邢台市2019年中考数学二轮模块复习《函数解答题》练习解析

专题复习（二）函数解答题
函数部分是河北中考的重点，本文从一次函数、反比例函数二次函数进行总结。

一次函数在河北近七年中考中，每年设置两道题，题型为选择题或解答题，本节常考的知识点有：1. 一次函数的图像及性质；2一次函数的解析式的确定；3一次函数实际应用；4一次函数和几何图形结合。

反比例函数在河北近七年中考中，每年设置一道题，其中选择题4次，解答题3次。

本节常考的知识点有：1反比例函数的图像及性质；2反比例函数的综合应用。

二次函数在河北近七年中考中，每年设置两道题，题型为选择题或解答题，每年设置1或2题。

本节常考的知识点有：1. 二次函数的图像及性质；2二次函数中系数a,b,c 的意义；3二次函数图像平移的规律；4二次函数的实际应用；5二次函数与几何图形综合题。

下面将从七方面对函数专题进行解析。

类型1．一次函数及一次函数应用
例1、如图，过点(0，－2)的直线l 1：y 1＝kx ＋b(k≠0)与直线l 2：y 2＝x ＋1交于点P(2，m)． (1)写出使得y 1＜y 2的x 的取值范围；
(2)求点P 的坐标和直线l 1的解析式．
解：(1)当x ＜2时，y 1＜y 2.
(2)把P(2，m)代入y 2＝x ＋1，得m ＝2＋1＝3.∴P(2，3)．
把P(2，3)和(0，－2)分别代入y 1＝kx ＋b ，得⎩
⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，b ＝－2.
解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝52，
b ＝－2.
∴直线l 1的解析式为y 1＝5
2
x －2.
例2．(2019唐山开平区一模)为了迎接世园会在某市召开，花园小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共300株．已知甲种树苗每株60元，乙种树苗每株90元．
(1)若购买树苗共用21 000元，问甲、乙两种树苗应各买多少株？
(2)据统计，甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为0.2和0.6，问如何购买甲、乙两种树苗才能保证该小区的空气净化指数之和不低于90而且费用最低？ 解：(1)设甲种树苗买x 株，则乙种树苗买(300－x)株． 60x ＋90(300－x)＝21 000，解得x ＝200. 则300－x ＝100.
答：甲种树苗买200株，乙种树苗买100株．
(2)∵买x 株甲种树苗，
∴0.2x ＋0.6(300－x)≥90.解得x≤225. 此时费用y ＝60x ＋90(300－x)＝－30x ＋27 000. ∵y 是x 的一次函数，y 随x 的增大而减小，
∴当x 最大＝225时，y 最小＝－30×225＋27 000＝20 250(元)．
即买225株甲种树苗，75株乙种树苗时，该小区的空气净化指数之和不低于90，费用最低为20 250元． 例3．(2019保定一模)已知某商品每件的成本为20元，第x 天(x≤90)的售价和销量分别为y 元/件和(180－2x)件，设第x 天该商品的销售利润为w 元，请根据所给图像解决下列问题： (1)求出w 与x 的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该商品在销售过程中，共有多少天当天的销售利润不低于4 200元？ 解：(1)当1≤x≤50时，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，
∵当x ＝1时，y ＝31，当x ＝50，y ＝80，
∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝31，50k ＋b ＝80. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝30.
∴y ＝x ＋30.
∴当1≤x≤50时，w ＝(x ＋30－20)(180－2x)＝－2x 2
＋160x ＋1 800； 当50≤x≤90时，w ＝(80－20)(180－2x)＝－120x ＋10 800. (2)当1≤x≤50时，w ＝－2x 2
＋160x ＋1 800＝－2(x －40)2
＋5 000， ∴当x ＝40时，W 最大5 000.
当50≤x≤90时，w ＝－120x ＋10 800， ∵w 随x 的增大而减小， ∴x ＝50时，w 最大＝4 800.
