【试题】河南省普通高中2020届高三4月教学质量监测文数试题版含答案

【关键字】试题
河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测
文科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（）
A．B．C．D．
2.已知复数的共轭复数为，若（为虚数单位），则在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.已知命题，则命题的否定为（）
A．，B．，
C．，D．，
4.已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（）
A．B． C. D．
5.已知向量，若，则与的夹角为（）
A．B． C. D．
6.已知双曲线的左焦点为，第二象限的点在双曲线的渐近线上，且，若直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B． C. D．
7.已知，则=（）
A．B． C. D．
8.如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B． C. D．
9.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的值为35，则输入的值为（）
A．B． C. D．
10.某颜料公司生产两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料
2吨，生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨，160吨和200吨，如果产品的利润为300元/吨，产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得最大利润为（）
A．14000元B．16000元 C.18000元D．20000元
11.已知函数，或对任意的，且时，则实数的取值范围是（）
A．B． C. D．
12.已知正项数列的前项和为，且，，现有下列说法：①；
②当为奇数时，；③.则上述说法正确的个数为（）
A．B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数的部分图象如图所示，其中（点为图象的一个最高点），则函数=___________.
14.折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也是正方形，连接,，则向多边形中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为．
15.若圆过点，且圆心到直线的距离为，则圆的标准方程为．
16.已知关于的方程在上有两个不相符的实数根，则实数的取值范围为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.）
17. 在中，，，，.
（1）求的面积；
（2）若，求的长度以及的正弦值.
18. 如图（1）所示，已知四边形是由直角△和直角梯形拼接而成的，其中
.且点为线段的中点，，现将△沿进行翻折，使得二面角
的大小为，得到图形如图（2）所示，连接，点分别在线段上.
（1）证明：；
（2）若三棱锥的体积为四棱锥体积的，求点到平面的距离.
19.国内，某知名连接店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖的有效展开，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计，表示开业第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
经过进一步的统计分析，发现与具有线性相关关系.
（1）如从这7天中随便机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过10天的概率； （2）根据上表给出的数据，用最小二乘法，求出与的线性回归方程，并估计若该活动持续10天，共有多少名顾客参加抽奖. 参考公式：，，，.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的点，离心率为. （1）求椭圆的方程；
（2）点()()000,0A x y y ≠在椭圆上C 上，若点N 与点A 关于原点的对称，连接2AF ，并延长与椭圆C 的另一个交点为M ，连接MN ，求AMN ∆面积的最大值. 21. 已知函数()ln 1x f x x x e =-+，
（1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）证明：()sin f x x <在()0,+∞上恒成立.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题记分.作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑.
22. 已知直线l 的参数方程为12
x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 3cos 0p θθ-=. （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的极坐标方程； （2）求直线l 与曲线C 交点的极坐标()0,02p θπ≥≤<. 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()31f x x x =++-的最小值为m ，且()f a m = （1）求m 的值以及实数a 的取值集合；
（2）若实数,,p q r 满足2222p q r m ++=，证明()2q p r +≤.
试卷答案
一、选择题
1.C 【解析】依题意，{}
{}2|680|24A x x x x x =-+≤=≤≤，阴影部分表示集合A
B ，故
{}2,3,4A
B =.
2.D 【解析】依题意，()()()()3412112
2121255
i i z z i i i -++=
=+-+，设(),z a bi a b R =+∈，故
112355a bi i -=
+，故115a =，25b =-故在复平面内，复数z 所对应的点为112,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，位于第四象限.
3.C 【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为()0:1,p x ⌝∃∈+∞，2
0168x x +≤. 4.A 【解析】依题意，23210log log 1a a +=故()2310log 1a a =，故3102a a =，故()2
231016a a q =，解得24q =，注意到该数列中3a 、10a 均为正数，故2q =. 5.D 【解析】依题意，0m n •=，即120λ-+=解得1
2
λ=
，故()()()21,22,11,3m n +=-+=，则2m n +与m
的夹角的余弦值cos θ=
，故4
πθ=. 6.A 【解析】设(),0F c -
，依题意，联立,,a b y x a ==-⎪⎩解得2
,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故20ab b c a a c c
-=-+，解得a b =，故所求渐近线方程为y x =±.
7.B 【解析】2333cos sin sin sin 3646464a a a a ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=--=⇒-=-⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，故
cos 213a π⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
22sin 6a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭18-，故313sin cos 2634832a a ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
8.B 【解析】由三视图可知，该几何体是由一个圆锥和一个长方体构成的组合体，故其体积1884423233
V π
π=⨯+⨯⨯=+.
9.A 【解析】起始阶段有23m a =-，1i =，第一次循环后，()23349m a a =--=-，2i =；第二次循环后，()2493821m a a =--=-，3i =；第三次循环后，
()282131645m a a =--=-，4i =；接着计算()2164533293m a a =--=-，跳出循环，输出3293m a =-.令329335a -=，得4a =.
