云南师大附中高考适应性月考卷(六)数学文试卷

云南师大附中2015高考适合性月考卷（六）
数学文试卷
一. 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. ）
1. 已知集合{}U 1,3,5,7,9=，{}1,5,7A =，则U A =（ ） A. {}1,3 B. {}3,7,9 C. {}3,5,9 D. {}3,9
2. 复数3223i
i
+=-（ ） A. i
B. i -
C. 1213i -
D. 1213i +
3. 函数sin 22
y x π
⎛⎫=- ⎪⎝⎭
是（ ）
A. 周期为π的奇函数
B. 周期为π的偶函数
C. 周期为2π的奇函数
D. 周期为2π的偶函数
4. 给定以下两个命题：
①“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件 ②“0R x ∃∈，使0sin 0x >”的否认是“R x ∀∈，使sin 0x ≤” 其中说法准确的是（ ） A. ①真②假
B. ①假②真
C. ①和②都为假
D. ①和②都为真
5. 在图1所示的程序中，若5N =时，则输出的S 等于（ ） A. 5
4
B. 45
C. 65
D. 56
6. 若已知向量()cos 25,sin 25a =，()sin 20,cos 20b =，u a tb =+，R t ∈，则u 的最小值是（ ） A. 2
B.
22
C. 1
D. 12
7. 已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，24
3
a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ） A. ()10613---
B.
()101
139
-- C. ()10313-- D. ()10313-+
8. 已知某几何体的三视图如图2所示，其中正视图中半圆半径为1，则该几何体的体积为（ ） A. 3242
π
-
B. 243π-
C. 24π-
D. 242
π
-
9. 过点()2,0引直线l 与曲线21y x =-相交于A ，B 两点，
O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）
A.
33
B. 33
-
C. 33
±
D. 3-
10. 已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >），若过右焦点F 且倾斜角为30的直线与双曲
线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A. ()1,2
B. 231,3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
C. [)2,+∞
D. 23,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎪⎣⎭
11. 已知三棱锥C S -AB 的所有顶点都在球O 的球面上，C ∆AB 是边长为2的正三角形，
C S 为球O 的直径，且C 4S =，则此棱锥的体积为（ ）
A.
42
3
B.
43
3
C.
82
3
D. 42
12. 设定义域为R 的函数()1
,1
11,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩
，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=恰有3
个不同的解1x ，2x ，3x ，则222123x x x ++=（ ） A. 5
B. 2222b b
+
C. 13
D. 2222c c
+
二. 填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分. ）
13. 取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米的概率为 .
14. 已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和. 若1a ，3a 是方程2540x x -+=的两个根，则6S = . 15. 若x ，y 满足1x y +≤，则3
y
z x =
-的取值范围是 . 16. 定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3
,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，且()1
32f x f x =-⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭
，()11f -=，()02f =-，则()()()122015f f f ++⋅⋅⋅+= .
三. 解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）
17. （本小题满分12分）已知向量()sin ,1m x =，13cos ,2n x ⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
，
函数()()f x m n m =+⋅. ()I 求函数()f x 的最小正周期； ()II
若a ，b ，c 分别是C ∆AB
的三边，a =c =且()f A 是函数()f x 在0,2π⎛⎤
⎥⎝⎦
上
的最大值，求角A . 角C .
18. （本小题满分12分）为了理解昆明市学生展开体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从五华区，盘龙区，西山区三个区中抽取7个高完中实行调查，已知三个区中分别由18，27，18个高完中.
()I 求从五华区，盘龙区，西山区中分别抽取的学校个数；
()II 若从抽取的7个学校中随机抽取2个实行调查结果的比照，求这2个学校中至少
有1个来自五华区的概率.
19. （本小题满分12分）如图3，在三棱锥C S -AB 中，侧面S AB 与侧面C S A 均为边长为2的正三角形，且C 90∠BA =，O . D 分别为C B . AB 的中点.