综上所述，该商品第40天时，当天销售利润最大，最大利润是5 000元． (3)当1≤x＜50时，y ＝－2x 2＋160x ＋1 800＝4 200，解得x ＝20或60. 因此利润不低于4 200元的天数是20≤x＜50，共30天． 当50≤x≤90时，y ＝－120x ＋10 800＝4 200，解得x ＝55. 因此利润不低于4 200元的天数是50≤x≤55，共6天．
∴该商品在销售过程中，共有36天当天的销售利润不低于4 200元．
针对性训练
1．(益阳)如图，直线l上有一点P1(2，1)，将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P2，点P2恰好在直线l上．
(1)写出点P2的坐标；
(2)求直线l所表示的一次函数的表达式；
(3)若将点P2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P3.请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．
2．(2019河北模拟经典四)如图1所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀速行驶，图2为列车离乙地的路程y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系图像．
(1)甲、丙两地距离1_050千米；
(2)求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
3．(2019河北考试说明)煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有1 000吨煤炭要全部运往A，B两厂，通过了解获得A，B两厂的有关信息如下表(表中运费栏“元/(吨千米)”表示：每吨煤炭运送1千米所需的费用)：
(1)写出总运费y(单位：元)与运往A厂的煤炭量x(单位：吨)之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费(可用含a的代数式表示)．
4．(2019保定模拟)甲、乙两列火车分别从A，B两城同时相向匀速驶出，甲车开往终点B城，乙车开往终点A城，乙车比甲车早到达终点，如图是两车相距的路程d(千米)与行驶时间t(小时)的函数的图像．
(1)经过2小时两车相遇； (2)A ，B 两城相距600千米路程； (3)分别求出甲、乙两车的速度；
(4)分别求出甲车距A 城s 甲，乙车距A 城的路程s 乙与t 的函数关系式(不必写出t 的范围)； (5)当两车相距200千米路程时，求t 的值．
5．(2019保定模拟)有甲、乙两个探测气球同时出发且匀速上升，甲气球从海拔5 m 处出发，上升速度为1 m/min ，乙气球从海拔15 m 处出发，上升速度为0.5 m/min.设气球上升时间为x min ，气球的海拔高度为y m.
(1)分别写出甲气球的海拔高度y 甲、乙气球的海拔高度y 乙与x 的函数关系式(不必写出x 的取值范围)； (2)气球上升多少分钟时，两个气球位于同一高度？
(3)气球上升多少分钟时，两个气球所在位置的海拔高度相差5 m?
(4)若甲气球由于燃料消耗过快，上升40 min 后，减速为0.3 m/min 继续匀速上升，乙气球速度保持不变，设两个气球的海拔高度差为h ，请确定当40≤x≤80时，h 最多为多少米？
答案
1、解：(1)P 2(3，3)．
(2)设直线l 所表示的一次函数的表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)，∵点P 1(2，1)，P 2(3，3)在直线l 上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝1，3k ＋b ＝3.解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－3. ∴直线l 所表示的一次函数的表达式为y ＝2x －3.
(3)点P 3在直线l 上．由题意知点P 3的坐标为(6，9)，∵2×6－3＝9，∴点P 3在直线l 上
2、解：当0≤x≤3时，设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，把(0，
900)，(3，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝900，3k ＋b ＝0.
解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－300，
b ＝900.
∴y ＝－300x ＋900.
高速列车的速度为900÷3＝300(千米/小时)， 150÷300＝0.5(小时)，3＋0.5＝3.5(小时)．
∴当3＜x≤3.5时，设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为y ＝k 1x ＋b 1，
把(3，0)，(3.5，150)代入得⎩⎪⎨⎪⎧3k 1＋b 1＝0，
3.5k 1＋b 1＝150.
解得⎩
⎪⎨⎪⎧k 1＝300，
b 1＝－900.
∴y ＝300x －900.
∴y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧－300x ＋900（0≤x≤3），300x －900（3＜x≤3.5）.
3、解：(1)总运费y 元与运往A 厂的煤炭量x 吨之间的函数关系式为y ＝(90－150a)x ＋150 000a ，其中200≤x≤600.
(2)当0＜a ＜0.6时，90－150a ＞0，y 随x 的增大而增大． ∴当x ＝200时，
y 最小＝(90－150a)×200＋150 000a ＝120 000a ＋18 000. 此时，1 000－x ＝1 000－200＝800. 当a ＝0.6时，y ＝90 000， 此时，不论如何，总运费是一样的．
当a ＞0.6时，90－150a ＜0，y 随x 的增大而减少． 又∵运往A 厂总吨数不超过600吨， ∴当x ＝600时，
y 最小＝(90－150a)×600＋150 000a ＝60 000a ＋54 000. 此时，1 000－x ＝1 000－600＝400.
答：当0＜a ＜0.6时，运往A 厂200吨，B 厂800吨时，总运费最低，最低运费(120 000a ＋18 000)元；当a ＞0.6时，运往A 厂600吨，B 厂400吨时，总运费最低，最低运费(60 000a ＋54 000)元；当a ＝0.6时，不论如何，总运费是一样的．
4、解：(3)设甲车的速度为v 甲，乙车的速度为v 乙． 此题意，得v 甲＝600
5＝120(千米/时)．
∴v 乙＝
600
2
－v 甲＝180(千米/时)． (4)s 甲＝120t ，s 乙＝600－180t.
(5)①当两车相遇前，两车相距200千米时，则有300t ＝600－200，解得t ＝4
3
，
②当两车相遇后，两车相距200千米/时，则有300t ＝600＋200，解得t ＝8
3.
∴当两车相距200千米路程时，t 的值为43或8
3.
