高考数学压轴专题新备战高考《计数原理与概率统计》综合训练

【最新】《计数原理与概率统计》专题解析
一、选择题
1．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案． 【详解】
由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1. 【点睛】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
2．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v
共线的概率为( ) A ．
13
B ．
14
C ．
16
D ．
112
【答案】D 【解析】 【分析】
由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r
共线的基本事件的个数，利用
古典概型及其概率的计算公式，即可求解。

【详解】
由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636⨯=种结果，
又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r
共线，即630m n -=，即2n m =，
满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果，
所以向量p u r 与q r 共线的概率为31
3612
P =
=，故选D 。

【点睛】
本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

3．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（
表示一根阳线，
表示一根阴线），从
八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）
A ．
314
B ．27
C ．
928
D ．
1928
【答案】A 【解析】 【分析】
列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】 根据题意一共有：
乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑； 巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑； 离艮、离兑；艮兑，28种情况.
满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.
故632814p =
=. 故选：A . 【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4．已知5929
0129(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则7a =（ ）
A ．9
B ．36
C ．84
D ．243
【答案】B 【解析】 【分析】
()()59x 1x 2++-等价变形为[()][()()]59x 12x 11-++-+-，然后利用二项式
定理将其拆开，求出含有7
(1)x -的项，便可得到7a ．
【详解】
解：55(1)[(1)2]x x +=-+展开式中不含7
(1)x -；
()[()()]99x 2x 11-=-+-展开式中含7(1)x -的系数为()72
9C 136-=
所以，7a 36=，故选B 【点睛】
本题考查二项式定理，解题的关键是要将原来因式的形式转化为目标因式的形式，然后再进行解题．
5．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A ．100 B ．110 C ．120 D ．180
【答案】B 【解析】
试题分析：10人中任选3人的组队方案有3
10120C =，
没有女生的方案有3510C =， 所以符合要求的组队方案数为110种 考点：排列、组合的实际应用
6．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x
的方程20x m +=有实数根的概率为（ ） A ．
18
B ．
17
C ．
16
D ．
15
【答案】A 【解析】 【分析】
根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】
若方程20x m +=有实数根，则40n m ∆=-≥.
如图，40
0101
n m m n -≥⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，
即111
1
24118
S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形
.
故选：A . 【点睛】
本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.
7．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．
5
108
B ．
113
C ．
17
D ．
710
【答案】B 【解析】 【分析】
根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】
3311166617()216A P AB C C C +==Q ，111
55561116691
()1216
C C C P B C C C =-=
()()()72161
|2169113
P AB P A B P B ∴=
=⨯= 故选：B 【点睛】
本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.
8．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3
C ．0.58
D ．0.958
【答案】D 【解析】
分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破
的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.
详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ．
点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.
9．若不等式组230
2400x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的区域为Ω，不等式222210x y x y +--+≤表示的
区域为T ，则在区域Ω内任取一点，则此点落在区域T 中的概率为（ ） A ．
4
π B ．
8
π C ．
5
π D ．
10
π 【答案】D 【解析】 【分析】
作出不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公
式即可得到结论． 【详解】
作出不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的区域Ω，
不等式2
2
2210x y x y +--+≤化为()()22
111x y -+-≤
它表示的区域为T ，如图所示；
则区域Ω表示ABC V ，由240 230
x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得点()12B -，； 又()20A -，，30B （，）
，∴()1
32252
ABC S =⨯+⨯=V ， 又区域T 表示圆，且圆心()11M ，在直线230x y +-=上，
在ABC V 内的面积为2
1
12
2
π
π⨯=
；
∴所求的概率为2510
P π
π==
，故选D ．
【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率计算问题，利用数形结合求出对应的面积是解题的关键，属于中档题.
10．在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．24 D ．48
【答案】A 【解析】 【分析】
分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有212421
2
2
6C C C A =种分组方法；
②将分好的3组对应3名任课教师，有3
36A =种情况；
根据分步乘法计数原理可得共有6636⨯=种不同的问卷调查方案． 故选A ． 【点睛】
解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据排列、组合数求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用知识解决问题的能力，属于基础题．
11．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ） A ．35种 B ．30种 C ．28种 D ．25种
【答案】B 【解析】 【分析】
