鄂南高中.黄冈中学.黄石二中.华师一附中

鄂南高中．黄冈中学．黄石二中．华师一附中荆州中学．孝感高中．襄樊四中．襄樊五中2005—2006学年度高三第一次联考数学试题（理科）命题：黄冈中学高三数学备课组 执笔：程金辉第I 卷一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2},{|2,}M N x x a a M ===∈，则集合N M =（ ） A ．}0{B ．}1,0{C ．}2,1{D ．}2,0{2．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）：则与)]1([g f 相同的是（ ） A ．)]1([f gB ．)]2([f gC ．)]3([f gD ．)]4([f g3．已知)34()34(01)1(0cos )(-+⎩⎨⎧>+-≤=f f x x f x xx f 则π的值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．24．已知函数Rxx f πsin3)(=图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆222Ry x =+上，则)(x f 的最小正周期为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．当10<<a 时，关于x 的不等式212--<x x aa 的解集为（ ） A ．}221|{<≤x x B ．}521|{<≤x xC ．}52|{≤<x xD ．}521|{≤≤x x6．把函数x x y sin 3cos -=的图象沿向量)0(),(>-=m m m a 的方向平移后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 7．等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为S n ，当首项a 1和d 变化时，1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是（ ） A ．S 7 B ．S 8C ．S 13D ．S 158．函数)24sin(lg x y -=π的单调增区间是（ ）A ．)(]8,85(Z k k k ∈--ππππ B ．)()8,8[Z k k k ∈+-ππππC ．)(]8,83(Z k k k ∈--ππππD ．)()83,8[Z k k k ∈+-ππππ 9．已知向量(2cos ,2sin ),(3cos ,3sin )ααββ==a b ，若a 与b 的夹角为60°，则直线021sin cos =+-ααy x 与圆21)sin ()cos (22=++-ββy x 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相交且过圆心 C ．相切 D ．相离10．直角梯形ABCD 如图（1），动点P 从B 点出发，由A D C B →→→沿边运动，设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为)(x f ．如果函数)(x f y =的图象如图（2），则ABC ∆的面积为（ ）A ．10B ．16C ．18D ．3211．设21,e e 分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为（ ） A ．1B ．21C ．2D ．不确定12．已知m N n m f f (),(,1)1,1(*∈=．)*∈N n ，且对任何m ．*∈N n 都有：①2),()1,(+=+n m f n m f ；②),(2),1(n m f n m f =+，给出以下三个结论： （1）9)5,1(=f （2）16)1,5(=f （3）26)6,5(=f ，其中正确的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0湖北省八校表1 映射f 的对应法则 原像 1 2 3 4 像 3 4 2 1 表2 映射g 的对应法则原像 1 2 3 4 像 4 3 1 2ABC DP 图（1） yx 14 4 9 O 图（2）2005—2006学年度高三第一次联考数学试题（理科）第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．设满足|1|-≥x y 的点),(y x 的集合为A ，满足2||+-≤x y 的点),(y x 的集合为B ，则B A 所表示图形的面积是 ．14．数列}{n a 中，S n 是前n 项和，若)1(31,111≥==+n S a a n n ，则n a = ． 15．已知12006321=⋅⋅x x x x ，且200621,,,x x x 都是正数，则)1()1)(1(200621x x x +++ 的最小值是 ．16．ABC ∆的两个顶点A 、B 的坐标分别是(,0),(,0)(0)a a a ->，边AC 、BC 所在直线的斜率之积等于k ．①若k=-1，则ABC ∆是直角三角形；②若k=1，则ABC ∆是直角三角形； ③若k=-2，则ABC ∆是锐角三角形；④若k=2，则ABC ∆是锐角三角形． 以上四个命题中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）设)0,1(),sin ,cos 1(),sin ,cos 1(=-=+=c b a ββαα，其中)2,(),,0(ππβπα∈∈，a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且621πθθ=-，求4sinβα-的值．18．（本题满分12分）已知集合}0,|||{><-=a ax a x x A ，若x x x f ππcos sin )(-=在A 上是增函数，求a 的取值范围． 19．（本题满分12分）某村计划建造一个室内面积为800m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 20．（本题满分12分）函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，且对任意的R x ∈，均有)()2(x f x f =+成立．当]1,0[∈x 时，).1)(2(log )(>-=a x x f a（1）当)](12,12[Z k k k x ∈+-∈时，求)(x f 的表达式；（2）若)(x f 的最大值为21，解关于x 的不等式1()4f x >． 21．（本题满分12分）P 、Q 、M 、N 四点都在中心为坐标原点，离心率22=e ，左焦点)0,1(-F 的椭圆上，已知0PF FQ MF FN PF MF = 与共线,与共线,，求四边形PMQN 的面积的最大值与最小值．22．（本题满分14分）定义如下运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mk mkmk mk k k k nk n n n k k k mn m m m n n n z z z z z z z z z z z z z z z z y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x x x x x x x x x x x 333323122322211131211321333323122322211131211321333323122322211131211 其中i n j m i y x y x y x y x z nj in j i j i j i ij ,1,1(.332211≤≤≤≤++++= ．)