数学建模之数据处理与数学建模方法

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三、数据建模的综合评价方法
3. 逼近理想点（TOPSIS）方法
首先设定系统指标的一个理想 （ 样本） 点 ( x , x ,L, x ) ，
* 1 * 2 * m
然后对于每一个被评价对象与理想点进行比较。
下 与 理 想 点 ( x1 , x2 ,L, xm ) 最 接 近 ， 则 认 为 被 评 价 对 象
其中 c, d 均为确定的常数。 c 表示“平移量” ， d 表示
“旋转量” ，即表示“放大”或“缩小”倍数。 ′ ∈[c, c + d ] 。 则 xij
′ ∈ [60,100] 。 譬如若取 c = 60, d = 40 ，则 xij
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二、数据处理的一般方法
3. 定性指标的量化处理方法 在 社会 实 践 中， 很 多 问题都 涉及 到定性 因 素(指标)的定量处理问题。 诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人 员 素 质 、各种 满意 度、 信 誉 、 态 度、 意识 、 观 念 、 能力 等 因 素有 关的 政治 、 社会 、 人文 等 领 域的问题。
* * *
如果某一个被评价对象指标 ( xi1 , xi 2 ,L, xim ) 在某种意义
( xi1 , xi 2 ,L, xim ) 就是最好的。
基于这种思想的综合评价方法称为逼近理想点的排序方法 （ The technique for order preference by similarity to ideal solution，简称为 TOPSIS） 。
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数据处理与数据建模方法
1. 1.一般数据建模问题的提出 一般数据建模问题的提出 2. 2.数据处理的一般方法 数据处理的一般方法 3. 3.数据建模的综合评价方法 数据建模的综合评价方法 4. 4.数据建模的动态加权方法 数据建模的动态加权方法 ５ ..数据建模的综合排序方法 ５ 数据建模的综合排序方法 ６ ..数据建模的预测方法 ６ 数据建模的预测方法
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假设 m个数据指标 x1, x2,L 不妨设已做了类型的一 , xm ，
二、数据处理的一般方法
2. 数据指标的无量纲化处理方法 (1) 标准差方法
′= 令 xij xij − x j sj (i = 1, 2,L, n; j = 1, 2,L, m) ，
1 1 n 1 n 2 2 其中 x j = ∑ xij , s j = [ ∑ ( xij − x j ) ] ( j = 1, 2,L, m) 。 n i =1 n i =1
西南交通大学数学建模
数据处理与数据建模方法
实际中大量信息或海量信息对应着大量的数据 或海量数据，从这些数据中寻求所需要的问题答案-数据建模问题。 通过实际对象过去或当前的相关信息，主要研 究两个方面问题： （1）分析研究实际对象所处的状态和特征等， 依此做出评价和决策； （2）分析预测实际对象未来的变化状况和趋势 等，为科学决策提供依据。
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二、数据处理的一般方法
1. 数据类型的一致化处理方法
（3）区间型：对某个区间型数据指标 x ，则令
a−x − < 1 , x a c x′ = 1, a≤ x≤b 1 − x − b , x > b c 其中 [a, b] 为 x 的最佳稳定区间， c = max{a − m, M − b} ，M 和 m 分别为 x 可能取值的最大值和最小值。即可将 极大化。
[1 + α ( x − β ) −2 ] −1 ,1 ≤ x ≤ 3 f ( x) = 3≤ x≤5 a ln x + b , 其中 α , β , a, b 为待定常数．
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二、数据处理的一般方法
3. 定性指标的量化处理方法
当“很满意”时，则隶属度为１，即 f (5) = 1 ； 当“较满意”时，则隶属度为 0.8 ，即 f (3) = 0.8 ； 当“很不满意”时，则隶属度为 0.01，即 f (1) = 0.01 ．
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一、一般数据建模问题的提出
§ 综合评价是科学、合理决策的前提。 § 综合评价的基础是信息的综合利用。 § 综合评价的过程是数据建模的过程。 § 数据建模的基础是数据的标准化处理。
如何构成一个综合评价问题呢？
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一、一般数据建模问题的提出 综合评价问题的五个要素：
（1）被评价对象 综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。 在一个问题中 被 评价对象是属于同一 类 的，且 个 数要大于 1。
1≤i ≤ n
(i = 1, 2,L, n; j = 1, 2,L, m) ，
1≤i ≤ n
其 中 M j = max{xij }, m j = min{xij }( j = 1, 2,L, m) 。
′ ∈ [0,1] 是无量纲的标准观测值。 则 xij
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二、数据处理的一般方法
2. 数据指标的无量纲化处理方法 (３) 功效系数方法 xij − mj ′ =c+ ⋅ d (i =1,2,L, n; j =1,2,L, m) ， 令 xij M j − mj
明 任 确 务 对 s1, s2 , L, sn 进行综合评价
明 目 确 的 排序或 分类 ? 确 系 定 数 权
x1, x2 , L, xm
选 价 择 模 评 型 综合评价指 标 y = f (x, w) 计算综合 评价指标 依 指 标 y1, y2 , L, yn 对 s1, s2 , L, sn 排序或分类
什么是一 致化处理? 为什么要 一致化?
