2017年中考数学专题温习与函数相关问题

与函数相关问题
【专题点拨】
函数问题是指一次函数、反比例函数与二次函数之间的综合运用问题及其与三角形、四边形等几何图形之间的综合运用问题的研究。

【解题策略】
从函数性质入手→探讨函数与其它的关系→综合应用→解决相关问题→得出结论
【典例解析】
类型一：一次函数为主的问题
例题1：（2016·黑龙江齐齐哈尔·12分）有一科技小组进行了机械人行走性能实验，在实验场地有A、B、C三点按序在同一笔直的赛道上，甲、乙两机械人别离从A、B两点同时同向动身，历时7分钟同时抵达C点，乙机械人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机械人之间的距离y（米）与他们的行走时刻x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答以下问题：
（1）A、B两点之间的距离是70 米，甲机械人前2分钟的速度为95 米/分；
（2）假设前3分钟甲机械人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；
（3）假设线段FG∥x轴，那么此段时刻，甲机械人的速度为60 米/分；
（4）求A、C两点之间的距离；
（5）直接写出两机械人动身多长时刻相距28米．
【考点】一次函数的应用．
【解析】（1）结合图象取得A、B两点之间的距离，甲机械人前2分钟的速度；
（2）依照题意求出点F的坐标，利用待定系数法求出EF所在直线的函数解析式；（3）依照一次函数的图象和性质解答；
（4）依照速度和时刻的关系计算即可；
（5）分前2分钟、2分钟﹣3分钟、4分钟﹣7分钟三个时刻段解答．
【解答】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，
甲机械人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2=95米/分；
（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y=kx+b，
∵1×（95﹣60）=35，
∴点F的坐标为（3，35），
则，
解得，，
∴线段EF所在直线的函数解析式为y=35x﹣70；
（3）∵线段FG∥x轴，
∴甲、乙两机械人的速度都是60米/分；
（4）A、C两点之间的距离为70+60×7=490米；
（5）设前2分钟，两机械人动身xs相距28米，
由题意得，60x+70﹣95x=28，
解得，x=1.2，
前2分钟﹣3分钟，两机械人相距28米时，
35x﹣70=28，
解得，x=2.8，
4分钟﹣7分钟，两机械人相距28米时，
（95﹣60）x=28，
解得，x=0.8，
0.8+4=4.8，
答：两机械人动身1.2s或2.8s或4.8s相距28米．
变式训练1：
（2016·湖北荆州·8分）为更新果树品种，某果园打算新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，假设打算购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如下图的函数关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）假设在购买打算中，B种苗的数量不超过35棵，但很多于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
类型二：以反比例函数为主的问题
例题2：（2016·四川攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数y=（x＞0）的图象通过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3，（1）求反比例函数y=的解析式；
（2）求cos∠OAB的值；
（3）求通过C、D两点的一次函数解析式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特点．
【解析】（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），那么点A的坐标为（4，3+m），由点A的坐标表示出点C的坐标，依照C、D点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特点即可得出关于k、m的二元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）由m的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段OB、AB的长度，通过解直角三角形即可得出结论；
（3）由m的值，可找出点C、D的坐标，设出过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，由点C、D的坐标利用待定系数法即可得出结论．
【解答】解：（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），那么点A的坐标为（4，3+m），
∵点C为线段AO的中点，
∴点C的坐标为（2，）．
∵点C、点D均在反比例函数y=的函数图象上，
∴，解得：．
∴反比例函数的解析式为y=．
（2）∵m=1，
∴点A的坐标为（4，4），
∴OB=4，AB=4．
在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，
∴OA==4，cos∠OAB===．
（3））∵m=1，
∴点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1）．
设通过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，
那么有，解得：．
∴通过C、D两点的一次函数解析式为y=﹣x+3．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特点、解直角三角形和待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）由反比例函数图象上点的坐标特点找出关于k、m的二元一次方程组；（2）求出点A的坐标；（2）求出点C、D的坐标．此题属于基础题，难度不大，但考查的知识点较多，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特点找出方程组，通过解方程组得出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可．
变式训练2：
（2016·青海西宁·2分）如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且与x 轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤的解集．
类型三：以二次函数为主的问题