5、解：(1)y 甲＝x ＋5，y 乙＝0.5x ＋15. (2)当y 甲＝y 乙时，x ＋5＝0.5x ＋15.解得x ＝20. ∴气球上升20 min 时，两个气球位于同一高度．
(3)当乙气球在上方时，y 乙－y 甲＝5，即0.5x ＋15－(x ＋5)＝5.解得x ＝10. 当甲气球在上方时，y 甲－y 乙＝5，即x ＋5－(0.5x ＋15)＝5.解得x ＝30. ∴气球上升10 min 或30 min 时，两个气球所在位置的海拔高度相差5 m. (4)设减速后甲气球的高度为y 甲减． 当x ＝40时，y 甲＝x ＋5＝45，
∴y 甲减＝0.3(x －40)＋45＝0.3x ＋33(x≥40)．
由0.3x ＋33＝0.5x ＋15，解得x ＝90，故出发90 min 两气球再次位于同一高度． ∴40≤x ≤80时，甲气球一直在乙气球的上方．
∴h ＝y 甲减－y 乙＝(0.3x ＋33)－(0.5x ＋15)＝－0.2x ＋18. ∵－0.2＜0，∴函数值h 随x 的增大而减少． 当x ＝40时，h ＝－0.2x ＋18＝－0.2×40＋18＝10. ∴当40≤x≤80时，两气球的海拔高度差h 最多为10 m. 类型2一次函数应用综合
例1．(石家庄模拟)将如图所示的长方体石块(a ＞b ＞c)放入一圆柱形水槽内，并向水槽内匀速注水，速度为v cm 3
/s ，直至注满水槽为止．石块可以用三种不同的方式完全放入水槽内，如图1至图3所示，在这三种情况下，水桶内的水深h cm 与注水时间t s 的函数关系如图4至图6所示，根据图像完成下列问题：
(1)请分别将三种放置方式的示意图和与之相对应的函数关系图像用线连接起来； (2)求图5中直线CD 的函数关系式； (3)求圆柱形水槽的底面积S.
解：(1)图1与图4相对应，图2与图6相对应，图3与图5相对应，连线略． (2)由题意可知C 点的坐标为(45，9)，D 点的坐标为(53，10)， 设直线CD 的函数关系式为h ＝kt ＋b ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧9＝45k ＋b ，10＝53k ＋b.
解得⎩⎪⎨⎪
⎧k ＝18
，
b ＝278.
∴直线CD 的函数关系式为h ＝18t ＋27
8
.
(3)由图4、5和6可知水槽的高为10 cm ；由图2和图6可知石块的长a ＝10 cm ；由图3和图5可知石块的宽b ＝9 cm ；由图1和图4可知石块的高c ＝6 cm.
∴石块的体积为abc ＝540 cm 3
，根据图4和图6可得⎩⎪⎨⎪⎧53v ＝10S －540，21v ＝6S －540，解得⎩
⎪⎨⎪⎧v ＝20，
S ＝160.
∴S ＝160 cm 2
. 针对性训练
1．(张家口模拟)王老师想骑摩托车送甲、乙两位同学去会场参加演出，由于摩托车后座只能坐一人，为了节约时间，王老师骑摩托车先带乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是 5 km/h ，摩托车的速度是45 km/h. 预设方案
(1)方案1：王老师将乙送到会场后，回去接甲，再将甲送到会场，图1中折线AB －BC －CD 和折线AC －CD 分别表示王老师、甲在上述过程中，离会场的距离y(km)与王老师所用时间x(h)之间的函数关系． ①学校与会场的距离为15km ；
②求出点C 的坐标，并说明它的实际意义；
(2)方案2：王老师骑摩托车行驶a(h)后，将乙放下，让乙步行去会场，同时王老师回去接甲并将甲送到会场，图2中折线AB －BC －CD 、折线AC －CD 和折线AB －BE 分别表示王老师、甲、乙在上述过程中，离会场的距离y(km)与王老师所用时间x(h)之间的函数关系．求a 的值；
(3)你能否设计一个方案，使甲、乙两位同学在最短时间内都赶到会场，请你直接写出这个最短时间，并在图3中画出这个设计方案的大致图像．(不需要写出具体的方案设计)
图3
2.（2019黑龙江齐齐哈尔12分）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A （﹣
，0）的两条直线分别
交y 轴于B 、C 两点，且B 、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根
（1）求线段BC 的长度；
（2）试问：直线AC 与直线AB 是否垂直？请说明理由； （3）若点D 在直线AC 上，且DB=DC ，求点D 的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线BD 上是否存在点P ，使以A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1、解：(1)方法一：设王老师把乙送到会场后，再经过m h 与甲相遇． (45＋5)m ＝15－5×1
3.
解得m ＝4
15
.
