华中科技大学数值分析实验报告

华中科技大学数值分析实验报告
系、年级
学号
姓名
类别硕士
指导老师路志宏
2013年4月13日
实验 4.1
实验目的：复化求积公式计算定积分
实验题目：数值计算下列各式右端定积分的近似值
3221(1)ln 2ln 321dx x -=--⎰
1
201(2)41
dx x π=+⎰ 10
2(3)3ln 3x dx =⎰ 221(4)x
e xe dx =⎰ 实验要求：
（1） 若用复化梯形公式、复化Simpson 公式和复化
Gauss-Legendre I 型公式做计算，要求绝对误差限为71*102
ε-=，分别利用它们的余项对每种算法做出步长的事前估计。

（2） 分别用复化梯形公式、复化Simpson 公式和复
化Gauss-Legendre I 型公式作计算。

（3） 将计算结果与精确解作比较，并比较各种算法
的计算量。

一、事前误差估计
3
221(1)ln 2ln 321
dx x -=--⎰ 令 21()1f x x =- 则有 2(2)234(31)()(1)x f
x x -+=- (4)552424()(1)(1)f
x x x =-+- 故(2)52max ()27f x = (4)5808max ()243f x = 由题中精度要求，可知对于复化梯形求积公式有
22''()(32)52()()121227
n b a h R f h f ηε--=-≤≤ 得步长h=5.582*10-4
对于复化Simpson 求积公式有
44(4)()(32)5808()()28802880243
n b a h R f h f ηε--=-≤≤ 得步长h=0.04975
对于复化Gauss-Legendre I 型求积公式有
44(4)()(32)5808()()43204320243n b a h R f h f ηε--=≤≤
得步长h=0.05494
对于(2)~(4)，其步长可以仿上加以确定，此处不再赘述，结果一并列表如下：
二、利用求积公式进行计算
利用上述求积公式进行计算，结果如下表：
三、将计算结果与精确解作比较，并比较各种算法
的计算量
由上表中的误差分析可知，利用题目所要求的复化求积公式运算的结果均在误差限以内，精度满足要求。

并且由各种算法的步长可知，复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre I型公式在相同精度的情况下，其步长依次减少，相应地，其计算量也依次递减。

四、总结
这次数值分析实验，使我加深了对复化求积公式的理解，掌握了利用复化求积公式求解定积分的方法，熟悉了MATLAB的有关函数。

有理由相信，在我未来的科研生涯中，作为数值计算积分的复化求积方法，一定会提供很大的方便。

至此，感谢陪伴我多时并为我解决部分问题的同学们，同时也非常感谢我所敬重的路教授！。