例题3：（2016·山东潍坊）旅行公司在景区内配置了50辆参观车共游客租赁利用，假定每辆参观车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发觉天天的营运规律如下：当x不超过100元时，参观车能全数租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的参观车就会减少1辆．已知所有参观车天天的治理费是1100元．
（1）优惠活动期间，为使参观车全数租出且天天的净收入为正，那么每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣治理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，天天的净收入最多？
【考点】二次函数的应用．
【解析】（1）参观车全数租出天天的净收入=出租自行车的总收入﹣治理费，依照不等关系：净收入为正，列出不等式求解即可；
（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．
【解答】解：（1）由题意知，假设参观车能全数租出，那么0＜x≤100，
由50x﹣1100＞0，
解得x＞22，
又∵x是5的倍数，
∴每辆车的日租金至少应为25元；
（2）设每辆车的净收入为y元，
当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100，
∵y1随x的增大而增大，
∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900；
当x＞100时，
y2=（50﹣）x﹣1100
=﹣x2+70x﹣1100
=﹣（x﹣175）2+5025，
当x=175时，y2的最大值为5025，
5025＞3900，
故当每辆车的日租金为175元时，天天的净收入最多是5025元．
变式训练3：
（2016·湖北黄石·8分）科技馆是青年儿童节假日游玩的乐园．
如下图，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后通过的时刻（分钟），纵坐标y表示抵达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00以后来的游客较少可忽略不计．
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全数进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？
类型四：锐角三角函数相关的问题
例题4：（2016·贵州安顺·3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，那么∠ABC的正切值是（）
A．2B． C． D．
【解析】依照勾股定理，可得AC、AB的长，依照正切函数的概念，可得答案．
【解答】解：如图：，
由勾股定理，得
AC=，AB=2，BC=，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠B==，
应选：D．
【点评】此题考查了锐角三角函数的概念，先求出AC、AB的长，再求正切函数．
变式训练4：
（2016·湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的极点称为格点，△ABC的极点都在格点上，那么图中∠ABC的余弦值是（）
A．2 B． C． D．
类型五：函数综合性问题
例题5：（2016广西南宁）如图，已知抛物线通过原点O，极点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C 两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）假设点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，那么是不是存在以O，M，N为极点的三角形与△ABC相似？假设存在，请求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【解析】（1）可设极点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）别离过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得
∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得=或=，可求得N点的坐标．
【解答】解：
（1）∵极点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，
又抛物线过原点，
∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，
即y=﹣x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得，解得或，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）如图，别离过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，
那么AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）假设存在知足条件的点N，设N（x，0），那么M（x，﹣x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可别离求得AB=，BC=3，
∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时有=或=，
①当=时，那么有=，即|x||﹣x+2|=|x|，
∵当x=0时M、O、N不能组成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，
现在N点坐标为（，0）或（，0）；
②当=时，那么有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
现在N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在知足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
【点评】此题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意极点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质取得关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．此题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
变式训练5：
