(新课标)云南省昆明市第一中学2020届高三数学第四次一轮复习检测试题文(扫描版)

2020届昆一中高三联考卷第四期文科数学参考答案及评分标准
一、选择题
1.解析：{}{}2131A x x x x =-+<=>-，{}{}ln 10e B x x x x =≤=<≤，则{}0e A B x x =<≤，
选D.
2.解析：因为3i
1i 2i
z -=
=-+，所以z = B. 3.解析：由图知，前半个月中，空气质量先变好再变差，处于波动状态，A 错误，这20天中的中度污染及以上的天数有5天，B 错误， 10月上旬大部分AQI 指数在100以下，10月中旬大部分AQI 指数在100以上，D 错误，选C ．
4.解析：由()42ππθ∈，得2()2πθπ∈，，7
cos29
θ==-，所以
1
cos 3
θ=
=，选A ． 5.解析：画出可行域，由图可知目标函数经过点(2,0)A
时取得最大值6.
6.解析：因为()cos222sin(2)6f x x x x π
=-+=-，
所以函数()f x 的最小值为2-，选A ．
7.解析：因为()1y f x =--的图象可以由()y f x =的图象先关于原点对称，再向上平移一个单位得到，所以选C.
8.解析：1
1,2
n a ==
；2,1n a ==-；3,2n a ==；1
4,2
n a ==；…，a 的值构成以3为周期的数列，因为202036731=⨯+，所以当2020n =时，1
2
a =
.选C. 9.解析：设圆锥SO 的轴截面为等腰△SAB ，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是△SAB 的内切圆，所以11()22SAB
S
AB SO SA SB AB r =
⋅=++⋅，解得：3
2
r =，所以球1O 的体积的最
大值为
92
π
，选A ．
10.解析：连结AE ，BD ，因为AB =，所以
AB AD
AD DE
=，所以△ABD 与△DAE 相似，所以DAE ABD ∠=∠，所以o 90EAB ABD ∠+∠=，即：AE BD ⊥，所以BD ⊥平面1A AE ，所以1A E DB ⊥，选B ．
11.解析：222
2+44
15c a a e a a a a
+==
=++≥，所以选C. 12.解析：当0a <时，函数()f x 的最小值为()f a ，不满足题意，当0a ≥，要是(0)f 是函数()f x 的最小值，只须2min 4
()2x a a x
++≥+，即242a a +≥+，即12a -≤≤，所以02a ≤≤，选D.
二、填空题
13.解析：因为=a b +（3，-2），(12)a mb m m +=+，-3+ ，由已知可得：3(12)2()0m m +-=-3+， 解得：9
4
m =-.
14.解析：因为a =1b =，60A =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2120c c --=，
所以4c =．
15.解析：由已知得12AF AF ⊥，所以12210F F AO ==，所以5c =，又
2a ，所以a =，所以双曲线C 的离心率e ．
16.解析：要满足方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则直线1
4
y x a =-+与
1y x =在0x >相切以上（不含相切）和直线14
y x a =-+过点（1,1）以下（不含过该点的直线），
当直线14y x a =-+与1y x =相切时，即11+4x a x =-，所以2
11+4
x ax =-,所以=0∆，所以1a =，
（1-舍去），当直线14y x a =-+过点（1,1）时，54a =，所以5
14
a <<.
三、解答题 （一）必考题
17.解析：（1）设{}n a 的公差为d ，因为1a ，2a ，7a 成等比数列，所以2217a a a =， 可得2111()(6)a d a a d +=+，0d ≠，得14d a =，
又41133a a d ==+，可得11a =，4d =，所以43n a n =- ………6分 （2）11(1)(1)(43)n n n n b a n ++=-=-- 2019122019T b b b =++⋅⋅⋅+
=(15)(913)(80658069)8073(4)100980734037-+-+⋅⋅⋅+-+=-⨯+= ………12分
18.解：（1）由表可知，该商场使用移动支付的顾客的比例为1057
18012
=，若当天该商场有12000人购物，则估计该商场要准备环保购物袋7
12000700012
⨯=个. ………6分 （2）按年龄分层抽样时，抽样比例为
45301515
15:17
+++=，所以应从[)20,30内抽取3人，
从[)30,40内抽取2人，从[)40,50内抽取1人，从[)50,60内抽取1人.
