(优辅资源)山东省德州市高三第一次模拟考试文科数学试题 Word版含答案

山东省德州市2017届高三第一次模拟考试
高三数学（文科）试题
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}
2|230A x x x =--<，{}|ln(2)B x y x ==-，则A B =（ ）
A ．{}|13x x -<<
B ．{}|12x x -<<
C ．{}|32x x -<<
D ．{}|12x x <<
2.22cos 165sin 15︒-︒=（ ）
A ．
1
2
B
．
2
C
．
2
D
．
3
3.已知
212z
i i
=++，则复数5z +的实部与虚部的和为（ ） A ．10
B ．10-
C ．0
D ．5-
4.“22ac bc >”是“a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条
件
5.将函数()2cos()13
f x x π
=--的图象向右平移
3
π
个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则图象()y g x =的一个对称中心为（ ） A ．(
,0)6
π
B ．(
,0)12
π
C ．(
,1)6
π
- D ．(
,1)12
π
-
6.已知x 、y 满足0,40,4,x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
则4x y -的最小值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．12
D ．16
7.已知1F ，2F 是双曲线C ：22
221(0x y a a b
-=>，0)b >
的左、右焦点，若直线y =与
双曲线C 交于P 、Q 两点，且四边形12PF QF 是矩形，则双曲线的离心率为（ ）
A ．5-
B ．5+
C 1
D 1
8.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的表面积是17π，则它的体积是（ ）
A ．8π
B ．
563
π
C ．
143
π
D ．
283
π
9.圆：2
2
2
290x y ax a +++-=和圆：2
2
2
4140x y by b +--+=有三条公切线，若a R ∈，
b R ∈，且0ab ≠，则
22
41
a b +的最小值为（ ） A ．1
B ．3
C ．4
D ．5
10.设函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()x
e x
f x f x x +=，(1)f e =，则0x >时，
()f x （ ）
A ．有极大值，无极小值
B ．有极小值，无极大值
C ．既有极大值又有极小值
D ．既无极大值也无极小值
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准
煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆ0.70.3y
x =+，那么表中m 的值为 ．
12.观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，…，则1010a b +=
．
13.已知||1a =，||7a b +=，()4a b a ⋅-=-，则a 与b 夹角是 ．
14.执行如图的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是 ．
15.已知()|1|x
f x e =-，又2
()()()g x f x tf x =-（t R ∈），若满足()1g x =-的x 有三个，则t 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，
现从高一学生中抽取100人做调查，得到如下22⨯列联表：
已知在这100人中随机抽取一人抽到喜欢游泳的学生的概率为
5
． （Ⅰ）请将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（Ⅱ）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选两人作为宣传组的组长，求这两人中至少有一名女生的概率．
参考公式：22
112212211212
()n n n n n n n n n χ++++-=，其中11122122n n n n n =+++．
参考数据：
17.已知向量(2cos
,2cos )44m =，(2cos )44
n =，设()f x m n =⋅． （Ⅰ）若()2f α=，求cos()3
π
α+
的值；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2)cos cos a b C c B -=，求()f A 的取值范围．
18.如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ．
（Ⅰ）求证：//AE 面DBC ；
（Ⅱ）若AB BC ⊥，BD CD ⊥，求证：面ADB ⊥面EDC .
19.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n N +∈，21n b n =-，且12a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1n
n n n n
a c
b -=，n T 为数列{}n
c 的前n 项和，求n T ．
20.设函数2
2
()2()ln f x x ax x x x =-++-． （Ⅰ）当2a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若(0,)x ∈+∞时，2
()0f x x +>恒成立，求整数a 的最小值．
21.在直角坐标系中，椭圆1C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，其中
2F 也是抛物线2C ：24y x =的焦点，点P 为1C 与2C 在第一象限的交点，且25
||3
PF =．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过2F 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M 、N 两点，若线段2OF 上存在定点(,0)T t 使得以TM 、TN 为邻边的四边形是菱形，求t 的取值范围．
高三数学（文科）试题答案一、选择题
1-5:BCCAD 6-10:BCDAD
二、填空题
11.2.8 12.123 13.5
6
π
14.3 15.(2,)
+∞
三、解答题
16.解：（Ⅰ）由已知可得：喜欢游泳的人共有
3
10060
5
⨯=，不喜欢游泳的有：1006040
-=
人，
又由表可知喜欢游戏的人女生20人，所以喜欢游泳的男生有602040