（2016贵州毕节）如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P别离作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）假设C为AB中点，求PC的长；
（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．
【能力检测】
1. （2016·陕西）昨天早晨7点，小明搭车从家动身，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的进程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时刻x（时）之间的函数图象．
依照下面图象，回答以下问题：
（1）求线段AB所表示的函数关系式；
（2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时抵家？
2.（2016·贵州安顺·10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数
m（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且y=
x
tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
3. （2016·四川攀枝花）如图，点D （0，3），O （0，0），C （4，0）在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，那么sin∠OBD=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4. （2016·福建龙岩·12分）某网店尝试用单价随天数而转变的销售模式销售一种商品，利用30天的时刻销售一种本钱为10元/件的商品售后，通过统计取得此商品单价在第x 天（x 为正整数）销售的相关信息，如表所示： 销售量n （件）
n=50﹣x 销售单价m （元/件） 当1≤x≤20时，x m 2
120+=
当21≤x≤30时，x m 42010+
=
（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y （元）关于x （天）的函数关系式；
（3）这30天中第几天取得的利润最大？最大利润是多少？
5. （2016海南）如图1，抛物线y=ax 2﹣6x+c 与x 轴交于点A （﹣5，0）、B （﹣1，0），与y 轴交于点C （0，﹣5），点P 是抛物线上的动点，连接PA 、PC ，PC 与x 轴交于点D ．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）假设点P 的坐标为（﹣2，3），请求出现在△APC 的面积；
（3）过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点H ，交直线AC 于点E ，如图2．
①假设∠APE=∠CPE，求证：； ②△APE 可否为等腰三角形？假设能，请求出现在点P 的坐标；假设不能，请说明理由．
【参考答案】
变式训练1：
（2016·湖北荆州·8分）为更新果树品种，某果园打算新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，假设打算购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如下图的函数关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）假设在购买打算中，B种苗的数量不超过35棵，但很多于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
【解析】（1）利用取得系数法求解析式，列出方程组解答即可；
（2）依照所需费用为W=A种树苗的费用+B种树苗的费用，即可解答．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
把（20，160），（40，288）代入y=kx+b得：
解得：
∴y=6.4x+32．
（2）∵B种苗的数量不超过35棵，但很多于A种苗的数量，
∴
∴22.5≤x≤35，
设总费用为W元，那么W=6.4x+32+7（45﹣x）=﹣0.6x+347，
∵k=﹣0.6，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=35时，W总费用最低，W最低=﹣0.6×35+347=137（元）．
【点评】此题要紧考查了一次函数的应用，依照一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键．变式训练2：
（2016·青海西宁·2分）如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且与x 轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【解析】（1）把点A坐标代入一次函数y=x+m与反比例函数y=，别离求得m及k的值；
（2）令直线解析式的函数值为0，即可得出x的值，从而得出点C坐标，依照图象即可得出不等式组0＜x+m≤的解集．
【解答】解：（1）由题意可得：点A（2，1）在函数y=x+m的图象上，
∴2+m=1即m=﹣1，
∵A（2，1）在反比例函数的图象上，
∴，
∴k=2；
（2）∵一次函数解析式为y=x﹣1，令y=0，得x=1，
∴点C的坐标是（1，0），
由图象可知不等式组0＜x+m≤的解集为1＜x≤2．
变式训练3：
（2016·湖北黄石·8分）科技馆是青年儿童节假日游玩的乐园．
如下图，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后通过的时刻（分钟），纵坐标y表示抵达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00以后来的游客较少可忽略不计．
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全数进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？
【解析】（1）构建待定系数法即可解决问题．
（2）先求出馆内人数等于684人时的时刻，再求出直到馆内人数减少到624人时的时刻，即可解决问题．【解答】解（1）由图象可知，300=a×302，解得a=，
n=700，b×（30﹣90）2+700=300，解得b=﹣，
∴y=，
（2）由题意﹣（x﹣90）2+700=684，
解得x=78，
∴=15，
∴15+30+（90﹣78）=57分钟
因此，馆外游客最多等待57分钟．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练把握待定系数法，学会用方程的思想试探问题，属于中考常考题型．
变式训练4：