记选出年龄在[)20,30的3人为,,A B C ，其他4人为,,,a b c d ，7个人中选取2人赠送额外礼品，有以下情况：,,,,,AB AC Aa Ab Ac Ad ，,,,,BC Ba Bb Bc Bd ，,,,Ca Cb Cc Cd ， ,,ab ac ad ，
,bc bd ，cd ，共有21种不同的情况，其中获得额外礼品的2人都在[)20,30的情况有3种， 所以，获得额外礼品的2人年龄都在[)20,30内的概率为
31
=217
. ………12分 19.（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面APBQ ，平面APBQ 平面ABCD AB =，
四边形ABCD
正方形，即BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ，
所以BC ⊥平面APBQ ，
又因为AP ⊂平面APBQ ，所以AP BC ⊥， 因为BG ⊥平面APC ，AP ⊂平面PAC ， 所以AP BG ⊥， 因为BC
BG B =，,BC BG ⊂平面PBC ，
所以AP ⊥平面PBC ， 因为AP ⊂平面PAD ，
所以平面PAD ⊥平面PBC ． ………6分 （2）解：111
323
P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅，
求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ⋅的最大值． 令PA m =，PB n =，
由（1）知，PA PB ⊥，
所以224m n +=
，当且仅当m n =
即PA PB ==max
22112(2)333
P ABC n V m m n -+=≤⋅=， 因为四边形APBQ
为平行四边形，所以BQ PA ==， 因为BC ⊥平面APBQ ,
所以直线CQ 与平面APBQ
所成角的正切值为tan CQB ∠= ………12分
20.解：
（1）设直线l ：2y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则 联立22
2y kx x py
=+⎧⎨=⎩得2240x pkx p --=，
则1212=2=4x x pk x x p
+⎧⎨-⎩， 所以()()()212121212=22+244y y kx kx k x x k x x ++=++=， 所以1212440OA OB OA OB x x y y p ⊥⇔⋅=+=-+=，1p =， 所以抛物线C 的方程为22x y =．………6分
（2）假设存在满足条件的点()0,M t ,设11(,)A x y ，22(,)B x y , 由（1）知1212
=2=4x x k
x x +⎧⎨-⎩，若OMA OMB ∠=∠，则0MA MB k k +=，
()()()()12211221
1212121222y t x y t x kx t x kx t x y t y t x x x x x x -+-+-++---+==
()()
()()121212
22822204
2
kx x t x x k t k
t k
x x +-+-+-+=
=
=
=-，所以存在()0,2M -满足条
件．………12分
21. 解：（1）11
()1x f x x x
-'=-
=， 当()1,0∈x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在()1,0单调递减； 当()+∞∈,1x 时，0)(>'x f ，)(x f 在()+∞,1单调递增；
故()(1)1f x f ≥=，故)(x f 的最小值为1. ………4分 （2）由（1）可得，1ln )(≥-=x x x f 即1ln -≤x x ，
所以k k k k k
k 111)1(1111ln 22--=-<
≤⎪⎭⎫ ⎝⎛
+，k ∈N*且2≥k ， 则22211111111
1ln 1ln 1ln 12312231n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ， 即2221111ln 1111123n n ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+⨯+⨯⨯+<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，
即222111111e 23n ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L . ………12分
（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题记分。

22.解: （1） 依题意可得，抛物线C 的准线的普通方程为2
1
-
=x ， 化为极坐标方程即是2
1
cos -
=θρ. ………5分
（2）将直线l 的参数方程代入抛物线C 的普通方程x y 22
=，化简整理得，
22sin 2cos 10t t a a --=，设B A ,两点对应的参数分别为12,t t , 则有
αα221sin cos 2=
+t t ，α
22
1sin 1
-=t t ， 所以α
22122121sin 2
4)(=
-+=
-=t t t t t t AB ，因为πα<<0，
所以，1sin 02≤<α，2sin 2
2
≥α
，即2≥AB ， 当且仅当2
π
α=时，AB 取得最小值2. (10)
分
23.解: （1）当2=a 时, ⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤----<=)2(12)24(44)4(12)(x x x x x f
当4-<x 时，不等式不成立； 当24≤≤-x 时，解得22
3
≤<-
x ； 当2>x 时，不等式恒成立.
综上，不等式2)(<x f 的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧->23x x . ………5分
（2） 因为84)(+--=ax ax x f 12)8()4(=+--≤ax ax ,
当且仅当08≤+ax 时取到等号，所以)(x f 的最大值为12. ………10分。