-=人，不喜欢游戏的男生有10人，所以不喜欢的女生有401030
-=人．
由此：完整的列表如下：
∵
2
2
100(40302010)50
10.828
604050503
χ
⨯-⨯
==>
⨯⨯⨯
，
∴有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．
（Ⅱ）从喜欢游泳的60人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，其中男生应抽取6
40460
⨯
=人，分别设为A 、B 、C 、D ；女生应抽取642-=人，分别设为E ，F ，现从这6人中任取2人作为宣传组的组长，共有15种情况，分别为：(,)A B ，
(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)A F ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ，(,)B F ，(,)C D ，(,)C E ，
(,)C F ，(,)D E ，(,)D F ，(,)E F ．
若记M =“两人中至少有一名女生的概率”，则M 包含9种情况，分别为(,)A E ，(,)A F ，
(,)B E ，(,)B F ，(,)C E ，(,)C F ，(,)D E ，(,)D F ，(,)E F ．
∴93
()155
P M =
=．
17.解：（Ⅰ）2
()2cos cos 444x x x f x =+cos 122x x =++2sin()126x π
=++．
∵()2f α=，∴sin()26απ+1
2
=，
∴21
cos()12sin ()3262
παπα+=-+=．
（Ⅱ）∵(2)cos cos a b C c B -=， ∴(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，
2sin cos sin cos cos sin sin()A C B C B C B C =+=+，
∴2sin cos sin A C A =， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3
C π
=． ∴203A π<<
，6262
A πππ
<+<， ∴1sin()1226
A π
<+<， ∵()2sin()126
A f A π
=++，
∴()f A 的取值范围为(2,3)．
18.证明：（Ⅰ）过点D 作DO BC ⊥，O 为垂足， ∵面DBC ⊥面ABC ，面DBC 面ABC BC =，DO ⊂面DBC ，
∴DO ⊥面ABC ， 又AE ⊥面ABC ，
∴//AE DO ，
又AE ⊄面DBC ，DO ⊂面DBC ， ∴//AE 面DBC ．
（Ⅱ）∵面DBC ⊥面ABC ，面DBC 面ABC BC =，AB BC ⊥，
∴AB ⊥面DBC ， 又DC ⊂面DBC ， ∴AB DC ⊥， 又BD CD ⊥，AB BD B =，AB 、BD ⊂面ADB ，
∴DC ⊥面ADB ， 又DC ⊂面EDC ， ∴面ADB ⊥面EDC ．
19.解：（Ⅰ）因为112()n n n n a a b b ++-=-，21n b n =-， 所以112()2(2121)4n n n n a a b b n n ++-=-=+-+=，
所以{}n a 是等差数列，首项为12a =，公差为4，即42n a n =-．
（Ⅱ）11
(42)(21)2(21)
n n n n n n n n a n c n b n ---===-⋅-． ∴123n n T c c c c =++++ (2)
3
123252(21)2n
n =⋅+⋅+⋅++-⋅…，①
23412123252(21)2n n T n +=⋅+⋅+⋅++-⋅…，②
①-②得：
231
12222222(21)2
n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅ (11)
4(12)22(21)212n n n -+⎡⎤-=+--⋅⎢⎥
-⎣⎦
16(23)2n n +=---⋅，
∴1
6(23)2n n T n +=+-⋅．
20.解：（Ⅰ）由题意可得()f x 的定义域为(0,)+∞， 当2a =时，2
2
()22()ln f x x x x x x =-++-， 所以21
'()222(21)ln 2()f x x x x x x x
=-++-+-⋅(42)ln x x =-． 由'()0f x >可得：(42)ln 0x x ->，所以420,ln 0,x x ->⎧⎨>⎩或420,
ln 0.x x -<⎧⎨<⎩
解得1x >或1
02
x <<
； 由'()0f x <可得：(42)ln 0x x -<，所以420,ln 0,x x ->⎧⎨<⎩或420,
ln 0,
x x -<⎧⎨>⎩
解得
1
12
x <<． 综上可知：()f x 递增区间为1(0,)2
，(1,)+∞，递减区间为1(,1)2
．
（Ⅱ）若(0,)x ∈+∞时，2
()0f x x +>恒成立，则2
2()ln 0ax x x x +->恒成立， 因为0x >，所以2(1)ln 0a x x +->恒成立， 即2(1)ln a x x >--恒成立，
令()2(1)ln g x x x =--，则max ()a g x >． 因为12
'()2(ln )2ln 2x g x x x x x
-=-+
=--+， 所以'()g x 在(0,)+∞上是减函数，且'(1)0g =， 所以()g x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上是减函数， ∴1x =时，max ()0g x =，
∴0a >，又因为a Z ∈，所以min 1a =． 21.解：（Ⅰ）抛物线2
4y x =的焦点为(1,0)，
25||13p PF x =+=，∴2
3
p x =，
∴p y =
2(3P ， 又2(1,0)F ，∴1(1,0)F -， ∴1275
||||433
PF PF +=
+=，∴2a =， 又∵1c =，∴2223b a c =-=，
∴椭圆方程是：22
143
x y +=． （Ⅱ）设MN 中点为00(,)D x y ，因为以TM 、TN 为邻边的四边形是菱形， 则TD MN ⊥，
设直线MN 的方程为1x my =+，
联立221,
1,43
x my x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩整理得22
(34)690m y my ++-=，
∵2F 在椭圆内，∴0∆>恒成立，
∴122
634m
y y m -+=+， ∴02334m y m -=+，∴00
24
134
x my m =+=+， ∴1TD MN k k ⋅=-，即2
2
3344
34
m m m t m -+=--+，
整理得2
1
34
t m =+， ∵20m >，∴2
34(4,)m +∈+∞，∴1(0,)4
t ∈，
所以t 的取值范围是1
(0,)4
．。