13＋415＝35(h)，15－5×35＝12(km)，即C(3
5
，12)． 点C 的实际意义为王老师在出发3
5h 后，在距离会场12 km 处接甲．
方法二：BC 对应的函数关系式为y ＝45x －15. AC 对应的函数关系式为y ＝－5x ＋15. BC 与AC 的交点C 的坐标为(3
5
，12)．
点C 的实际意义为王老师在出发3
5
h 后，在距离会场12 km 处接到甲．
(2)方法一：设王老师把乙放下后，再经过n h 与甲相遇．(45＋5)n ＝45a －5a.解得n ＝4
5a.由于王老师骑
摩托车一共行驶56 h ，可得方程15－5(a ＋45a)＝45×[56－(a ＋45a)]．解得a ＝5
16
.
方法二：根据题意，得B(a ，15－45a)，C(9
5a ，15－9a)．∴CD 对应的函数关系式为y ＝－45x ＋72a ＋15.
将(56，0)代入，解得a ＝516.
(3)7
9 h ．图像如图3所示．
2、【解答】（1）∵x 2﹣2x ﹣3=0， ∴x=3或x=﹣1，
∴B （0，3），C （0，﹣1），
∴BC=4，
（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），
∴OA=，OB=3，OC=1，
∴OA2=OBOC，
∵∠AOC=∠BOA=90°，
∴△AOC∽△BOA，
∴∠CAO=∠ABO，
∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，
∵DB=DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∴D的纵坐标为1，
∴把y=1代入y=﹣x﹣1，
∴x=﹣2，
∴D的坐标为（﹣2，1），
（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，
∴，
解得，
∴直线BD的解析式为：y=x+3，
令y=0代入y=x+3，
∴x=﹣3，
∴E（﹣3，0），
∴OE=3，
∴tan∠BEC==，
∴∠BEO=30°，
同理可求得：∠ABO=30°，
∴∠ABE=30°，
当PA=AB时，如图1，
此时，∠BEA=∠ABE=30°，
∴EA=AB，
∴P与E重合，
∴P的坐标为（﹣3，0），
当PA=PB时，如图2，
此时，∠PAB=∠PBA=30°，
∵∠ABE=∠ABO=30°，
∴∠PAB=∠ABO，
∴PA∥BC，
∴∠PAO=90°，
∴点P的横坐标为﹣，
令x=﹣代入y=x+3，
∴y=2，
∴P（﹣，2），
当PB=AB时，如图3，
∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1F⊥x轴于点F，
∴P1B=AB=2，
∴EP1=6﹣2，
∴sin∠BEO=，
∴FP1=3﹣，
令y=3﹣代入y=x+3，
∴x=﹣3，
∴P1（﹣3，3﹣），
若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，
过点P2作P2G⊥x轴于点G，
∴P2B=AB=2，
∴EP2=6+2，
∴sin∠BEO=，
∴GP2=3+，
令y=3+代入y=x+3，
∴x=3，
∴P2（3，3+），
综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），
（﹣3，3﹣），（3，3+）．
类型3、反比例函数
例1．（2019山东省菏泽市3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比
例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD
【考点】反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形．
【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．
【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．
∵点B在反比例函数y=的第一象限图象上，
∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=6．
∴S△OAC﹣S△BAD=a2﹣b2=（a2﹣b2）=×6=3．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a2﹣b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．
故选D．
例2.（2019福建龙岩4分）反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，则x1与x2的大小关系。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接利用反比例函数的增减性进而分析得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，
∴每个分支上y随x的增大而增大，
∵﹣2＞﹣3，
∴x1＞x2，
故选：A．
例3．（2019贵州毕节3分）如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和
垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，可计算出答案．
【解答】解：△ABO的面积为：×|﹣4|=2，
故选D．
针对性训练
1.（2019四川内江）如图10，点A在双曲线y＝5
x
上，点B在双曲线y＝
8
x
上，且AB∥x轴，则△OAB
的面积等于______．
2．（2019山东省滨州市4分）如图，已知点A、C在反比例函数y=的图象上，点B，D在反比例函数y=
的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=，CD=，AB与CD间的距离为6，则a ﹣b的值是
3 （2019云南省昆明市3分）如图，反比例函数y=（k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为．
答案 1、[答案]
32
2【解答】解：设点A 、B 的纵坐标为y 1，点C 、D 的纵坐标为y 2，
则点A （
，y 1），点B （
，y 1），点C （
，y 2），点D （
，y 2）．
∵AB=，CD=，
∴2×||=||，
∴|y 1|=2|y 2|． ∵|y 1|+|y 2|=6， ∴y 1=4，y 2=﹣2．
连接OA 、OB ，延长AB 交y 轴于点E ，如图所示．
S △OAB =S △OAE ﹣S △OBE =（a ﹣b ）=ABOE=××4=， ∴a ﹣b=2S △OAB =3． 故答案为：3．
3【解答】解：设点B 坐标为（a ，b ），则DO=﹣a ，BD=b ∵AC ⊥x 轴，B D ⊥x 轴 ∴BD ∥AC ∵OC=CD
∴CE=BD=b ，CD=DO=
a
∵四边形BDCE 的面积为2
∴（BD+CE ）×CD=2，即（b+b ）×（﹣a ）=2
∴ab=﹣
将B （a ，b ）代入反比例函数y=（k≠0），得
k=ab=﹣
故答案为：﹣
类型4一次函数与反比例函数综合
例1．(2019河北考试说明)如图，在直角坐标系中，Rt △ABC 位于第一象限，两条直角边BC ，BA 分别平行于x 轴、y 轴，点A 的坐标为(1，1)，AB ＝2，BC ＝4. (1)求点C 的坐标和AC 边所在直线的解析式；
(2)若反比例函数y ＝m
x
(x ＞0)的图像经过点B ，求m 的值；
(3)若反比例函数y ＝m
x
(x ＞0)的图像与AC 边有公共点，请直接写出m 的取值范围．
解：(1)∵点A 的坐标为(1，1)，AB ＝2，BA 平行于y 轴，∴点B 的坐标为(1，3)． 又∵BC＝4，BC 平行于x 轴，∴点C 的坐标为(5，3)． 设AC 边所在直线的解析式为y ＝kx ＋b ， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧1＝k ＋b ，
3＝5k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝12.
