系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积

r(t)
r(t
) lim t10 t1
e(t1)t1h(t t1)
r(t) e( )h(t )d
e(t)
lim
t1 0
e(t1)t1
t1
(t
t1)
卷积的物理含义图解：
k (t t1)
kh(t t1)
A
e(t1)t1 (t t1)
A
e(t1)t1h(t t1)
LTI系统的性质
(
t0 )
f
(t
)d
f (t t0 )
函数与冲激函数时移相卷积的结果相当于把函数本身时移
3.
f (t t1) * (t t2 ) (t t1) * f (t t2 ) f (t t1 t2 )
*
＝
*
*
t1
＝
t0
＝
t2
t0 t1+ t2
推广：任意两函数卷积
若：s(t) f1(t) * f2 (t)
f (t)
f1(1) (t) *
f
( 1) 2
(t
)
d dt
f1 t *
t
f 2 ( )d
§2.5 卷积和—已知单位样值响应， 求系统零状态响应 一、 卷积和定义
e(n)
r(n) e(n)*h(n)
h(n)
e(n) e(k) (n k) k
Convl89.m
r(n) e(n)*h(n)
*
df2 (t dt
)
df1(t) * dt
f2 (t )
证：
d
d
dt [ f1(t)* f2 (t)] dt
f1
f2t
d
f1
(
)
d dt
f2 (t
)d
f1(
)
d
d(t
)
f2 (t )d
d f1(t) * dt
f2 (t)
同理可证：左边＝
df1(t) dt
*
f2 (t )
（2）积分：两个函数相卷积后的积分等于其中一个 函数的积分与另一个函数的卷积
h(t)
单位样值响应h(n)：
（n）
h(n)
（1）零状态响应响应 （2）具有零输入响应的
形式
（3）反映系统本身特性 因果性 稳定性
（4）根据框图求h(t),h(n)
3 卷积定义 ( Convolution)
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
系统的零状态响应＝激励与系统冲激响应的卷积
§2.5卷积积分与卷积和( Convolution)
2.5.1借助于信号分解求系统零状态响应
信号分解为冲激信号之和：
求和变积分
e(t) t1
e(t1 )
t1
e(t)
lim
t1 0
e(t1 )t1
t1
(t
t1 )
e( ) (t )d
t1 d t1
e(t1)t1 (t t1) e(t1)t1h(t t1)
n
e(k)h(n k) k 0
(2)任意两个序列的卷积和
f (n) f1(n) f2 (n) f1(k ) f2 (n k ) k
满足交换律、分配率、结合律
(3)性质---与(n)的卷积和 f (n) (n) (n) f (n)
(k ) f (n k ) k 0时， (k ) 1 k
求零状态响应 y(n) ?
解: y(n) x(n) * h(n)
x(n)和h(n)均为因果信号
n
n
y(n) x(k)h(n k) bk ank
k 0
k 0
n
an ( b )k
an
1
(
b a
)n1
k 0
a
1
b a
an1 bn1 u(n) ab
第二章 连续时间系统的时域分析方法 主 要内容
则：f1(t t1) * f2 (t t2 ) s(t t1 t2 ) 证明：f1(t t1) * f2 (t t2 )
f1(t)* (t t1)* f2 (t)* (t t2 ) f1(t) * f2 (t) * (t t1) * (t t2 ) s(t) * (t t1 t2 )
e(t)为激励系统的零状态响应
r(t
) lim t10 t1
e(t1)t1h(t t1)
卷积积分公式( Convolution)
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
卷积公式表明：
其中，为积分变量，t为参变量
系统的零状态响应＝激励与系统冲激响应的卷积
任意两个函数卷积积分
f (n)
推广： f (n)* (n n1) (n n1)* f (n) f (n n1)
f (n n1)* (n n2 ) (n n1)* f (n n2 ) f (n n1 n2 )
二、卷积和的图解说明
f (n) f1(n) f2 (n) f1(k ) f2 (n k )
卷积和的图解步骤：
k
(1)变量置换： f1(k)--> f1(k), f2(k)--> f2(k) (2)反褶：将f2(k)以纵轴为对称轴反褶，得f2(n－k) (3)平移：将f2(－k)沿k轴自左向右平移n，得f2(n－k)，
n>0时，右移n，n<0时，左移 |n|；
(4)相乘求和：对给定的n，计算两波形重合部分的乘 积f1(k)f2(n－k)的各点值，取和得到该n值下的f(n)；
•两有限长序列的卷积和也是 有限长的序列
•序列长度---->序列值不为零的个数