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二、数据处理的一般方法
1. 数据类型的一致化处理方法
（1）极小型: 对某个极小型数据指标 x ，则令
1 x′ = ( x > 0) ,或 x′ = M − x ,即可将 x 极大化。 x
（2）中间型: 对某个中间型数据指标 x ，则令 1 2( x − m ) M − m , m ≤ x ≤ 2 ( M + m) x′ = 2( M − x ) 1 , ( M + m) ≤ x ≤ M 2 M −m 即可将中间型数据指标 x 极大化。
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二、数据处理的一般方法
2. 数据指标的无量纲化处理方法
在实际数据指标 x1, x2 ,L, xm (m > 1) 之间 ，往往 存在着不可公度性，直接应用是困难的，会出现“大数 吃小数”的错误、从而导致结果的不合理。
常用方法: 标准差法、极值差法和功效系数法等。
致化，并有 n组样本观测值 xij (i =1,2,L , n; j =1,2,L, m) 。
x1, x2 ,L, xm (m > 1) ， 即 评 价 指 标 向 量
x = (x1, x2 ,L, xm )T 。
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综合评价问题的五个要素 （3）权重系数 针对每一综合评价问题不同的评价目 的，各评价指标之间的相对重要性是不同 的。 权重系数:用来刻画评价指标之间相对重 要性的大小。
如果用 wj 来 表示 评价 指标 xj ( j = 1,2,L, m) 的 权 重系数，则 wj ≥ 0( j = 1,2,L, m) ，且
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二、数据处理的一般方法
假设有多个评价人对某项因素评价为A，B，C， D,E共5个等级: {v1 ,v2 ,v3 ,v4,v5}。 譬如：评价人对某事件“满意度”的评价可分为 {很满意，满意，较满意，不太满意，很不满意} 将其5个等级依次对应为5，4，3，2，1。 为取连续量化，取偏大型柯西分布和对数函数 作为隶属函数：
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三、数据建模的综合评价方法
1. 线性加权综合法
用线性加权函数 y =
∑w x
j =1 j
m
j
作为综合评价模型，
对 n 个系统进行综合评价。
适用条件:各评价指标之间相互独立。 对不完全独立的情况，其结果将导致各指标间 信息的重复，使评价结果不能客观地反映实际。 主要特点： （1）各评价指标间作用得到线性补偿； （2）权重系数的对评价结果的影响明显。
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三、数据建模的综合评价方法 2. 非线性加权综合法
用非线性函数 y =
∏x
j =1
m
wj j
作为综合评价模型，对 n
个系统进行综合评价。 其中 w j 为权系数， 且要求 x j ≥ 1 。 适用条件：各指标间有较强关联性。 主要特点： （1）突出了各指标值的一致性，即平衡评价指标值 较小的指标影响的作用； （2）权重系数大小的影响不是特别明显，而对指标 值的大小差异相对较敏感。
计算 得 α = 1.1086 , β = 0.8942 , a = 0.3915 , b = 0.3699。
1 + 1.1086( x − 0.8942) −2 则 f ( x) = 0.3915ln x + 0.3699 ,
[
]
−1
,1 ≤ x ≤ 3 3< x ≤5
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二、数据处理的一般方法
3. 定性指标的量化处理方法
1 + 1.1086( x − 0.8942) −2 f ( x) = 0.3915ln x + 0.3699 ,
[
]
−1
,1 ≤ x ≤ 3 3< x ≤5
根据这个规 律，对于任何一 个评价值，都可 以给出一个合适 的量化值。 根据实际情 况也可构造其他 的隶属函数。
T T
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假设 n个被评价对象的 m个数据指标向量
综合评价问题的五个要素 （5）评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一 个人，也可以是一个团体。 对于评价目的选择、评价指标体系确定、 权重系数的确定和评价模型的建立都与评价者 有关。
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综合评价过程的流程