10.A 【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：
设该公司一天内安排生产A 产品x 吨，B 产品y 吨，所获利润为z 元.依据题意得目标函数为300200z x y =+，约束条件为50,4160,25200,x 0,y 0,
x y x x y +≤⎧⎪≤⎪
⎨+≤⎪⎪≥≥⎩欲求目标函数()
30020010032z x y x y =+=+的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点()40,0A ，()40,10B ，50100,33C ⎛⎫
⎪⎝⎭
，()0,40D ， 作直线320x y +=，当移动该直线过点()40,10B 时，32x y +取
得最大值，则300200z x y =+也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故max 300402001014000z =⨯+⨯=，所以工厂每天生产A 产品40吨，B 产品10吨时，才可获得最大利润，为14000元.
11.B 【解析】因为()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦，故函数()y f x =在[]1,2上单调递增；易
知，当0a ≥时，()f x 在[]1,2上是增函数，()0f x ≥，解得2
02
e a ≤≤；当0a <时，
()()f x f x =，令2x x e a
e
=-
，解得x =()f x 的单调递
增区间为⎡⎤+∞⎣⎦
，故1，得2
02
e a -≤<，综上所述，实数a 的取值范围为
22,22e e ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
. 12.D 【解析】因为
1161n n n n a S n S S +++=-+，故1161
n n n a S n
a +++=
+，即()()()1116n n n a a S n +++=+；当1a =时，()()()1161n n n a a S ++=+，故5n a =；当2n ≥时，()()
()111161n n n a a S n --++=+-，所以()
()111n n a a +++
()()()()1111661n n n n a a S n S n ---++=+-+-，即()
()()11161n n n n a a a a +-+-=+，又0n a >，所以116n n a a +--=，所以()16166n a m k k m -=+-=+-，所以当m 为奇数时，33n a n m =+-；
()256161n a n n =+-=-，m N •∈所以223232n a a a n n ++⋅⋅⋅+=+；综上所述，①②③都正确.
二、填空题
13. 3sin 36x π
π⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】依题意，35932422M T ==+=，故6T =，故23T ππω==，将
点()2,3A 代入可得
()223
2
kx k Z π
π
ϕ⨯+=
+∈，故()26
kx k Z π
ϕ=-
+∈，因为2
π
ϕ<
，故
()3sin 3
6f x x π
π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.
14.
1
3
【解析】设2AB =，则1BG =
，AG =AEFGHID
的面积1
222122
S +⨯⨯=；阴影部分为两个对称的三角形，其中90EAB GAB ∠=-∠，
故阴影部分的面积
1112sin 2cos 224222S AE AB EAB AE AB GAB =⨯••∠=⨯••∠=⨯⨯=，故所求概
率13
P =.
15. ()2229x y +-=或()()22
8273x y -++=【解析】依题意，设圆C 的方程为
()
()
()2
2
220x a y r r -+-=>
，则229,a r ⎧+==，解得0a =，3r =或8a =
，r 圆C 的方程为()2
229x y +-=或()()2
2
82x y -+- 73=.
16. 9ln 21,10
5⎛⎤
+ ⎥⎝⎦【解析】因为()221ln 2x x x k k +=++，分离参数可得2ln 22x x x k x -+=+，故问题转化为关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根；令函数
()2ln 22x x x h x x -+=+，1,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()()
22
32ln 42x x x h x x +--'=+；令函数()232ln 4p x x x x =+--，1,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()()()212x x p x x -+'=在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪
⎢⎣⎭
上有()0p x '≥，故()p x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，∵()10p =，∴当1,12x ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，有()0p x <，
即()0h x '<，∴()h x 单调递减：当[)1,x ∈+∞时，有()0p x >，即()0h x '>，∴()h x 单调递增；∴12h ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
9ln 2105+
，()11h =，注意到()6624ln 2810h +=，()15726ln 25726
8021010h h +-⎛⎫-=>> ⎪⎝⎭，故实数k 的取值范围为9ln 21,105⎛⎤
+ ⎥⎝⎦
. 三、解答题
17.【解析】（Ⅰ）在ADC ∆中，由余弦定理，得22222371
cos 2232
AC CD AD CD C AC CD CD +-+-===•⨯•，
解得1CD =或2； 故ADC ∆
的面积1sin 2S AC CD C =••
. （Ⅱ）因为3
C π
=
，所以sin C =
，在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sinC
AC AB
B =.
即AB =(
)11sin sin 42BAC B C ∠=+=⨯=
18.【解析】（Ⅰ）证明：因为二面角S AB C --的大小为90，则SA AD ⊥， 又SA AB ⊥，故SA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以SA BD ⊥； 在直角梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，21AD CD ==，2AB =， 所以1
tan tan 2
ABD CAD ∠=∠=
,又90DAC BAC ∠+∠=， 所以90ABD BAC ∠+∠=，即AC BD ⊥；又AC SA A =，故BD ⊥平面SAC ，
因为AF ⊂平面SAC ，故BD AF ⊥.