()I 求证：S O ⊥平面C AB ； ()II 求四棱锥C D S -A O 的体积.
20. （本小题满分12分）已知函数()ln a f x x x
=-.
()I 求函数()f x 的单调增区间；
()
II 若函数()f x 在[]1,e 上的最小值为3
2
，求实数a 的值.
21. （本小题满分12分）已知椭圆:E 22
221x y a b
+=（0a b >>）的焦距为2，且椭圆短轴
的两个三等分点与一个焦点构成正三角形.
()I 求椭圆的方程；
()II 若以k （0k ≠）为斜率的直线l 与椭圆E 相交于两个不同的点A ，B ，且线段AB 的
垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为1
16
，求k 的取值范围.
请考生在第22. 23. 24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图4，圆O 的直径10AB =，弦D E ⊥AB 于点H ，2BH =.
()I 求D E 的长；
()II 延长D E 到P ，过P 作圆O 的切线，切点为C ，若C 2
5P =，
求D P 的长.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，222cos 24πρρθ⎛⎫--= ⎪⎝
⎭
.
()I 把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；
()II 求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-，()3g x x m =-++. ()I 解关于x 的不等式()10f x a +->（R a ∈）
； ()II 若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围.
参考答案
一. 选择题（本小题共12小题，每题5分，共60分）
1. D
2. A
3. B
4. D
5. D
6. B
7. C
8. A
9. B 10. B 11. A 12. A 【解析】
1. 由{13579}U =，，，，，{157}A =，，，则{39}U
A =，，应选D.
2. 由32i (32i)(23i)i 23i
(23i)(23i)
+++==--+，应选A.
3. 由πsin 2cos 22
y x x ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，则函数为周期为π的偶函数，应选B.
4. （1）当“p q ∨”为真时，能够是p 假q 真，故而p ⌝为假不成立；当p ⌝为假时，p 为真，则“p q ∨”为真，故①准确；（2）由特称命题的否认为全称命题，故②准确，综上所述，①②均准确，应选D.
5. 由程序框图可知，输出的
11111111115
11223344556223566
S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
++++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，应选D.
6. 由题意(cos 25sin 20sin 25cos 20)u a tb t t =+=︒+︒︒+︒，，则2||12u t t
=
++，当22
t =-
时，
min 2
||2
u =
，应选B.
7. 因为124303
n n a a a ++==-，，所以11143
n n
a a a +=-=，，所以数列{}n a 是公比为13
-的等比数列，
所以{}n a 的前10项和等于103(13)--，应选C.
8. 由题意可知，该几何体为长. 宽. 高分别为4. 3. 2的长方体，减去底面半径为1高为3的半圆柱，则其体积为13432π324π2
2
⨯⨯-⨯⨯=-，应选A.
9. 因为2
1y x =
-，即221(0)x y y +=≥，
直线l 与221(0)x y y +=≥交于A ，B 两点， 如图1所示，1
1
sin 2
2
AOB S AOB =∠△≤
， 图1
且当90AOB ∠=︒时，AOB S △取得最大值，此时2AB =
，点O 到直线l 的距离为
22
，则
30OCB ∠=︒，所以直线
l 的倾斜角为150°，则斜率为3
3
-，应选B.
10. 由题意知，直线要与双曲线的右支有两个交点，需满足3
tan 303
b a
<︒=，即223a b >，所以()2223a c a >-，则23
3
e <
，应选 B . 11. ABC △外接圆的半径233
r =，点O 到平面ABC 的距离22263
d R r =
-=
，SC 为球O 的
直径⇒点
S
到平面
ABC
的距离为
4623
d =
，此棱锥的体积为
1
23
ABC V S d =⨯△146423333=⨯⨯
=，应选 A .
12. 设()f x t =，则方程20(0)t bt c t ++=>必有根. 不可能有两根，否则原方程有四解或五解. 关于的方程只能有一个正数解，且为1t =，再令()1f x =，求得123012x x x ===，，，应选A.
