2022年上海民办文来中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022年上海民办文来中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知
是直线，
是平面，且
，则“
”是“
”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 参考答案： B
2. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P -ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，
，
，三棱锥P -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）
A. 12π
B. 16π
C. 20π
D. 24π
参考答案：
C
由题意得
为球的直径,而
,即球
的半径
;所以球
的表面积
.
本题选择C 选项.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 3. 已知抛物线
的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若，则
（ ）
A ．
B ．8 C. 16 D ．
参考答案：
A 抛物线C ：
的焦点为F （1，0），准线为l ：x=﹣1，与x 轴交于点Q
设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），M ，N 到准线的距离分别为d M ，d N ，
由抛物线的定义可知|MF|=d M =x 1+1，|NF|=d N =x 2+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x 1+x 2+2． ∵
，
∴，即，∴.
∴,∴直线AB 的斜率为，
∵F （1，0），∴直线PF 的方程为y=（x ﹣1），
将y=
（x ﹣1），代入方程y 2=4x ，得3（x ﹣1）2=4x ，化简得3x 2﹣10x+3=0，
∴x 1+x 2=，于是|MN|=|MF|+|NF|=x 1+x 2+2=+2=．
故选：A ．
4. 若表示阶矩阵
中第行、第列的元素，其中第行的元素均为，第列的元素为
，且
（、
）,则
=
.
参考答案：
略
5. 记,，则这三个数的大小关系是
．．．．
参考答案：
解：．由比较法不难得出，构造函数，知此函数在区间上为减函数，从而得到即
6. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕ b=a；当a<b时，
a⊕b=b2，函数f（x）=（1⊕x）·x（其中“·”仍为通常的乘法），则函数f（x）的图像与x 轴及直线x=2围成的面积为（）
A． B．4
C． D．8
参考答案：
C
略
7. 已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
略8. 设是两个实数，命题“中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是A．B．C．D．参考答案：
B
9. 函数的图象大致是
参考答案：
B
10. 若a、b，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】若可得b＞a＞0或a＜b＜0或a＞0＞b，从而可进行判断充分性与必要性【解答】解：若
则
∴或
即b＞a＞0或a＜b＜0或a＞0＞b
∴q?p，p推不出q
∴p是q成立的必要不充分条件
故选B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出下列四个结论：①“若则”的逆命题为真；②若为的极值，则；③函数（x）有3个零点；④对于任意实数x，有
且x>0时,，则x<0时.
其中正确结论的序号是.（填上所有正确结论的序号）
参考答案：
④
12. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角
A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为
．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC
的面积为
．
参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理可求ac 的值，可求a 2+c 2﹣b2=4，代入“三斜求积”公式即可计算得解．
【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=4sinA，可得：ac=4，
由于（a+c）2=12+b2，可得：a2+c2﹣b2=4，
可得：==．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
13. 若,且, 则值为 .
参考答案：
14. 在复平面内，复数对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
参考答案：
C
【详解】试题分析：，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象
限，故选C.
考点：1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义
15. 下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|.
③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是
参考答案：
①④
16. 设，则
的值为______________________
参考答案：
-2
略
17. 椭圆的焦点为、，点P在椭圆上，若，则的大小为
______________．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）已知函数（）的最小正周期为.（1）求的值及函数的单调递增区间；
（2）当时，求函数的取值范围.
参考答案：
（1）
.
因为最小正周期为，所以.
于是.
由，，得.
所以的单调递增区间为[]，.
（2）因为，所以，
则.
所以在上的取值范围是[].
19. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；
（2）从甲已抽取的8次预赛中随机抽取两次成绩，求这两次成绩中至少有一次高于90的概率．
参考答案：
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】（1）分别求出甲、乙的平均数和方差，从而判断结论即可；
（2）列举出抽取2次成绩可能结果和两次成绩中至少有一次高于90的结果，求出满足条件的概率即可．
【解答】解：（1）甲参加比较合适，理由如下：
，
，
=35.5，
=41，∵，，
∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．
（2）抽取2次成绩可能结果有：
（82，81），（82，79），（82，78），（82，95），（82，88），
（82，93），（82，84），（81，79），（81，78），（81，95），
（81，88），（81，93），（81，84），（79，78），（79，95），
（79，88），（79，93），（79，84），（78，95），（78，88），
（78，93），（78，88），（95，88），（95，93），（95，84），
（88，93），（88，84），（93，84）共有28种．
两次成绩中至少有一次高于90的有：
（82，95），（82，93），（81，95），（81，93），（79，95），
（79，93），（78，95），（78，93），（95，88），（95，93），
（95，84），（88，93），（93，84）共有13种．
则这两次成绩中至少有一次高于90的概率为．
20. （2016?湘潭一模）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD
是直角梯形，AD⊥DC，
AB∥DC，DC=2AB，设Q为棱PC上一点， =λ
（1）求证：当λ=时，BQ∥平面PAD；
（2）若PD=1，BC=，BC⊥BD，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P的平面角为45°．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）设PD的中点为F，连接qF，证明四边形FABq是平行四边形．利用直线与平面平行的判定定理证明Bq∥平面PAD．
（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面PBD的法向量．平面QBD的法向量，通过二面角结合数量积求解λ即可．
【解答】（1）证明：设PD的中点为F，连接F，
∵点Q，F分别是△PCD的中点，
∴QF∥CD，且QF=CD，
∴QF∥AB，且QF=AB，
∴四边形FABQ是平行四边形．
∴BQ∥AF，又AF?平面PAD，BQ?平面PAD，
∴BQ∥平面PAD．
（2）解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），C（0，2，0），A（1，0，0），B（1，1，0）．
令Q（x0，y0，z0），∵=λ∴，Q（0，2λ，1﹣λ），
∵BC⊥平面PBD，
∴平面PBD的法向量为=（﹣1，1，0）．
设平面QBD的法向量为=（x，y，z），
则．令y=1，得=（﹣1，1，）．
若二面角Q﹣BD﹣P为45°，则=，
解得λ=﹣1±，
∵Q在PC上，0＜λ＜1．∴．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求解与应用，考查空间想象能力以及计算能力．
21. 工厂生产某种产品，次品率与日产量（万件）间的关系
（为常数，且），已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元
（1）将日盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数；
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：）
参考答案：
（1）当时，，…………2分当时，
(4)
分
∴日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系式为
……………………………………5分（2）当时，日盈利额为0
当时，
令得或（舍去）
∴当时，∴在上单增
∴最大值………………………………9分
当时，在上单增，在上单减
∴最大值……………………………………10分
综上：当时，日产量为万件日盈利额最大
当时，日产量为3万件时日盈利额最大
略
22. 在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与x轴交于点P，与曲线C交于两点M，N．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求的取值范围．
参考答案：
(1) (2)
【分析】
（1）把ρ＝2sinθ两边同时乘以ρ，代入ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ即可得到曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系化为关于α的三角函数，则答案可求．
【详解】解：（1）由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，
把ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入，可得x2+y2﹣2y＝0．
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0；
（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，得t2+（2cosα﹣2sinα）t+1＝0．
由△＝（2cosα﹣2sinα）2﹣4＞0，得sin2α＜0，
且t1+t2＝﹣2cosα+2sinα，t1t2＝1．
∴．
sin2α＜0∴
即的取值范围是（2，6]．
【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程中参数t的几何意义的应用，是基础题．。