2019-2020年辽源市等五校联考高二上册期末数学试卷(文)含解析

吉林省辽市等五校联考高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）若pVq是假命题，则（）
A．p，q至少有一个是假命题B．p，q 均为假命题
C．p，q中恰有一个是假命题D．p，q至少有一个是真命题
2．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是（）
A．y=±B．y=±2 C．y=±D．y=±
3．（5分）已知命题α：如果＜3，那么＜5，命题β：如果≥3，那么≥5，则命题α是命题β的（）
A．否命题 B．逆命题C．逆否命题D．否定形式
4．（5分）已知抛物线方程为y2=5则焦点到准线的距离为（）
A．B．C．5 D．10
5．（5分）设集合M={|0＜≤4}，N={|2≤≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）若f（）=5，f′（0）=20，则0的值为（）
A． B．±C．﹣2 D．±2
7．（5分）下列求导运算正确的是（）
A．（cos）'=sin B．（3）'=3log3e
C．D．（2cos）′=﹣2sin
8．（5分）过抛物线y2=4的焦点作直线交抛物线于A（1，y1），B（2，y2）两点，若1+2=6，则|AB|=（）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（5分）已知焦点在轴上的椭圆+=1的离心率为，则m=（）
A．8 B．9 C．﹣3 D．16
10．（5分）设函数f（）=2+，则=（）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
11．（5分）抛物线y=22上有一点P，它到A（2，10）距离与它到焦点距离之和最小时，点
P坐标是（）
A．（，10） B．（，20）C．（2，8） D．（1，2）
12．（5分）已知F是椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上的一点，PF⊥轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）命题“∃0∈R，02+20＞0”的否定是．
14．（5分）已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，则△MF2N的周长为．
15．（5分）曲线y=ln在点（e，f（e））处的切线方程为．
16．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，32﹣a≥0”，命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知双曲线方程为16y2﹣92=144．
（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；
（2）若抛物线C的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其下顶点，求抛物线C的方程．18．（12分）已知函数f（）=3﹣32﹣9+1（∈R），g（）=2a﹣1
（1）求函数f（）的单调区间与极值．
（2）若f（）≥g（）对∀∈[﹣2，4]恒成立，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程．
20．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，轴的正半轴
为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．
21．（12分）在直角坐标系Oy中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ2=，θ∈[0，π]，直线l：（t是参数）
（1）求出曲线C的参数方程，及直线l的普通方程；
（2）P为曲线C上任意一点，Q为直线l上任意一点，求|PQ|的取值范围．
22．（12分）已知函数f（）=ln﹣，a为常数
（1）判断f（）在定义域内的单调性
（2）若f（）在[1，e]上的最小值为，求a的值．
吉林省辽市等五校联考高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）若pVq是假命题，则（）
A．p，q至少有一个是假命题B．p，q 均为假命题
C．p，q中恰有一个是假命题D．p，q至少有一个是真命题
【解答】解：若p∨q是假命题，则p，q 均为假命题，
故选：B
2．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是（）
A．y=±B．y=±2 C．y=±D．y=±
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，
其焦点在y轴上，且a=2，b=2，
则该双曲线的渐近线方程为y=±；
故选：D．
3．（5分）已知命题α：如果＜3，那么＜5，命题β：如果≥3，那么≥5，则命题α是命题β的（）
A．否命题 B．逆命题C．逆否命题D．否定形式
【解答】解：命题α：如果＜3，那么＜5，
命题β：如果≥3，那么≥5，
则命题α是命题β的否命题．
故选：A．
4．（5分）已知抛物线方程为y2=5则焦点到准线的距离为（）