首先算出7名党员选3名去甲村的全部情况，再计算出全是男性党员和全是女性党员的情况，即可得到既有男性，又有女性的情况. 【详解】
从7名党员选3名去甲村共有3
7C 种情况，3名全是男性党员共有3
4C 种情况，
3名全是女性党员共有3
3C 种情况，
3名既有男性，又有女性共有333
74330C C C --=种情况.
故选：B 【点睛】
本题主要考查组合的应用，属于简单题.
12．设1021001210)x a a x a x a x =++++L ，那么
()(2
20210139)a a a a a a +++-+++L
L 的值为（ ）
A ．0
B ．1-
C ．1
D ．101)
【答案】C 【解析】 【分析】
令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得； 【详解】
解：因为
)
10
21001210x
a a x a x a x =++++L ，
令1x =得)
10
0123101a a a a a =++++L ，
令1x =-
得
)
10
0123101
a a a a a =-+-++L ，
所以()(2
20210139)a a a a a a +++-+++L L
()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L
))
10
10
1
1
=
⋅
))
10
11⋅
⎡⎤⎣
⎦
=
1011== 故选：C 【点睛】
本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．
13．已知()8
12x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b
a
的值（ ） A ．
126
5
B ．
128
5
C ．
125
3
D ．26
【答案】B 【解析】 【分析】
根据二项式系数的性质求得a ，系数的最大值为b 求得b ，从而求得b
a
的值． 【详解】
由题意可得4870a C ==，又展开式的通项公式为182r r
r r T C x +=，
设第1r +项的系数最大，则118811
8
8·2?2·2?2r r r r r r r r C C C C ++--⎧⎨⎩……，即56r r ⎧⎨⎩…
…， 求得=5r 或6，此时，872b =⨯，∴128
5
b a =， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查二项式系数的性质，第n 项的二项式系数与第n 项的系数之间的关系，属于中档题．
14．已知()9
29012913x a a x a x a x -=++++L ，则019a a a +++…等于（ ） A ．92 B ．94
C ．93
D ．1
【答案】B 【解析】
【分析】
求出二项式()9
13x -展开式的通项为()193r
r
r T C x +=⋅-，可知当r 为奇数时，0r a <，当
r 为偶数时，0r a >，然后代入1x =-即可得出019a a a ++⋯+的值.
【详解】
二项式()9
13x -展开式的通项()193r
r r T C x +=⋅-，当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数
时，0r a >，
因此，()9
90191314a a a ⎡⎤++⋯+=-⨯-=⎣⎦.
故选：B. 【点睛】
本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
15．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60 B ．66 C ．72 D ．126
【答案】A 【解析】 【分析】
要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】
从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：
所以共有1331
545460C C C C +=种取法.
故选：A 【点睛】
本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.
16．设2012(12)n n
n x a a x a x a x L -=++++，若340a a +=，则5a =（ ）
A ．256
B ．-128
C ．64
D ．-32
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意利用二项展开式的通项公式求得n 的值，从而求得5a 的值． 【详解】
∵()201212n
n n x a a x a x a x -=++++L ，
∵334434220n n a a C C +=⋅-+⋅-=（）（），
5n ∴=，
则55
55232a C （
），=⋅-=- 故选D ． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
17．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对
应的散点图，并求得其回归方程为 1.160.5ˆ37y
x =-，以下结论中不正确的为（ ）
A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，
C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米， 【答案】D 【解析】 【分析】
根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A 根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B ，根据回归方程可判断正相关；C 将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D ，根据回归方程x 的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确. 【详解】
A ，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；
B ，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；
C ，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；
D ，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确. 故答案为D.
【点睛】
本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
18．先后投掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“x y 、中有偶数，且x y ≠”，则概率()P B A =( )
A ．13
B ．12
C ．14
D ．25
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意有()))
|(=
(n AB P n A A B ，所以只须分析事件A 和事件AB 所包含的基本事件，即可根据公式求出结果.
【详解】
解：事件A 中“x y +为偶数”，所以,x y 同奇同偶，共包含22318⨯=种基本事件；
事件AB 同时发生，则,x y 都为偶数，且x y ≠，则包含236A =个基本事件； ()()61=)13
|=
(8n AB n A P B A =. 故选：A.
【点睛】 本题考查条件概率的应用，考查基本事件的求法，解题的关键是辨析条件概率，属于基础题.
19．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( )
A ．12
B ．1
C ．32
D ．2
【答案】B
【解析】
由题意2ξ=或4，则221[(23)(43)]12
D ξ=-+-=，故选B ．
20．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则
11p q
+的最小值为（ ） A ．2
B ．52
C ．94
D ．4 【答案】C
【解析】
【分析】
根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到
11p q
+的最小值. 【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，，
所以有()4E X np ==， ()()1D X q np p ==-（，
所以44p q +=，即14q p +
=，（0p >，0q >） 所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 559214444
4q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当423
q p ==时取得等号． 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．。