∴AC 边所在直线的解析式为y ＝12x ＋1
2
.
(2)∵点B(1，3)在反比例函数y ＝m
x 的图像上，∴m ＝3.
(3)1≤m≤15.
例2．(18分)(2019唐山路南区二模)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图像与反比例函数y ＝m
x 的图像相交于点
A(－2，1)，B(1，n)．
(1)求此一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出满足不等式kx ＋b －m
x
＜0的解集；
(3)在平面直角坐标系的第二象限内，边长为1的正方形EFDG 的边均平行于坐标轴，若E(－a ，a)，如图，当曲线y ＝m
x
(x ＜0)与此正方形的边有交点时，求a 的取值范围．
解：(1)把A(－2，1)代入y ＝m x ，得m ＝－2, ∴反比例函数的解析式为y ＝－2
x .
把B(1，n)代入y ＝－2
x
，得n ＝－2， ∴B(1，－2)．
将A(－2，1)，B(1，－2)分别代入y ＝kx ＋b ，得
⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝1，k ＋b ＝－2. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－1，
b ＝－1. ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1. (2)－2＜x ＜0或x ＞1.
(3)∵正方形EFDG 在第二象限，边均平行于坐标轴，且边长为1，E(－a ，a)， ∴D(－a ＋1，a －1)． ∴a ＞0，a －1＞0.∴a＞1.
∴把E(－a ，a)和D(－a ＋1，a －1)分别代入y ＝－2
x .
∴a ＝
－2－a
，a 2
＝2. ∵a ＞1，∴a ＝ 2. ∴a －1＝
－2－a ＋1
，(a －1)2
＝2，a ＝±2＋1. ∵a ＞1，∴a ＝2＋1， ∴2≤a≤2＋1.
例3．(2019石家庄二模)如图，已知A(－4，12)，B(－1，2)是一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝m
x (m
＜0)图像的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D.
(1)根据图像直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ (2)求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式及m 的值；
(3)P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点P 坐标．
解：(1)由图像得当－4＜x ＜－1时，一次函数的值大于反比例函数的值． (2)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b ，将A(－4，1
2)，B(－1，2)代入，则
⎩⎪⎨⎪
⎧－k ＋b ＝2，
－4k ＋b ＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝52.
∴一次函数的解析式为y ＝12x ＋5
2.
∵反比例函数y ＝m
x 的图像过点(－1，2)，
∴m ＝－1×2＝－2. (3)设P(x ，12x ＋5
2
)．
由△PCA 和△PDB 面积相等，得12×12×(x＋4)＝12×|－1|×(2－12x －52)，解得x ＝－5
2.