*∈N j ．现有n 2个正数的数表A 排成行列如下：（这里用ij a 表示位于第i 行第j 列的一个正数，),*∈N j innn n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a 321333323122322211131211,,,且各个等每竖列的数成等比数列数列其中每横行的数成等差比数列的公比相同，若,163,81,1434224===a a a （1）求ij a 的表达式（用i ，j 表示）；（2）若⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21323122211211323213333231223222111312113333231n n n nn n n n n n n b b b b b b b b n a a a a a a a a a a a a a a a a求1i b ．),,1(2表示用n i n i b i ≤≤数学（理科）答案一、D A C D B C C C D B C A二、13.32；14. a n =21,114().233n n n -=⎧⎪⎨⎪⎩≥；15. 22006 ；16. ①、③.三、17. 2(2cos ,2sin cos )2cos (cos ,sin )222222αααααα==a ,2(2sin,2sincos)2sin(sin,cos)222222ββββββ==b ,(0,),(,2απβππ∈∈,∴(0,),(,)2222απβππ∈∈, 故2,222cos sin αβ==a b ,212c o s222c o s 2c o s c o s αααθ===a c a c ,222sin 22222sin 2cos sin cos()βββπβθ====-b c b c 2,222220βππβπθ-<=-<∴ ,又126πθθ-=, ∴2226αβππ-+=,故23αβπ-=-，∴1sin sin()462αβπ-=-=- 18. 由||x a ax -<得ax x a ax -<-<,所以(1)(1)a x aa x a +>⎧⎨-<⎩.当01a <<时,(,)11a a A a a =+-;当a ≥1时,(,)1aA a=+∞+, 又()sin cos 2sin()4f x x x x ππππ=-=-的单调递增区间为13[2,2],()44k k k Z -+∈,显然,当a ≥1时,()f x 在A 上不可能是增函数, 因此, 当01a <<,要使()f x 在(,)11a a A a a =+-上是增函数,只有13(,)[,]1144a a a a ⊆-+-, 所以01314a a a <<⎧⎪⎨≤⎪-⎩,解得0a <≤37,故a 的范围为0a <≤37. 19. 设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为bm ，则ab = 8002m . 蔬菜的种植面积(4)(2)4288082(2)S a b ab b a a b =--=--+=-+. 280842648()S ab m ∴≤-= .当2a b =, 即40,20a m b m == 时, 2max 648S m =.答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为6482m .20.（1）当[1,0)x ∈-时，()()log [2()]log (2)a a f x f x x x =-=--=+．当[21,2)()x k k k ∈-∈Z 时,2[1,0)x k -∈-,()(2)log [2(2)]a f x f x k x k =-=+-． 当[2,21]()x k k k ∈+∈Z 时，2[0,1]x k -∈，()(2)log [2(2)]a f x f x k x k =-=--． 故当[21,21]()x k k k ∈-+∈Z 时，()f x 的表达式为log [2(2)],[21,2),()log [2(2)],[2,21].a ax k x k k f x x k x k k +-∈-⎧=⎨--∈+⎩ （2）∵()f x 是以2为周期的周期函数，且为偶函数，∴()f x 的最大值就是当[0,1]x ∈时，()f x 的最大值．∵1a >，∴()log (2)a f x x =-在[0,1]上是减函数，∴max 1[()](0)log 22a f x f ===，∴4a =． 当[1,1]x ∈-时，由1()4f x >得410,1log (2),4x x -≤<⎧⎪⎨+>⎪⎩或401,1log (2),4x x ≤≤⎧⎪⎨->⎪⎩得2222x -<<-．∵()f x 是以2为周期的周期函数， ∴1()4f x >的解集为{|222222,}x k x k k +-<<+-∈Z ． 21. 椭圆方程为2212x y +=. 0·=MF PF ,PQ MN ⊥. 设PQ 的方程为1ky x =+，代入椭圆方程消去x 得22(2)210k y ky +--=. 设1111(,),(,)P x y Q x y ,则22212121211()4PQ ky y k y y y y =+-=++-2222222122(1)1()4222k k kk k k+=++=+++. (Ⅰ)当0k ≠时,MN 的斜率为1k-,同理可得22122(1)12k MN k +=+,故四边形面积222214(2)12252k k S PQ MN k k++==++. 令221u k k =+,则2u ≥,即4(2)12(1)5252u S u u+==-++ 当1k =±时,162,9u S ==.且S 是以u 为自变量的增函数,∴1629S ≤<. (Ⅱ) 当0k =时,MN 为椭圆的长轴,22,2,MN PQ ==122S PQ MN == 综合(Ⅰ) (Ⅱ)知,四边形PQMN 面积的最大值为2,最小值为169. 22. 解：（1） 424313,816a a ==，且每横行成等差数列， ∴ 442311(2)()16816j a j j a =+--=， ∴ 4441164a ==，又244411,,4a a == ∴12q =（0q > ） ∴ 441()22i ij j i ja a -==；（2）11231232222i i i i i nn b =⨯+⨯+⨯++⨯……=222211(21)(1)(123)232i i n n n n +++++++=⨯…… 23212333332222ni i i i i n b =⨯+⨯+⨯++⨯ ①∴ 2312121333322223n n i i i i i n n b +-=⨯+⨯++⨯+⨯ ②②－①得 231211(333)332222nn i i i i n b +=-++++⨯-⨯……21113313321322n n i i i n ++-⨯+⨯-⨯-=- 111[(21)33]2n i n ++-+=∴1221[(21)33]2n i i n b ++-+=.。