二. 填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
题号 13
14
15
16 答案
1
3
63
1133⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
， 2
【解析】
13. 由题意知，满足题意需在中间1至2米处剪断，则该几何概型的概率是13
.
14. 因为13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，且数列{}n a 是递增的等比数列，所以
13142a a q ===，，，所以6
6126312
S -=
=-. 15. 如图2，由033
y y z x x -==--，由斜率公式可知，其几
何意义是点()x y ，与点(30)，所在直线的斜率，故而 由图可知，min 1
3AI
z k ==-
，max 13
BI z k ==，故而z 的 取值范围是1133⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，.
图2
16. 由1()32f x f x =-
⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭，则31
2(3)
f x f x ⎛⎫+=-
⎪+⎝
⎭
，所以()(3)f x f x =+，又由 1()32f x f x =-
⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭，令1x =-，则1(1)312f f -=-
⎛
⎫-+ ⎪
⎝
⎭，故而112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，由函数图象关于点304
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
，对称，所以3()0
2f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭
，令
12
x =
，则
1(2)02f f ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
，则
(2)1
f -=，所以
(2)(1)(0)0f f f -+-+=，由()(3)f x f x =+得：(1)(2)(2015)(1)(2)f f f f f +++=+…(2)(1)2f f =-+-=.
三. 解答题（共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分） 解：（1
）3sin 2m n x x ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
，，
233()(sin )
sin sin sin 22
f
x x x x x x x =+
=+ 1cos 231
22cos 22222
x x x x -=
++=-+， π()sin 226f x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，…………………………………………………………（5
分）
∴函数()f x 的最小正周期πT =. ………………………………………………（6分）
（2）πππ5π
022
6
6
6
x x <-<-∵≤，∴≤，
∴当ππ26
2
x -=，即π3
x =时，max ()3f x
=，…………………………………（9分）
π
3A =
∴，由正弦定理sin sin a c A C
=， 得sin C =
π
4
C =∴. ……………………………………………………（12分）
18. （本小题满分12分）
解：（1）学校总数为18271863++=，样本容量与总体中的个体数之比为
71
639
=，
……………………………………………………………………………（3分） 所以从五华区，盘龙区，西山区中应分别抽取的学校个数为2，3，2. ………（6分） （2）设A 1，A 2为在五华区抽得的2个学校，B 1，B 2，B 3为在盘龙区抽得的3个学校，
C 1，C 2为在西山区抽得的2个学校，…………………………………………（7分）
这7个学校中随机抽取2个，全部的可能结果有176212
⨯⨯=种. ………（8分）
随机抽取的2个学校至少有1个来自五华区的结果有12111213()()()()A A A B A B A B ，，，，，，，，
11122122232122(),()(,),(,),(,),(,),(,)A C A C A B A B A B A C A C ，，，，一共有
11种，
…………………………………………………………………………（10分） 所以所求的概率为1121
P =. ……………………………………………………（12分）
19. （本小题满分12分）
（1）证明：由题设AB AC SB SC SA ====，
如图3所示，连接OA ，因为ABC △为等腰直角三角形， 所以2
22
OA OB OC SA ===
=，且AO BC ⊥， 又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且2
22
SO SA =
=， 从而222OA SO SA +=，所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥， 又AO
BC O =，所以SO ⊥平面ABC . ………………………………………（6
分）
（2）解：∵BO CO =，BD AD =，
AC DO ∴∥，DO AD ⊥∴，1
12
DO AC =
=. 113
()(12)1222
ACOD S OD AC AD =
⨯+⨯=⨯+⨯=四边形， 由（1）知SO ⊥平面ABC ，
1132
23322
S ACOD ACOD V S SO -==⨯⨯=
四边形∴. ……………………………（12分）
20. （本小题满分12分）
解：（1）由题意，()f x 的定义域为(0)+∞，，且221()a x a
f x x
x x
+'=+
=，
………………………………………………………………………（1分） ①当0a ≥时，()0f x '>，
()f x ∴的单调增区间为(0)+∞，；………………………………………………（3
分）
图3
②当0a <时，令()0f x '>，得x a >-，
()f x ∴的单调增区间为()a -+∞，. ……………………………………………（5
分）
（2）由（1）可知，2()x a f x x
+'=.
