三角形内切圆二级结论

三角形内切圆二级结论
一、引言
三角形内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆，它是三角形最大的内接圆。

在研究三角形内切圆时，我们可以得到许多有趣的结论和性质。

本文将介绍三角形内切圆的一个重要结论——欧拉线定理。

二、欧拉线定理
欧拉线定理是指：三角形内切圆的圆心、垂心和重心共线，且这条直线称为欧拉线。

1. 证明
（1）设ABC为任意三角形，I为其内切圆的圆心，H为其垂心，G为其重心。

（2）由于I是内切圆的圆心，因此AI、BI、CI均与内切圆相切，并且它们都垂直于各自所在边上的中点。

（3）设D、E、F分别为BC、AC、AB上对应于I的垂足，则
DI=EI=FI=r（r为内切圆半径）。

（4）由于AH⊥BC, BH⊥AC, CH⊥AB，并且G是重心，因此
GH=2/3HG。

（5）又因为HI=2rcosA/2, HG=2/3GM, GM=1/3(MA+MB+MC)，其中M为中心，因此有HI:GM=3:2cosA/2。

（6）根据余弦定理可得，cosA/2=sqrt[(s-b)(s-c)/bc]，其中s为半
周长。

（7）将(6)式代入(5)式中可得HI:GM=3sqrt[(s-b)(s-c)/bc]。

（8）根据垂心定理可得，AH^2=BH^2+CH^2-4Rr，其中R为外接圆半径。

（9）将(8)式代入(7)式中可得HI:GM=3sqrt[(s-b)(s-c)/bc]=AH/2R。

（10）因此I、H、G三点共线，且IH:HG=2R:AH。

三、欧拉线的性质
欧拉线不仅是三角形内切圆的圆心、垂心和重心的连线，还具有以下
性质：
1. 欧拉线与外接圆相切于外接圆上的费马点；
2. 欧拉线上有一个点P满足PH=2OG，其中O为外接圆的圆心；
3. 欧拉线上的点P是三角形内切圆与九点圆的交点。

四、应用
欧拉线定理在几何学中有着广泛的应用。

例如，在三角形内切圆半径
已知的情况下，我们可以利用欧拉线定理求出外接圆半径。

此外，欧
拉线还可以用于证明其他几何学定理，如费马点定理、垂心定理等。

五、总结
欧拉线定理是三角形内切圆的一个重要结论，它揭示了三角形内切圆
的特殊性质，并且在几何学中有着广泛的应用。

通过研究欧拉线及其性质，我们可以更好地理解三角形内切圆及其相关概念。