
.
x 2 2y
x
x y ≥ 0,
3.设实数
x
，