则12x ＋52＝5
4
， ∴P 点坐标是(－52，5
4)．
针对性训练
1. （2019湖北武汉8分）已知反比例函数x
y 4=
． (1) 若该反比例函数的图象与直线y ＝kx ＋4（k≠0）只有一个公共点，求k 的值； (2) 如图，反比例函数x
y 4
=
（1≤x≤4）的图象记为曲线C 1，将C 1向左平移2个单位长度，得曲线C 2，请在图中画出C 2，并直接写出C 1平移至C 2处所扫过的面积．
2．（2019四川攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边AB 垂直与x 轴，垂足为
点B ，反比例函数y=（x ＞0）的图象经过AO 的中点C ，且与AB 相交于点D ，OB=4，AD=3，
（1）求反比例函数y=的解析式； （2）求cos ∠OAB 的值；
（3）求经过C 、D 两点的一次函数解析式．
3（2019湖北黄石12分）如图1所示，已知：点A （﹣2，﹣1）在双曲线C ：y=上，直线l 1：y=﹣x+2，直线l 2与l 1关于原点成中心对称，F 1（2，2），F 2（﹣2，﹣2）两点间的连线与曲线C 在第一象限内的交点为B ，P 是曲线C 上第一象限内异于B 的一动点，过P 作x 轴平行线分别交l 1，l 2于M ，N 两点． （1）求双曲线C 及直线l 2的解析式； （2）求证：PF 2﹣PF 1=MN=4；
（3）如图2所示，△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2，PF 1，PF 2三边分别相切于点Q ，R ，S ，求证：点Q 与点B 重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A 、B 两点间的距离公式为
AB=
．）
【答案】
1、(1) k＝-1；(2)面积为6
2、【解答】解：（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），∵点C为线段AO的中点，
∴点C的坐标为（2，）．
∵点C、点D均在反比例函数y=的函数图象上，
∴，解得：．
∴反比例函数的解析式为y=．
（2）∵m=1，
∴点A的坐标为（4，4），
∴OB=4，AB=4．
在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，
∴OA==4，cos∠OAB===．
（3））∵m=1，
∴点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1）．
设经过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，
则有，解得：．
∴经过C、D两点的一次函数解析式为y=﹣x+3．
3、解：（1）解：把A（﹣2，﹣1）代入y=中得：
a=（﹣2）×（﹣1）=2，
∴双曲线C：y=，
∵直线l1与x轴、y轴的交点分别是（2，0）、（0，2），它们关于原点的对称点分别是（﹣2，0）、（0，﹣2），
∴l2：y=﹣x﹣2
（2）设P（x，），
由F1（2，2）得：PF12=（x﹣2）2+（﹣2）2=x2﹣4x+﹣+8，
∴PF12=（x+﹣2）2，
∵x+﹣2==＞0，
∴PF1=x+﹣2，
∵PM∥x轴
∴PM=PE+ME=PE+EF=x+﹣2，
∴PM=PF1，
同理，PF22=（x+2）2+（+2）2=（x++2）2，
∴PF2=x++2， PN=x++2
因此PF2=PN，
∴PF2﹣PF1=PN﹣PM=MN=4，
（3）△PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，
∴⇒PF2﹣PF1=QF2﹣QF1=4
又∵QF2+QF1=F1F2=4，QF1=2﹣2，
∴QO=2，
∵B（，），
∴OB=2=OQ，
所以，点Q与点B重合．
类型5 二次函数的图像与性质
例1．(2019唐山开平区一模改编)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2
－2mx －2(m≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B. (1)求点A ，B 的坐标；
(2)如果抛物线与x 轴只有唯一的公共点，请确定m 的取值或取值范围． 解：(1)当x ＝0时，y ＝－2.∴A(0，－2)． ∵对称轴为直线x ＝－－2m
2m ＝1，∴B(1，0)．
(2)抛物线与x 轴只有一个公共点，
∴b 2
－4ac ＝(－2m)2
－4m(－2)＝4m 2
＋8m ＝0.解得m 1＝0，m 2＝－2. 又∵m≠0，∴m ＝－2.
例2．(2019沧州模拟)如图，二次函数y ＝－14x 2
＋bx ＋c 的图像经过点A(4，0)，B(－4，－4)，且与y 轴
交于点C.
(1)试求此二次函数的解析式；
(2)试证明：∠BAO＝∠CAO(其中O 是原点)；
(3)若P 是线段AB 上的一个动点(不与A ，B 重合)，过P 作y 轴的平行线，分别交此二次函数图像及x 轴于Q ，H 两点，试问：是否存在这样的点P ，使PH ＝2QH ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵点A(4，0)与B(－4，－4)在二次函数图像上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4＋4b ＋c ，－4＝－4－4b ＋c.
解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12，
c ＝2.
∴二次函数解析式为y ＝－14x 2＋1
2
x ＋2.
(2)证明：过点B 作BD⊥x 轴于点D ，由(1)，得C(0，2)， 则在Rt △AOC 中，tan ∠CAO ＝CO AO ＝24＝1
2
； 在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝
BD AD ＝48＝12
. ∵tan ∠CAO ＝tan ∠BAD ，∴∠CAO ＝∠BAO.
(3)由点A(4，0)与B(－4，－4)，可得直线AB 的解析式为y ＝1
2x －2.
设P(x ，12x －2)(－4＜x ＜4)，则Q(x ，－14x 2＋1
2x ＋2)．
∴PH ＝|12x －2|＝2－12x ，QH ＝|－14x 2＋1
2x ＋2|.
∴2－12x ＝2|－14x 2＋1
2x ＋2|.