A．B．C．5 D．10
【解答】解：根据题意，抛物线方程为y2=5，
则抛物线的焦点为（，0），准线为=﹣，
所以焦点到准线的距离为；
故选：B．
5．（5分）设集合M={|0＜≤4}，N={|2≤≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：设集合M={|0＜≤4}，N={|2≤≤3}，
则N⊆M，
所以若“a∈M”推不出“a∈N”；
若“a∈N”，则“a∈M”，
所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件，
故选：B
6．（5分）若f（）=5，f′（0）=20，则0的值为（）
A． B．±C．﹣2 D．±2
【解答】解：函数的导数f′（）=54，
∵f′（0）=20，
∴504=20，得04=4，
则0=±，
故选：B．
7．（5分）下列求导运算正确的是（）
A．（cos）'=sin B．（3）'=3log3e
C．D．（2cos）′=﹣2sin
【解答】解：（cos）'=﹣sin，A不正确；
（3）'=3ln3，B不正确
（lg）′=，C正确；
（2cos）′=2cos﹣2sin，D不正确
故选：C．
8．（5分）过抛物线y2=4的焦点作直线交抛物线于A（1，y1），B（2，y2）两点，若1+2=6，
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：由题意，抛物线的方程为y2=4，即p=2，
故抛物线的准线方程是=﹣1，
∵抛物线y2=4 的焦点作直线交抛物线于A（1，y1）B（2，y2）两点
∴|AB|=1+2+2，
又1+2=6
∴|AB|=1+2+2=8
故选：D．
9．（5分）已知焦点在轴上的椭圆+=1的离心率为，则m=（）
A．8 B．9 C．﹣3 D．16
【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点在轴上，
则有m＞6，
则a=，b=，则c=，
又由椭圆的离心率e==，即有=，
解可得m=8；
故选：A．
10．（5分）设函数f（）=2+，则=（）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
【解答】解：根据导数的定义：则=2=﹣2f′（1），由f′（）=2+1，
∴﹣2f′（1）=﹣6，
∴=﹣6，
故选A．
11．（5分）抛物线y=22上有一点P，它到A（2，10）距离与它到焦点距离之和最小时，点
A．（，10） B．（，20）C．（2，8） D．（1，2）
【解答】解：由题意知，抛物线的抛物线y=22标准方程：2=y焦点为F（0，），准线l 为y=﹣，且点A在抛物线内部，过点A作准线l的垂线，垂足为A′，
根据抛物线的定义，可知，垂线AA′与抛物线的交点即为所求的点P，且易求得，点P的坐标为（2，8），
故选C．
12．（5分）已知F是椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上的一点，PF⊥轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据椭圆几何性质可知|PF|=，|AF|=a+c，
所以=（a+c），
即4b2=3a2﹣3ac，
因为b2=a2﹣c2，
所以有4a2﹣4c2=3a2﹣3ac，
整理可得4c2+3ac﹣a2=0，两边同除以a2得：4e2+3e﹣1=0，
所以（4e﹣1）（e+1）=0，
由于0＜e＜1，
所以e=．
故选：A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）命题“∃0∈R，02+20＞0”的否定是∀∈R，2+2≤0．
【解答】解：依题意，特称命题的否定是全称命题，故命题“∃0∈R，02+20＞0”的否定是：∀∈R，2+2≤0．
故答案为：∀∈R，2+2≤0．
14．（5分）已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，则△MF2N的周长为8．
【解答】解：根据题意，椭圆+=1中a==2，
过F1的直线l交椭圆于M，N两点，则有|MF1|+|MF2|=2a=4，
同理：|NF1|+|NF2|=2a=4，
△MF2N的周长l=|MN|+|MF2|+|NF2|=|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a=8；
故答案为：8．
15．（5分）曲线y=ln在点（e，f（e））处的切线方程为﹣ey=0．
【解答】解：y=ln的导数为y′=，
则切线斜率=，
切点为（e，1），
则切线的方程为y﹣1=（﹣e），
即为﹣ey=0．
故答案为：﹣ey=0．
16．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，32﹣a≥0”，命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2或1≤a≤3．．
【解答】解：p：若∀∈[1，2]，32﹣a≥0，得a≤32，恒成立，
∵y=32在∈[1，2]递增，最小值为3，所以a≤3．
q：若：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，
∴a2+a﹣2≥0，得a≤﹣2或a≥1．
若命题“p且q”是真命题，则p、q都为真．