•卷积和的序列长度＝两序列长度之和－1 L=L1+L2-1
三、列表法：卷积的数值计算
h(t)
f2(n) E(t)
f1(n) 1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
四、解析法
例如：已知系统的单位样值响应 h(n) anu(n) 激励 x(n) bnu(n) a b
(5)积分：计算积分 f1 ( ) f2 (t )d ，f1()与f2(t－)乘
积曲线下的面积为t时刻卷积值。
卷积图解实例
2.4.3卷积的性质
一、卷积的代数性质
二、卷积的积分和微分
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积
一、卷积的代数性质
卷积运算是一种代数运算，与乘法运算的某些
性质相同 1、交换律
f1(t) f2 (t) f2 (t) f1(t)
s(t t1 t2 )
（2）与冲激偶‘（t）的卷 积
卷积的微分性质
f (t) * '(t) f '(t) * (t) f '(t)
（3）与阶跃函数u（t）的卷积 卷积的积分性质
f (t) *u(t) f 1(t) * (t) f 1(t) t f ()d
应用：函数与奇异信号的卷积与下式结合紧密
2、分配律
f1(t) [ f2 (t) f3(t)] f1(t) f2 (t) f1(t) f3(t)
f1(t) h(t)=f2(t)+f3(t) y1(t) f1(t)
h2(t)=f2(t)
y1(t)
=
h3(t)=f3(t)
系统并联
3、结合律
[ f1(t) f2 (t)] f3(t) f1(t) [ f2 (t) f3(t)]
1 求微分(差分）方程的解——求时域响应
全解 齐次解 + 特解
经典解法
零输入响应 +零状态响应
连续系统解的形式：
n
r(t )
ci eit rf (t )
i 1
离散系统解的形式：
n
r (t )
ci
n i
rf
(t )
i 1
2 系统的单位冲激响应与单位样值响应
单位冲激响应h(t)：
定义: （t）
f (t)
f1(1) (t) *
f2(1) (t)
d dt
f1 t *
t
f 2 ( )d
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积
（1）与冲激函数卷积
1. f (t) * (t) (t) * f (t) ( ) f (t )d f (t)
某函数与冲激函数的卷积是其本身
2. f (t) * (t t0) (t t0) * f (t)
t
t
f1() * f2 ()d f1() * f2 ()d
t
f2 () * f1()d
类似地：对高阶导数和积分
f (t) f1(t) * f2(t)
则：
f
(i ) (t)
f1( j) (t) *
f
(i 2
j
)
(t)
其中，I，j取正整数时，为导数阶次 若I，j取负整数时，为重积分次数，如
f (t) f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d
2.4.2卷积的图解说明 卷积的图解步骤：
(1)变量置换： f1(t)--> f1(), f2(t)--> f2() (2)反褶：将f2()以纵轴为对称轴反褶，得f2(－) (3)平移：将f2(－)沿轴自左向右平移t，得f2(t－)，t 从-向+ 变化； (4)相乘：函数f1()与f2(t－)相乘，两波形重叠部分有 值，不重叠部分乘积为0；
3.1 卷积的性质 与图解 3.2 与冲激函数的卷积及其推广
f (t) * (t t0 ) (t t0 ) * f (t) f (t t0 )
f1(t t1) * f2 (t t2 ) s(t t1 t2 )
3.3 卷积和定义
r(n) e(n) * h(n) e(k )h(n k ) k
e(k)h(n k) k
表明：LTI系统对任意激励信号e(n)的零状态响 应r(n)等于e(n)与单位样值响应的卷积和。
（1）对因果序列 r(n) e(n)* h(n) e(k)h(n k) k
k 0,e(k)
n k
0k
n, h(n k) 0
0 k
n
r(n) e(k)u(k)h(n k)u(n k) k
3.4 图解法、列表法、解析法
•L=L1+L2-1
作业：1-9, 2-1(1) ,2-3, 2-15(2),2-16(1) 作业：2-4(1) (3)
作业：2-6(1) (4),2-10, 2-12(d)
作业：2-7, 2-14(2) (3)(6), 2-17(1) 2-18(2)
f1(t)
f1(t)*f2(t)
h2 (t)=f2(t)
h3 (t)=f3(t)
y1(t) f1(t) h(t)= =
y1(t)
f2(t)*f3(t)
系统级联或串联
二 卷积的微分和积分
（1）微分：两个函数相卷积后的导数等于其中一个函 数的导数与另一个函数的卷积d dtΒιβλιοθήκη [f1(t)*
f2(t)]
f1(t)