当2－12x ＝－12
x 2
＋x ＋4时，
解得x 1＝－1，x 2＝4(舍去)．∴P(－1，－5
2)；
当2－12x ＝12
x 2
－x －4时，
解得x 1＝－3，x 2＝4(舍去)．∴P(－3，－7
2
)．
综上所述，存在满足条件的点P ，它的坐标是(－1，－52)或(－3，－7
2)．
针对性训练
1．(滨州)已知二次函数y ＝x 2
－4x ＋3.
(1)用配方法求其函数的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况； (2)求函数图像与x 轴的交点A ，B 的坐标及△ABC 的面积．
2．(16分)(2019唐山路北区二模)已知二次函数y ＝kx 2
－4kx ＋3k(k≠0)． (1)当k ＝1时，求该抛物线与坐标轴的交点的坐标； (2)当0≤x≤3时，求y 的最大值；
(3)若直线y ＝2k 与二次函数的图像交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否是定值？如果是，求出其长度；如果不是，请说明理由． 答案
解：(1)y ＝x 2
－4x ＋3＝x 2
－4x ＋4－1＝(x －2)2
－1. ∴其函数的顶点C 的坐标为(2，－1)．
∵开口向上，∴当x≤2时，y 随x 的增大而减小；
当x>2时，y 随x 的增大而增大．
(2)令y ＝0，则x 2
－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3. ∴当点A 在点B 左侧时，A(1，0)，B(3，0)； 当点A 在点B 右侧时，A(3，0)，B(1，0)． ∴AB ＝|1－3|＝2.
过点C 作CD⊥x 轴于点D ，则
2、解：(1)当k ＝1时，该抛物线为y ＝x 2
－4x ＋3， x 2
－4x ＋3＝0， 解得x 1＝1，x 2＝3.
∴抛物线与x 轴的交点的坐标为(1，0)，(3，0)． 当x ＝0时，y ＝3，
∴抛物线与y 轴的交点的坐标为(0，3)． (2)对称轴为直线x ＝－－4k
2k ＝2，
当k ＞0时，x ＝0时，y 有最大值3k ，
当k ＜0时，y 的最大值即顶点的纵坐标，为－k.
(3)⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx 2
－4kx ＋3k ，y ＝2k ，
解得⎩⎨⎧x 1＝2＋3，y 1＝2k ，⎩⎨
⎧x 2＝2－3，y 2＝2k.
∴EF ＝23，即EF 为定值． ＝1. S △ABC ＝1
2
ABCD
类型6、二次函数的应用
例1．(2019邯郸模拟)某商场秋季计划购进一批进价为每条40元的围巾进行销售．
探究：根据销售经验，应季销售时，若每条围巾的售价为60元，则每月可售出400条；若每条围巾的售价每提高1元，月销售量相应减少10条．
(1)假设每条围巾的售价提高x 元，那么销售每条围巾所获得的利润是(20＋x)元，每月的销售量是(400－10x)条(用含x 的代数式表示)；
(2)设应季销售月利润为y 元，请写y 与x 的函数关系式；并求出应季销售月利润为8 000元时，每条围巾的售价．
拓展：根据销售经验，过季处理时，若定价30元亏本销售，则可售出50条，售价每降低1元，销售量相应增加5条．
(3)若剩余100条围巾需要处理，经过降价处理后还是无法销售的只能积压在仓库，损失本金；若使亏损
金额最小，售价应是20元；
(4)若过季需要处理的围巾共m 条，且100≤m≤300，过季亏损金额最小是(40m －2_000)元．(用含m 的代数式表示)
解：依题意得y ＝(20＋x)(400－10x)＝－10x 2
＋200x ＋8 000. 若y ＝8 000时，即－10x 2
＋200x ＋8 000＝8 000， 解得x 1＝0，x 2＝20.
∴60＋x ＝60或80.即应季销售月利润为8 000元时．每条围巾的售价为60元或80元．
例2．(2019河北考试说明)如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从点O 正上方2米的点A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足关系式y ＝a(x －6)2
＋h.已知球网与点O 的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O 的水平距离为18米． (1)当h ＝2.6时，求y 与x 的函数关系式；
(2)当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．
解：(1)当h ＝2.6时，抛物线为y ＝a(x －6)2
＋2.6. ∵抛物线过点(0，2)，
∴2＝a(0－6)2
＋2.6，解得a ＝－
160
. ∴y 与x 的关系式为y ＝－160(x －6)2
＋2.6.
(2)当h ＝2.6时，抛物线为y ＝－160(x －6)2＋2.6，当x ＝9时，y ＝－160
(x －6)2
＋2.6＝2.45＞2.43， ∴球能越过球网．
当x ＝18时，y ＝－160(x －6)2
＋2.6＝0.2＞0，
∴球会出界．
(或当y ＝0时，－160(x －6)2
＋2.6＝0，解得x 1＝6＋239，x 2＝6－239(舍去)．因为6＋239＞18，故
球会出界．)
(3)把(0，2)代入y ＝a(x －6)2
＋h ，得a ＝2－h
36
. ∵球一定能越过球网，又不出边界，
∴当x ＝9时，y ＝2－h 36(9－6) 2
＋h ＞2.43.解得h ＞7.723＝19375；
当x ＝18时，y ＝
2－h 36(18－6) 2
＋h≤0.解得h≥83
.