∴a≤﹣2或1≤a≤3．
故答案为：a≤﹣2或1≤a≤3
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知双曲线方程为16y2﹣92=144．
（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；
（2）若抛物线C的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其下顶点，求抛物线C的方程．【解答】解：（1）由16y2﹣92=144，
得﹣=1，
知2a=6，2b=8，2c=10，
所以实轴长为6，虚轴长为8，
离心率为e==；
（2）设抛物线C：2=﹣2py，（p＞0），
由题意可得p=2a=6，
所以抛物线C：2=﹣12y．
18．（12分）已知函数f（）=3﹣32﹣9+1（∈R），g（）=2a﹣1
（1）求函数f（）的单调区间与极值．
（2）若f（）≥g（）对∀∈[﹣2，4]恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f′（）=32﹣6﹣9，
令f′（）＞0，解得：＜﹣1或＞3，
令f′（）＜0，解得：﹣1＜＜3，
故函数f（）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），单调减区间为[﹣1，3]；
故f（）的极大值为f（﹣1）=6，极小值f（3）=﹣26；
（2）由（1）知f（）在[﹣2，﹣1]上单调递增，在[﹣1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，
又f（﹣2）=﹣1，f（3）=﹣26，f（3）＜f（﹣2），
∴f（）min=﹣26，
∵f（）﹣2a+1≥0对∀∈[﹣2，4]恒成立，
∴f（）min≥2a﹣1，即2a﹣1≤﹣26，
∴a≤﹣．
19．（12分）已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程．
【解答】解：（1）e==，2b=4，所以a=4，b=2，c=2，
椭圆标准方程为+，
（2）设以点p（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（1，y1），B（2，y2），
则1+2=4，则y1+y2=2，
分别代入椭圆的方程，两式相减可得（1+2）（1﹣2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴4（1﹣2）+8（y1﹣y2）=0，
∴==﹣，
∴点P（2，1）为中点的弦所在直线方程为y﹣1=﹣（﹣2），
整理，得：+2y﹣4=0．
20．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，轴的正半轴
为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），
消去t得到：，
即：4+3y﹣2=0．
曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．
转化为：ρ2=2ρcos+2ρsinθ，
整理得：2+y2﹣2﹣2y=0．
（2）将l的参数方程（t为参数），代入曲线C：2+y2﹣2﹣2y=0，
整理得：t2+4t+3=0，
所以：t1+t2=﹣4，t1t2=3，
则：|AB|=|t1﹣t2|==2．
21．（12分）在直角坐标系Oy中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ2=，θ∈[0，π]，直线l：（t是参数）
（1）求出曲线C的参数方程，及直线l的普通方程；
（2）P为曲线C上任意一点，Q为直线l上任意一点，求|PQ|的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，曲线C：ρ2=，则有ρ2+3ρ2sin2θ=4，
曲线C的普通方程为：
∴曲线C的参数方程（θ为参数，θ∈[0，π]）
直线l：，则其普通方程为：
（2）设P（2cosθ，sinθ）
∴P到直线l的距离为
∵θ∈[0，π]
∴，
∴
∴
∴．
22．（12分）已知函数f（）=ln﹣，a为常数
（1）判断f（）在定义域内的单调性
（2）若f（）在[1，e]上的最小值为，求a的值．
【解答】解：（1）由题意得f（）的定义域为（0，+∞），
f′（）=+=，
①当a≥0时，f'（）＞0，故f（）在上为增函数；
②当a＜0时，由f'（）=0得=﹣a；由f'（）＞0得＞﹣a；由f'（）＜0得＜﹣a；∴f（）在（0，﹣a]上为减函数；在（﹣a，+∞）上为增函数．
所以，当a≥0时，f（）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，f（）在（0，﹣a]上是减函数，在（﹣a，+∞）上是增函数．
（2）由（1），当a≥0时，f（）在[1，e]上单调递增，
∴f（）min=f（1）=﹣a=，
∴a=﹣，不舍题意，舍；
当﹣e＜a＜0时，f（）在[1，﹣a]上单调递减，在[﹣a，e]上单调递增，
∴f（）min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，解得a=﹣；
当a＜﹣e时，f（）在[1，e]上单调递增，
∴f（）min=f（1）=﹣a=，解得a=﹣，不合题意，舍；
综上所述，a=﹣．。