人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(二十二) 3.3.1 函数的单调性与导数 Word版含答案

课时提升作业(二十二)
函数的单调性与导数
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数f(x)=x+lnx 在(0,6)上是　( )
A.单调增函数
B.单调减函数
C.在
上是减函数,在上是增函数 (0,1e )(1e ,6)D.在上是增函数,在上是减函数
(0,1e )(1e ,6)【解析】选A.因为f ′(x)=1+>0, 1x
所以函数在(0,6)上是单调增函数.
2.(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f(x)=kx-lnx 在区间(1,+∞)上单调递增,则k 的取值范围是　( )
A.(-∞,-2]
B.(-∞,-1]
C.
4.函数f(x)=-,则f(a)与f(b)(a<b<1)的大小关系为________________.
x e x 【解析】f ′(x)=′==.
(-x e x )(-x)'·e x ‒(‒x)·(e x )'(e x )2x ‒1e x 当x<1时,f ′(x)<0,所以f(x)为减函数,
因为a<b<1,所以f(a)>f(b).
答案:f(a)>f(b)
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.讨论函数f(x)=(-1<x<1,b ≠0)的单调性.
b x x 2‒1【解题指南】先求函数的定义域,然后判断函数的奇偶性,再判定函数在x ∈(0,1)上的单调性,最后得出在-1<x<1上的单调性.
【解析】f(x)的定义域为(-1,1),函数f(x)是奇函数,只需讨论函数在(0,1)上的单调性. 因为f ′(x)=b·
x '·(x 2‒1)‒x(x 2‒1)'(x 2‒1)2=-,
b (x 2+1)(x 2‒1)2当0<x<1时,x 2+1>0,(x 2-1)2>0,
所以-<0. x 2+1(x 2‒1)2
所以当b>0时,f ′(x)<0.所以函数f(x)在(0,1)上是减函数;
当b<0时,f ′(x)>0,所以函数f(x)在(0,1)上是增函数;
又函数f(x)是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称,从而可知:
当b>0时,f(x)在(-1,1)上是减函数;
当b<0时,f(x)在(-1,1)上是增函数.
6.(2015·威海高二检测)若函数f(x)=x 3-ax 2+(a-1)x+1在区间(1,4)内单调递减,在1312
(6,+∞)上单调递增,试求a 的取值范围.
【解析】f ′(x)=x 2-ax+a-1.因为f(x)在(1,4)内单调递减,所以f ′(x)≤0在(1,4)上恒成立,即a(x-1)≥x 2-1在(1,4)上恒成立,所以a ≥x+1.因为2<x+1<5,所以当a ≥5时,f ′(x)≤0在(1,4)上恒成立.又因为f(x)在(6,+∞)上单调递增,所以f ′(x)≥0在(6,+∞)上恒成立,所以a ≤x+1.因为x+1>7,所以当a ≤7时,
f ′(x)≥0在(6,+∞)上恒成立.
综上知5≤a ≤7.
【一题多解】本题还可以用以下方法解决:
如图所示,f ′(x)=(x-1).
因为在(1,4)内f ′(x)≤0,在(6,+∞)内f ′(x)≥0,且f ′(x)=0有一根为1,
所以另一根在上.所以 {f '(4)≤0,f'(6)≥0,
即所以5≤a ≤7. {3(5‒a)≤0,5(7‒a)≥0,
【补偿训练】已知函数f(x)=x 3-ax-1.
(1)若f(x)在实数集R 上单调递增,求实数a 的取值范围.
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由已知,得f ′(x)=3x 2-a.因为f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,所以f ′(x)=3x 2-a ≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a ≤3x 2对x ∈(-∞,+∞)恒成立.因为3x 2≥0,所以只需a ≤0.
(2)假设f ′(x)=3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立,
则a ≥3x 2在x ∈(-1,1)时恒成立.
因为-1<x<1,
所以3x 2<3,
所以只需a ≥3.
故存在实数a ≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.。