指 预 标 处 的 理 确定评 价指标 确定指标 初始值 规范化指标
假设一个综合评价问题中有 n 个被评价对象(或系统)， 分别记为 S1, S2,L , Sn(n >1)。
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综合评价问题的五个要素
（2）评价指标 它是反映被评价对象(系统)的运行状况的基本要 素。 通常问题都有多项指标构成，每一项指标都是从 不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度 量。 所有的评价指标一起称为综合评价的指标体系。 原则:系统性、科学性、可比性、可测性和独立 性。 设 系 统 有 m 个 评 价 指 标 （ 属 性 ）
权 重 系 数
w1, w2 ,L, wm
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二、数据处理的一般方法
1. 数据类型的一致化处理方法
一 般 问题的数据 指标 x1, x2 ,L, xm (m > 1) 可 能 有 “极 大型 ” 、 “极小型” 、 “中 间型” 和 “区间型” 指标 。
极大型:期望取值越大越好； 极小型:期望取值越小越好； 中间型:期望取值既不要太大，也不要 太小为好，即取适当的中间值为最好; 区间型:期望取值最好是落在某一个确 定的区间内为最好。
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一、一般数据建模问题的提出 一般问题：
•实际对象都客观存在一些相关的数据信息； •如何综合利用这些相关信息给出综合评价结果、 制定决策方案，或预测未来？ •这类问题都归结为信息综合利用与评价问题。
什么是综合评价与综合评价问题呢？
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一、一般数据建模问题的提出 综合评价： 依据相关信息对 被 评价的对象 所进行的客观、公正、合理的全面评价。 如果 把被 评价对象 视 为 系统 ， 则 综合评 价问题：在若干个(同类)系统中，如何确定哪 个系统的运行(或发展)状况好，哪个状况差？ 即哪个优，哪个劣？ 一类多属性(或多指标)的综合评价问题。
′ ∈[0,1]是无量纲的，称之为 xij 的标准观测值。 为 0 和 1，即 xij
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′ (i =1,2,L, n; j =1,2,L, m) 的 均值 和 均 方 差 分 别 显然 xij
二、数据处理的一般方法
2. 数据指标的无量纲化处理方法 (2) 极值差方法
′= 令 xij
xij − m j M j − mj
m
∑w =1。
j =1 j
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综合评价问题的五个要素 （4）综合评价模型 通过建立合适的综合评价数学模型将多 个评价指标综合成为一个整体的综合评价指 标，即得到相应的综合评价结果。
权重向量为 w = (w x =(x1, x2,L , xm) ， , wm) ， 1, w 2,L 则构造综合评价函数 y = f (w, x) 。
41指标数据的标准化处理1溶解氧do的标准化注意到溶解氧do为极大型指标首先将数据指标作极小化处理即令倒数变换7575将其数据标准化对应的分类区间随之变为0026670266703333长江水质的综合评价模型长江水质的综合评价模型42指标数据的标准化处理2高锰酸盐指数codmn的标准化高猛酸盐指数本身就是极小型指标即由极差变换将其数据标准化即令15对应的分类区间随之变为001333013330266704066670666713氨氮nh3n的标准化氨氮也是极小型指标对指标数据作极差变换将其数据标准化即令对应的分类区间随之变为00075指标数据的标准化处理4ph值的处理酸碱度ph值的大小反映出水质呈酸碱性的程度通常的水生物都适应于中性水质即酸碱度的平衡值ph值略大于7在这里不妨取正常值的中值75
如何对有关问题给出定量分析呢？
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二、数据处理的一般方法
3. 定性指标的量化处理方法 按国家的评价标准,评价因素一般分为五个等 级，如A，B，C，D，E。 如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如何合 理量化？ 简单地对应数字分量化方法是不科学的！ 根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方 法是一种可行有效的方法。