2019版一轮优化探究理数(苏教版)：第六章 第三节 等比数列及其前n项和 Word版含解析

一、填空题
1．设等比数列{a n }的公比q ＝3，前n 项和为S n ，则S 4a 2
＝________. 解析：S 4＝a 1(1－34)1－3
＝40a 1，a 2＝3a 1. ∴S 4a 2
＝403. 答案：403
2．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{ a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于________．
解析：由已知可设公比为q ，
则(a 2＋1)2＝(a 1＋1)(a 3＋1)，
∴(2q ＋1)2＝3(2q 2＋1)．
∴2q 2－4q ＋2＝0.
∴q ＝1，
∴a n ＝2.
∴S n ＝2n .
答案：2n
3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6
＝________. 解析：由等比数列的性质：
S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是由S 6＝3S 3，可推出S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6
＝73. 答案：73
4．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n
}的前5项和为________． 解析：由题意易知q ≠1，则9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q
，解得q ＝2，数列{1a n }是以1为首项，以12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.
答案：3116
5．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取
值范围是________．
解析：设公比为q ，则q 3＝a 5a 2
＝18，∴q ＝12，a 1＝4， 故数列{a n ·a n ＋1}是首项为8，公比为14的等比数列，
∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1
＝8[1－(14)n ]1－14
＝323[1－(14)n ]，
∵34≤1－(14)n <1，
∴8≤323 [1－(14)n ]<323.
答案：[8，323)
6．在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q 为________．
解析：由已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，
两式相减得a 6－a 5＝2a 5，即a 6＝3a 5，
所以q ＝3.
答案：3
7．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________.
解析：∵S 99＝30，
即a 1(299－1)＝30.
a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝4a 1(833－1)8－1
＝47a 1(299－1) ＝47×30＝1207.
答案：1207
8．数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 10＝________. 解析：由已知得a n ＋1＝2a n ，故数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a 10＝a 3×27＝10×128＝1 280.
答案：1 280
9．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝a 3n a 2n ＋1
，且{b n }的前n 项和为T n ，若对一切正整数n 都有S n >T n ，则数列{a n }的公比q 的取值范围是________． 解析：由于{a n }是等比数列，公比为q ，所以b n ＝a 3n
a 2n ＋1＝1q 2a n ，于是
b 1＋b 2＋…＋
b n ＝1q 2(a 1＋a 2＋…＋a n )，即T n ＝1q 2·S n ，又S n >T n ，且T n >0，所以q 2＝S n T n >1.因为a n >0对任意n ∈N *都成立，所以q >0，因此公式q 的取值范围是q >1. 答案：q >1
二、解答题
10．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，。