大安区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

大安区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若函数21,1,()ln ,1,
x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则函数1
()32y f x x =-+的零点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．y=
B ．y=﹣x+
C ．y=﹣x|x|
D ．y=
3． 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．2
4． 下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（ ）
A ．瑞雪兆丰年
B ．名师出高徒
C ．吸烟有害健康
D ．喜鹊叫喜
5． 在△ABC 中，，则这个三角形一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角
D ．等腰或直角三角形 6． 已知数列｛n a ｝满足n
n n a 2
728-+=（*
∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ） A ．
211 B ．227 C ． 32259 D ．32
435
7． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，
则这两个圆锥的体积之比为（ ）
A ．2：1
B ．5：2
C ．1：4
D ．3：1
8． 在二项式的展开式中，含x 4
的项的系数是（ ）
A ．﹣10
B ．10
C ．﹣5
D ．5
9． 设函数f （x ）在x 0处可导，则等于（ ）
A ．f ′（x 0）
B ．f ′（﹣x 0）
C ．﹣f ′（x 0）
D ．﹣f （﹣x 0）
10．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4=5S 2，则的值为（ ）
A ．﹣2或﹣1
B ．1或2
C ．±2或﹣1
D ．±1或2
11．已知点F 1，F 2为椭圆
的左右焦点，若椭圆上存在点P 使得，
则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．（0，）
B ．（0，]
C ．（，]
D ．[，1）
12．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ） A ．45
B ．90
C ．120
D ．360
二、填空题
13．若非零向量，
满足|
+
|=|
﹣
|，则与
所成角的大小为 ．
14．已知函数f （x ）=，若f （f （0））=4a ，则实数a= ．
15．已知函数f （x ）=（2x+1）e x ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（0）的值为 ． 16．直线ax ﹣2y+2=0与直线x+（a ﹣3）y+1=0平行，则实数a 的值为 ．
17．已知,a b 为常数，若()()2
2
4+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，,则5a b -=_________.
18．对于映射f ：A →B ，若A 中的不同元素有不同的象，且B 中的每一个元素都有原象，则称f ：A →B 为一一映射，若存在对应关系Φ，使A 到B 成为一一映射，则称A 到B 具有相同的势，给出下列命题： ①A 是奇数集，B 是偶数集，则A 和B 具有相同的势；
②A 是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B 是复数集，则A 和B 不具有相同的势； ③若区间A=（﹣1，1），B=R ，则A 和B 具有相同的势． 其中正确命题的序号是 ．
三、解答题
19．已知等差数列{a n }中，a 1=1，且a 2+2，a 3，a 4﹣2成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．
20．已知函数f （x ）=|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）+f （x+1）≤2
（2）若a ＜0，求证：f （ax ）﹣af （x ）≥f （2a ）
21．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．
（1）若不等式1()21(0)2
f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；
（2）若不等式()2|23|2y
y
a
f x x ≤+
++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值．
22．已知函数
．
（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点P （1，f （1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若对于∀x ∈（0，+∞）都有f （x ）＞2（a ﹣1）成立，试求a 的取值范围；
（Ⅲ）记g （x ）=f （x ）+x ﹣b （b ∈R ）．当a=1时，函数g （x ）在区间[e ﹣1
，e]上有两个零点，求实数b 的取
值范围．
23．（本题满分12分）为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问 卷调查，得到了如下的22⨯
（1（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率.
（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量2
K ，判断心肺疾病与性别是否有关？
（参考公式：)
)()()(()(2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=）
24．已知函数f（x）=sinx﹣2sin2
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．
大安区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D 【
解
析
】
考点：函数的零点．
【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令0)(=x f ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在],[b a 上是连续的曲线，且0)()(<b f a f .还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
2． 【答案】C 【解析】解：A.在定义域内没有单调性，∴该选项错误；
B.
时，y=
，x=1时，y=0；
∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；
C ．y=﹣x|x|的定义域为R ，且﹣（﹣x ）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）； ∴该函数为奇函数；
；
∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣02=02
；
∴该函数在定义域R 上为减函数，∴该选项正确；
D.；
∵﹣0+1＞﹣0﹣1；
∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误．
故选：C．
【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．
3．【答案】C
【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得
这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2
故底面棱形的面积为=2
侧棱为2，则棱锥的高h==3
故V==2
故选C
4．【答案】D
【解析】解：根据两个变量之间的相关关系，
可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，
名师出高徒也具有相关关系，
吸烟有害健康也具有相关关系，
故选D．
【点评】本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．
5．【答案】A
【解析】解：∵，
又∵cosC=，
∴=，整理可得：b2=c2，
∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形．
故选：A ．
6． 【答案】D 【解析】
试题分析： 数列n n n a 2728-+=，112528++-+=∴n n n a ，112527
22
n n n n
n n a a ++--∴-=- ()11
252272922n n n n n ++----+==，当41≤≤n 时，n n a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,
即...765>>>a a a .因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，
2
11
1=a ,∴最小项为211，M m +∴的值为32
435
32259211=+．故选D.