（2016·湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的极点称为格点，△ABC的极点都在格点上，那么图中∠ABC的余弦值是（）
A．2 B． C． D．
【解析】先依照勾股定理的逆定理判定出△ABC的形状，再由锐角三角函数的概念即可得出结论．
【解答】解：∵由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴cos∠ABC==．
应选D．
【点评】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和必然等于斜边长的平方是解答此题的关键．
变式训练5：
（2016贵州毕节）如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P别离作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）假设C为AB中点，求PC的长；
（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．
【考点】二次函数综合题．
【解析】（1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，可求得抛物线解析式；
（2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，可知OC=AQ=4，可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标，从而可求得PC的长；
（3）依照矩形的性质可别离用m、n表示出C、P的坐标，依照DE=CP，可取得m、n的关系式．
【解答】解：
（1）∵A（a，8）是抛物线和直线的交点，
∴A点在直线上，
∴8=2a+4，解得a=2，
∴A点坐标为（2，8），
又A点在抛物线上，
∴8=22+2b，解得b=2，
∴抛物线解析式为y=x2+2x；
（2）联立抛物线和直线解析式可得，解得，，
∴B点坐标为（﹣2，0），
如图，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，
那么AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点，
当C为AB中点时，那么OC为△ABQ的中位线，即C点在y轴上，
∴OC=AQ=4，
∴C点坐标为（0，4），
又PC∥x轴，
∴P点纵坐标为4，
∵P点在抛物线线上，
∴4=x2+2x，解得x=﹣1﹣或x=﹣1，
∵P点在A、B之间的抛物线上，
∴x=﹣1﹣不合题意，舍去，
∴P点坐标为（﹣1，4），
∴PC=﹣1﹣0=﹣1；
（3）∵D（m，n），且四边形PCDE为矩形，
∴C点横坐标为m，E点纵坐标为n，
∵C、E都在直线y=2x+4上，
∴C（m，2m+4），E（，n），
∵PC∥x轴，
∴P点纵坐标为2m+4，
∵P点在抛物线上，
∴2m+4=x2+2x，整理可得2m+5=（x+1）2，解得x=﹣1或x=﹣﹣1（舍去），∴P点坐标为（﹣1，2m+4），
∴DE=﹣m，CP=﹣1﹣m，
∵四边形PCDE为矩形，
∴DE=CP，即﹣m=﹣1﹣m，
整理可得n2﹣4n﹣8m﹣16=0，
即m、n之间的关系式为n2﹣4n﹣8m﹣16=0．
【能力检测】
1. （2016·陕西）昨天早晨7点，小明搭车从家动身，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的进程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时刻x（时）之间的函数图象．
依照下面图象，回答以下问题：
（1）求线段AB所表示的函数关系式；
（2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时抵家？
【考点】一次函数的应用．
【解析】（1）可设线段AB所表示的函数关系式为：y=kx+b，依照待定系数法列方程组求解即可；
（2）先依照速度=路程÷时刻求出小明回家的速度，再依照时刻=路程÷速度，列出算式计算即可求解．【解答】解：（1）设线段AB所表示的函数关系式为：y=kx+b，
依题意有，
解得．
故线段AB所表示的函数关系式为：y=﹣96x+192（0≤x≤2）；
（2）12+3﹣（7+6.6）
=15﹣13.6
=1.4（小时），
112÷1.4=80（千米/时），
÷80
=80÷80
=1（小时），
3+1=4（时）．
答：他下午4时抵家．
2.（2016·贵州安顺·10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数
m（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且y=
x
tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
【解析】（1）先过点A作AD⊥x轴，依照tan∠ACO=2，求得点A的坐标，进而依照待定系数法计算两个函数解析式；（2）先联立两个函数解析式，再通过解方程求得交点B的坐标即可．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D
由A（n，6），C（﹣2，0）可得，
OD=n，AD=6，CO=2
∵tan∠ACO=2
∴=2，即=2
∴n=1
∴A（1，6）
将A（1，6）代入反比例函数，得m=1×6=6
∴反比例函数的解析式为
将A（1，6），C（﹣2，0）代入一次函数y=kx+b，可得
解得
∴一次函数的解析式为y=2x+4
（2）由可得，
解得x1=1，x2=﹣3
∵当x=﹣3时，y=﹣2
∴点B坐标为（﹣3，﹣2）
【点评】此题要紧考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是把握待定系数法求函数解析式．求反比例函数与一次函数的交点坐标时，把两个函数关系式联立成方程组求解，假设方程组有解，那么二者有交点，假设方程组无解，那么二者无交点．
3. （2016·四川攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，那么sin∠OBD=（）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的概念．
【解析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，依照点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．
【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），
∴OD=3，OC=4，
∵∠COD=90°，
∴CD==5，
连接CD，如下图：
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD==．
