江西省东乡一中、都昌一中、丰城中学等八校高三数学下

江西省东乡一中、都昌一中、丰城中学等八校2016届高三数学下学
期第二次联考试题文（扫描版）
新八校第二次联考（文科）数学试题参考答案
一、选择题：（本大题共60分）D CDAD BCBAD AA 二、填空题：（本大题共20分） 13．2π 14．[3,11] 15．18或9
2
16．13262
三、解答题：（本大题共70分） 17．(本小题满分12分)
解：（1）BD Q 为ABC ∠的平分线
由角平分线定理知：
3
2
OA AB OC BC ==
3
2OAB OBC S OA S OC ∆∆∴
==；
（6分）
（2）由//AD BC 且AB AC = ABC ACB CAD ∴∠=∠=∠
sin sin()sin()sin BAD BAC CAD BAC ABC C ∴∠=∠+∠=∠+∠=
在ABC ∆中，2221
cos 23
AC BC AB C AC BC +-=
=⋅⋅
22sin 3
C ∴=
故 BAD ∠sin 的值为22
3. （12分）
18. (本小题满分12分)
解：（1）由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A 试验发生 包含的事件是从5组数据中选取2组数据共有C 52
=10种情况，每种情况都是等 可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有4种 ∴P （A ）=
=； （4分）
（2）由数据求得=3，=72，x i y i =1200，=55，
故===12，
∴
=﹣
=36，
∴y 关于x 的线性回归方程为=12x+36， （10分） 当x=6，=108（件），
即预测该工人第6个月生产的合格零件的件数为108件． （12分） 19. (本小题满分12分)
（1）证明：取CE 的中点G ，连FG 、BG ．∵F 为CD 的中点， ∴GF ∥DE 且GF=
2
1
DE ． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB ． 又AB=
2
1
DE ，∴GF=AB ．∴四边形GFAB 为平行四边形，则AF ∥BG ． ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF ⊥CD ∵DE ⊥平面ACD ， AF ⊂平面ACD ，
∴DE ⊥AF ． 又CD ∩DE=D ，故AF ⊥平面CD E ．∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE ． ∵BG ⊂平面BCE ，∴平面平面BCE ⊥平面CDE ； （6分） （2）解：取AD 中点M ，连接CM ，
∵△ACD 为等边三角形，则CM ⊥AD ， ∵DE ⊥平面ACD ，且DE ⊂平面ABED ，
∴平面ACD ⊥平面ABED ，又平面ACD ∩平面ABED=AD ，∴CM ⊥平面ABED ， ∴CM 为四棱锥C ﹣ADEB 的高，∴V=CM•S ABED =AF•S ABED =． （12分）
20.(本小题满分12分)
解：（1）设),(y x M ΘM 到圆C 的切线长与||MQ 的比值为2 ∴2
2
||22||MQ MO =- ])3[(222
2
2
2
y x y x +-=-+∴ 整理得：020122
2
=+-+x y x
∴点M 的轨迹方程为：020122
2
=+-+x y x ； （4分） （2）设l 的方程为：2+=kx y
联立方程:⎩⎨⎧=+-++=0
201222
2x y x kx y ,可得:024)124()1(2
2=+-++x k x k 由0>∆可得03652
<-+k k (*)
2
212211124,1412k k
y y k k x x ++=++-=
+∴
)1124,1412(2
2k k
k k OB OA +++-=+∴→→ （8分） )2,3(-=→
PQ Θ若→
→
→
+PQ OB OA // 则0)124(3)412(2=++-k k
∴7
9
-=k 代入(*)中符合题意. ∴存在常数7
9
-=k 使得→→+OB OA 与→PQ 共线. （12分）
21.(本小题满分12分) 解：（1）由（1）可得221)(x
a
x x a x x f +=+=
'， ✍若1-≥a 时，则0≥+a x ，即0)(≥'x f 在[]e ,1上恒成立，此时，)(x f 在[]e ,1上 单调递增，∴()2
3)1(min =
-==a f x f ，∴23
-=a （舍去），
✍若e a -≤时，则0≤+a x ，即0)(≤'x f 在[]e ,1上恒成立，此时，)(x f 在[]e ,1上 单调递减，∴()2
31)(min =-
==e a e f x f ，∴2e
a -=（舍去）
， ✍若1-<<-a e ，令0)(='x f 得a x -=，
当a x -<≤1时，0)(<'x f ，∴)(x f 在[)a -,1上单调递减， 当e x a ≤<-时，0)(>'x f ，∴)(x f 在(]e a ,-上单调递增， ∴()2
3
1)ln()(min =
+-=-=a a f x f ，∴e a -=， 综上所述，e a -=； （6分） （2）∵a x x a
x +<-
ln ，在),1(+∞上恒成立 ∴x x x a a ->+ln ，∴),1(,1)
(ln +∞∈+->x x x x x a ，
令),1(,1)
(ln )(+∞∈+-=x x x x x x g 则 max )(x g a >
2
2)
1(1ln )(++--='x x x x x g ，令1ln )(2
+--=x x x x h
0)
1)(12(12121)(2'
<+--=+--=--=∴x x x x x x x x x h 在),1(+∞上恒成立，
∴)(x h 在),1(+∞上单调递减，∴,01)1()(<-=<h x h 0)('
<∴x g
∴)(x g 在),1(+∞上单调递减，,21)1()(-=<∴g x g
∴当2
1
-
≥a 时，a x x f +<)(在),1(+∞上恒成立. （12分） 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲
解：（1）连接OC ，OD ，OE ，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE=∠AOC ， 又∠CDE=∠P+∠PFD ，∠AOC=∠P+∠OCP ， 从而∠PFD=∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ，∴
由割线定理知PC•PD=PA•PB=12，故； （5分）
（2）若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为OF=2﹣r=1即r=1 所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT 则PT 2
=PB•PO=2×4=8，即
. （10分）
23. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程： 解：（1）将点M 的极坐标)6
,
4(π
代入方程)3sin(πθρ+=a ，得，)36sin(4π
π+=a ，
∴4=a ，由)3
sin(4π
θρ+
=得θθρcos 32sin 2+=，
∴θρθρρcos 32sin 22
+=
将⎩⎨⎧==θ
ρθρsin cos y x 代入化简得02322
2=--+y x y x ，
∴曲线C 直角坐标方程为02322
2=--+y x y x ； （5分）
（2）由02322
2=--+y x y x 配方得()()4132
2
=-+-y x ，
∴曲线C 是圆，且圆心坐标为()1,3，
由点M 关于直线l 的对称点N 在圆C 上得，直线l 经过圆C 的圆心，
∴⎪⎩⎪⎨⎧+=-=t
m t 31,
33，∴2=m ，
这是直线l 的参数方程是⎩⎨
⎧+=-=t
y t x 32,3，消去参数t 得0323=-+y x ，
∴点M 的直角坐标为()
2,32，∴点M 到直线l 的距离为3，
∴32=MN . （10分） 24. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲： 解：（1）当3-=a 时，3)(≥x f ⇔323≥-+-x x
⇔⎩⎨⎧≥-+-≤3232x x x 或⇔⎩⎨⎧≥-+-<<32332x x x 或⇔⎩
⎨⎧≥-+-≥3232
x x x ⇔1≤x 或4≥x ； （5分） （2）原命题⇔4)(-≤x x f 在[]2,1上恒成立 ⇔x x a x -≤-++42在[]2,1上恒成立
⇔x a x -≤≤--22在[]2,1上恒成立⇔03≤≤-a . （10分）。