考点：数列的函数特性. 7． 【答案】D
【解析】解：设球的半径为R ，圆锥底面的半径为r ，则πr 2
=
×4πR 2=
，∴r=．
∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和
．
∴两个圆锥的体积比为： =1：3．
故选：D ．
8． 【答案】B
【解析】解：对于，
对于10﹣3r=4， ∴r=2， 则x 4的项的系数是C 52（﹣1）2
=10
故选项为B
【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
9． 【答案】C
【解析】解： =﹣
=﹣f ′（x 0），
故选C ．
10．【答案】C
【解析】解：由题设知a1≠0，当q=1时，S4=4a1≠10a1=5S2；q=1不成立．
当q≠1时，S n=，
由S4=5S2得1﹣q4=5（1﹣q2），（q2﹣4）（q2﹣1）=0，（q﹣2）（q+2）（q﹣1）（q+1）=0，
解得q=﹣1或q=﹣2，或q=2．
==q，
∴=﹣1或=±2．
故选：C．
【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，利用条件求出等比数列的通项公式，以及对数的运算法则是解决本题的关键．
11．【答案】D
【解析】解：由题意设=2x，则2x+x=2a，
解得x=，故||=，||=，
当P与两焦点F1，F2能构成三角形时，由余弦定理可得
4c2=+﹣2×××cos∠F1PF2，
由cos∠F1PF2∈（﹣1，1）可得4c2=﹣cos∠F1PF2∈（，），
即＜4c2＜，∴＜＜1，即＜e2＜1，∴＜e＜1；
当P与两焦点F1，F2共线时，可得a+c=2（a﹣c），解得e==；
综上可得此椭圆的离心率的取值范围为[，1）
故选：D
【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及余弦定理和不等式的性质以及分类讨论的思想，属中档题．
12．【答案】B
【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，
所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，
故选：B．
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】90°．
【解析】解：∵
∴=
∴
∴α与β所成角的大小为90°
故答案为90°
【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．
14．【答案】2．
【解析】解：∵f（0）=2，
∴f（f（0））=f（2）=4+2a=4a，
所以a=2
故答案为：2．
15．【答案】3．
【解析】解：∵f（x）=（2x+1）e x，
∴f′（x）=2e x+（2x+1）e x，
∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3．
故答案为：3．
16．【答案】1
【解析】
【分析】利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a的值．【解答】解：直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，
∴，解得a=1．
故答案为1．
17．【答案】
【解析】
试题分析：由()()224+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，，得22()4()31024ax b ax b x x ++++=++，
即2222
24431024a x abx b ax b x x +++++=++，比较系数得22124104324a ab a b b ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得1,7a b =-=-或
1,3a b ==，则5a b -=.
考点：函数的性质及其应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算，求解解析式中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题，本题的解答中化简()f ax b +的解析式是解答的关键. 18．【答案】 ①③ ．
【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={奇数}→B={偶数}，不妨给出对应法则加1．则A →B 是一一映射，故①正确；
对②设Z 点的坐标（a ，b ），则Z 点对应复数a+bi ，a 、b ∈R ，复合一一映射的定义，故②不正确； 对③，给出对应法则
y=tan x ，对于A ，B 两集合可形成f ：A →B 的一一映射，则A 、B 具有相同的势；∴
③正确． 故选：①③
【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由a 2+2，a 3，a 4﹣2成等比数列，
∴
=（a 2+2）（a 4﹣2），
（1+2d ）2
=（3+d ）（﹣1+3d ），
d 2﹣4d+4=0，解得：d=2， ∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1， 数列{a n }的通项公式a n =2n ﹣1； （2）b n =
=
=
（
﹣），
S n
= [（1
﹣）+
（
﹣）+…+
（
﹣
）]，
=（1
﹣
），
=，
数列{b n}的前n项和S n，S n=．
20．【答案】
【解析】（1）解：不等式f（x）+f（x+1）≤2，即|x﹣1|+|x﹣2|≤2．
|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的点x到1、2对应点的距离之和，
而2.5 和0.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于2，
∴不等式的解集为[0.5，2.5]．
（2）证明：∵a＜0，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|=|ax﹣2|+|2﹣ax|
≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|=f（2a﹣2），
∴f（ax）﹣af（x）≥f（2a）成立．
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为，所以，，所以，a=1．
所以，，．由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得0＜x＜2．所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．
（Ⅱ），由f'（x）＞0解得；由f'（x）＜0解得．
所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，
所以，即可．则．由解得．
所以，a的取值范围是．
（Ⅲ）依题得，则．
由g'（x）＞0解得x＞1；由g'（x）＜0解得0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，
解得．所以，b的取值范围是．
【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查统计中的相关分析、概率中的古典概型，突出了统计和概率知识的交汇，对归纳、分析推理的能力有一定要求，属于中等难度.
24．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2
=sinx﹣2×
=sinx+cosx﹣
=2sin（x+）﹣
∴f（x）的最小正周期T==2π；
（2）∵x∈[0，]，
∴x+∈[，π]，
∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，
∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．。