（Ⅱ）设点E 到平面ABCD 的距离为h ，因为B AEC E ABC V V --=，且
2
5
E ABC S ABCD V V --=，
故
51
121
5321122132
ABCD S ABCD E ABC
ABCD s SA V V s h h --⨯•⨯===•⨯⨯⨯，
故12h =
，做点E 到平面ABCD 的距离为12
. 19.【解析】（Ⅰ）这7天中参加抽奖的人数没有超过10的为第1，2，3，4天，超过10的为第5，6，7天，从这7天中任取两天的情况有()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()1,7，
()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()2,7，()3,4，()3,5，()3,6，()3,7，()4,5，()4,6，()4,7，
()5,6，
()5,7，()6,7，共21种，其中至少有1天参加抽奖人数超过10的有15种，所以5
7
p =. （Ⅱ）依题意：()1
123456747
x =
++++++=. ()158810141517117y =++++++=，72
1140i i x ==∑，7
1
364i i i x y =+=∑，
7
172
21
73647411ˆ2140716
7i i
i i i x y
x y
b
x x
==--⨯⨯==
=-⨯-∑∑，ˆˆ11243a y bx =-=-⨯=，
则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23y
x =+， 预测8x =时ˆ19y
=，9x =时，ˆ21y =，10x =时ˆ23y =， 则此次活动参加抽奖的人数约为58810141517192123140+++++++++=人. 20.【解析】（Ⅰ）依题意，
22
1112a b +=
，c a =222
a b c =+
，解得a 1b c ==， 故椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（Ⅱ）①当直线AM
的斜率不存在时，不妨取A ⎛ ⎝⎭
，1,M ⎛ ⎝⎭
，1,N ⎛- ⎝⎭
，
故1
22
AMN
S
=⨯ ②当直线AM 的斜率存在时，设直线AM 的方程为()1x k x --，0k ≠， 联立方程()22
112
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得()
2222
214220k x k x k +-+-=， 设()11,A x y ，()22,M x y ，则2122421k x x k +=+，212222
21
k x x k -•=+，
点O 到直线AM
的距离d =
=
因为O 是线段AN 的中点，所以点N 到直线AM
的距离为2d =
∴
2211122221AMN
k S
AM d k ⎛⎫+=•=•= ⎪+⎝⎭
，
综上，△AMN 21.【解析】（Ⅰ）依题意，()11x f x nx e '=+=，又()11f e =-，()11f e '=-， 故所求切线方程为()()111y e e x -+=--，即()1y e x =-， （Ⅱ）依题意，要证：()sin f x x <，即证ln 1sin x x x e x -+<， 即证：ln sin 1x x x e x <+-；
当01x <≤时，sin 10x e x +->，ln 0x x ≤，
故ln sin 1x x x e x ≤+-，即()sin f x x <；
当1x >时，令()sin 1ln x g x e x x x =+--，故()cos ln 1x g x e x x '=+--， 令()()cos ln 1x h x g x e x x '==+--，()1
sin x h x e x x
=+-， 当1x >时，111x e e x -
>->，所以()1
sin 0x h x e x x
'=-->，故()h x 在()1,+∞上单调递增， 故()()1cos110h x h e >-+->，即()0g x '>，所以()()sin110g x g x e >=+->， 即ln sin 1x x x e x <+-，即()sin f x x <； 综上所述，()sin f x x <在()0,+∞上恒成立.
22.【解析】（Ⅰ）依题意，22sin 3cos p p θθ-，故23y x =；
因为12
x t
y =+⎧⎪⎨=⎪⎩
20y --=，
cos 2sin 0p θθ--=.
（Ⅱ）联立2
sin 3cos 0
cos 2sin 0
p p θθθθ⎧-=⎪--=，化简得：
2
cos cos
330sin sin θθ
θθ⎛⎫⎫
--= ⎪⎪⎝⎭⎭
，
则cos sin θθ=或cos sin θθ=，即tan θ=，或tan θ=， 又因为0p ≥，02x θ≤<，则6π
θ=
或5
3
θπ=，
则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为⎛
⎝
和52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭.
23.【解析】（Ⅰ）依题意，()31314f x x x x x =++-≥+-+=，故m 的值为4； 当且仅当()()310x x +-≤，即31x -≤≤时等号成立，则a 的取值集合为[]3,1-. （Ⅱ）因为2222p q r m ++=，故()()
22224p q q r +++=； 因为222p q pq +≥，当且仅当p q =时等号成立； 因为222q r pr +≥，当且仅当q r =时等号成立；
故()()
2222422p q q r pq qr +++=≥+，故()2q p r +≤（当且仅当p q r ==时等号成立）.
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