应选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理、和锐角三角函数的概念；熟练把握圆周角定理是解决问题的关键．
4. （2016·福建龙岩·12分）某网店尝试用单价随天数而转变的销售模式销售一种商品，利用30天的时刻销售一种本钱为10元/件的商品售后，通过统计取得此商品单价在第x 天（x 为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量n （件） n=50﹣x
销售单价m （元/件）
当1≤x≤20时，x m 2120+=
当21≤x≤30时，x
m 420
10+
=
（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y （元）关于x （天）的函数关系式； （3）这30天中第几天取得的利润最大？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用．
【解析】（1）分两种情形别离代入解方程即可．
（2）分两种情形写出所获利润y （元）关于x （天）的函数关系式即可． （3）分两种情形依照函数的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）分两种情形
①当1≤x≤20时，将m=25代入m=20+x ，解得x=10 ②当21≤x≤30时，25=10+，解得x=28
经查验x=28是方程的解 ∴x=28
答：第10天或第28天时该商品为25元/件． （2）分两种情形
①当1≤x≤20时，y=（m ﹣10）n=（20+x ﹣10）（50﹣x ）=﹣x 2+15x+500， ②当21≤x≤30时，y=（10+
﹣10）（50﹣x ）=
综上所述：
（3）①当1≤x≤20时
由y=﹣x2+15x+500=﹣（x﹣15）2+，
∵a=﹣＜0，
∴当x=15时，y最大值=，
②当21≤x≤30时
由y=﹣420，可知y随x的增大而减小
∴当x=21时，y最大值=﹣420=580元
∵
∴第15天时取得利润最大，最大利润为612.5元．
5.（2016海南）如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C （0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）假设点P的坐标为（﹣2，3），请求出现在△APC的面积；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．
①假设∠APE=∠CPE，求证：；
②△APE可否为等腰三角形？假设能，请求出现在点P的坐标；假设不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题．
【解析】（1）设交点式为y=a（x+5）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，由P点坐标取得Q（﹣2，﹣3），那么PQ=6，然后依照三角形面积公式，利用S△APC=S△APQ+S△CPQ进行计算；
（3）①由∠APE=∠CPE，P H⊥AD可判定△PAD为等腰三角形，那么AH=DH，设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），那么OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，通过证明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=﹣x﹣，那么﹣x﹣x﹣=5，那
么解方程求出x可取得OH和AH的长，然后利用平行线分线段成比例定理计算出=；
②设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），那么E（x，﹣x﹣5），分类讨论：当PA=PE，易患点P与B点重合，现在P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，利用PH=HE取得|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′=x2+5x，那么x2+5x=（x+5），然后别离解方程求出x可取得对应P点坐标．
【解答】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+1），
把C（0，﹣5）代入得a•5•1=﹣5，解得a=﹣1，
因此抛物线解析式为y=﹣（x+5）（x+1），即y=﹣x2﹣6x﹣5；
（2）解：设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，
作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，那么Q（﹣2，﹣3），
∴PQ=3﹣（﹣3）=6，
∴S△APC=S△APQ+S△CPQ=•PQ•5=×6×5=15；
（3）①证明：∵∠APE=∠CPE，
而PH⊥AD，
∴△PAD为等腰三角形，
∴AH=DH，
设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），那么OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，
∵PH∥OC，
∴△PHD∽△COD，
∴PH：OC=DH：OD，即（﹣x2﹣6x﹣5）：5=DH：（﹣x﹣DH），
∴DH=﹣x﹣，
而AH+OH=5，
∴﹣x﹣x﹣=5，
整理得2x2+17x+35=0，解得x1=﹣，x2=﹣5（舍去），
∴OH=，
∴AH=5﹣=，
∵HE∥OC，
∴===；
②能．设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），那么E（x，﹣x﹣5），
当PA=PE，因为∠PEA=45°，因此∠PAE=45°，那么点P与B点重合，现在P点坐标为（﹣1，0）；
当AP=AE，如图2，那么PH=HE，即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5（舍去），x2=0（舍去）；解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5（舍去），x2=﹣2，现在P点坐标为（﹣2，3）；
当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′=﹣x﹣5﹣（﹣x2﹣6x﹣5）=x2+5x，那么x2+5x=（x+5），解得x1=﹣5（舍去），x2=，现在P点坐标为（，﹣7﹣6），
综上所述，知足条件的P点坐标为（﹣1，0），（﹣2，3），（，﹣7﹣6）．
【点评】此题考查了二次函数的综合题：熟练把握二次函数图象上点的坐标特点和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；明白得坐标与图形性质，能运用相似比计算线段的长；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题．。