∴球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是h≥8
3
.
针对性训练
1．(2019邢台一模)已知抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P(m，n)为第一象限内抛物线上的一点，点D的坐标为(0，6)．
(1)OB＝4，抛物线的顶点坐标为( )；
(2)当n＝4时，求点P关于直线BC的对称点P′的坐标；
(3)是否存在直线PD，使直线PD所对应的一次函数随x的增大而增大，若存在，求出m的取值范围；若
不存在，请说明理由．
2．(2019唐山二模)某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x(米)，与桌面的高度为y(米)，运行时间为t(秒)，经多次测试后，得到如下部分数据：
(1)当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
(2)乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
(3)乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y＝a(x－3)2＋k.
①用含a的代数式表示k；
②球网高度为0.14米，球桌长(1.4×2)米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．
答案
1、解：(2)连接CP ，n ＝4时，有－m 2
＋3m ＋4＝4， 解得m 1＝3，m 2＝0(舍去)， ∴P 点的坐标为(3，4)． ∵OC ＝4，∴CP ∥x 轴，CP ＝3. ∵点C 的坐标为(0，4)，
∴OB ＝OC ＝4.∴∠OCB＝45°＝∠BCP. ∴点P′在y 轴上，且CP′＝CP ＝3. ∴P ′的坐标为(0，1)． (3)存在．
∵点D 的坐标为(0，6)，
∴当y ＝6时，－x 2
＋3x ＋4＝6，解得x 1＝1，x 2＝2.
∵直线PD 所对应的一次函数随x 的增大而增大，∴一次函数的图像一定经过第一、三象限．
2、解：以点A 为原点，桌面中线为x 轴，乒乓球水平运动方向为正方向建立直角坐标系． (1)由表格中数据可知，当t ＝0.4秒时，乒乓球达到最大高度． (2)由表格中数据可判断，y 是x 的二次函数，且顶点为(1，0.45)， ∴设y ＝a(x －1)2＋0.45.
将(0，0.25)代入，得0.25＝a(0－1)2
＋0.45. ∴a ＝－0.2.∴y＝－0.2(x －1)2
＋0.45. 当y ＝0时，－0.2(x －1)2
＋0.45＝0， 解得x ＝2.5或x ＝－0.5(舍去)．
∴乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是2.5米． (3)①由(2)得，乒乓球落在桌面时的坐标为(2.5，0)．
将(2.5，0)代入y ＝a(x －3)2＋k ，得0＝a(2.5－3)2
＋k ，化简整理，得k ＝－14a.
②由题意可知，扣杀路线在直线y ＝1
10x 上，
由①，得y ＝a(x －3)2
－14
a ，
令a(x －3)2－14a ＝110
x ，整理，得20ax 2
－(120a ＋2)x ＋175a ＝0.
当Δ＝(120a ＋2)2
－4×20a×175a＝0时，符合题意，解方程，得a 1＝－6＋3510，a 2＝－6－3510.
当a ＝
－6＋3510时，求得x ＝－352，不合题意，舍去；当a ＝－6－3510时，求得x ＝35
2，符合题意． ∴当a ＝
－6－35
10
时，可以将球沿直线扣杀到点A. 类型7：二次函数综合题
例1河北中考 24．（11分）（河北）如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，G、H，O九个格点．抛物线l的解析式为y=（﹣1）n x2+bx+c（n为整数）．
（1）n为奇数，且l经过点H（0，1）和C（2，1），求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；
（2）n为偶数，且l经过点A（1，0）和B（2，0），通过计算说明点F（0，2）和H（0，1）是否在该抛物线上；
（3）若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．
考点：二次函数综合题
专题：压轴题．
分析：（1）根据﹣1的奇数次方等于﹣1，再把点H、C的坐标代入抛物线解析式计算即可求出b、c的值，然后把函数解析式整理成顶点式形式，写出顶点坐标即可；
（2）根据﹣1的偶数次方等于1，再把点A、B的坐标代入抛物线解析式计算即可求出b、c的值，从而得到函数解析式，再根据抛物线上点的坐标特征进行判断；
（3）分别利用（1）（2）中的结论，将抛物线平移，可以确定抛物线的条数．
解答：解：（1）n为奇数时，y=﹣x2+bx+c，
∵l经过点H（0，1）和C（2，1），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+1，
y=﹣（x﹣1）2+2，
∴顶点为格点E（1，2）；
（2）n为偶数时，y=x2+bx+c，
∵l经过点A（1，0）和B（2，0），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+2，。