①若1a -≥，则0x a +≥，
即()0f x '≥在[1e]，上恒成立，()f x 在[1e]，上为增函数，
min 33
()(1)22
f x f a a ==-==-∴，∴（舍去）
；…………………………………（7分）
②若e a -≤，则0x a +≤，
即()0f x '≤在[1e]，上恒成立，()f x 在[1e]，上为减函数，
min 3
()(e)1e 2
a f x f ==-
=∴， e 2
a =-
∴（舍去）；………………………………………………………………（9分）
③若e 1a -<<-，
当1x a <<-时，()0f x '<，()f x ∴在(1)a -，上为减函数， 当e a x -<<时，()0f x '>，()f x ∴在(e)a -，上为增函数，
min 3
()()ln()12
f x f a a a =-=-+==∴，∴,
综上所述，
a =. ……………………………………………………………（12分）
21. （本小题满分12分）
解：（1）1c =，设M N ，为短轴的两个三等分点，F 为焦点， 因为MNF △为正三角形，
所以|||OF MN =，即213
b
， 解得
b =
，2214a b =+=，
所以，椭圆方程为22
143
x y +=. ………………………………………………（5
分）
（2）设直线的方程为(0)y kx m k =+≠，
点1122()()A x y B x y ，，，的坐标满足方程组22
14
3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，①
，② 将①式代入②式，得2234()12x kx m ++=，
整理得222(43)84120k x kmx m +++-=，
此方程有两个不等实根，于是222(8)4(43)(412)0km k m ∆=-+->， 整理得22430k m -+>，③……………………………………………………（7分） 由根与系数的关系，
可知线段AB 的中点坐标00()x y ，满足12024243x x km x k +-==+，002343m y kx m k =+=+， 从而线段AB 的垂直平分线方程为223144343m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭
， 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为22004343km m k k --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，，，. ………（9分） 由题设可得221
12434316km m k k --=++， 整理得222(43)08||
k m k k +=≠，， 将上式代入③式得222
(43)4308||k k k +-+>， 整理得22(43)(48||3)00k k k k +-+<≠，， 解得13||22k <<，所以k 的取值范围是31132222⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. ………………（12分）
22. （本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 解：（1）AB ∵为圆O 的直径，AB DE ⊥，DH HE =，
22(102)16DH AH BH ==-=∴，
48DH DE ==∴，. …………………………………………………………（5分）
（2）
PC ∵切圆O 于点C ，2PC PD PE =∴，
2(8)2PD PD PD =+=∴，∴. …………………………………………（10分）
23. （本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，
，
则圆1O 的直角坐标方程为224x y +=，
圆2O 的直角坐标方程为22(1)(1)4x y -+-=. ………………………………（5分）
（2）由（1）知，圆1O 与圆2O 的交点所在的直线方程为1x y +=，
其极坐标方程为(sin cos )1ρθθ+=. ………………………………………（10分）
24. （本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 解：（1）不等式()10f x a +->，即|2|10x a -+->.
当1a =时，不等式的解集是(2)
(2)-∞+∞，，； 当1a >时，不等式的解集为R ；
当1a <时，即|2|1x a ->-，即21x a -<-或21x a ->-，即1x a <+或3x a >-， 不等式解集为(1)(3)a a -∞+-+∞，，. ………………………………………（5分）
（2）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，
即|2||3|x x m ->-++对任意实数x 恒成立，
即|2||3|x x m -++>对任意实数x 恒成立.
因为|2||3||(2)(3)|5x x x x -++--+=≥，当且仅当32x -≤≤时取等，故只要5m <， 所以m 的取值范围是(5)-∞，. ………………………………………………（10分）。