2018-2019数学苏教版选修2-1作业：第2章2.2.2 椭圆的几何性质

2018-2019数学苏教版选修2-1作业：第2章2.2.2 椭圆的几何性质
0<e ≤3
2
，则长轴的最大值是________．
解析：由e 2＝c
2a 2＝a 2－b 2a 2＝a 2－1a 2，得0<a 2－1a 2
≤3
4
，解得1<a 2≤4.故1<a ≤2，2<2a ≤4.即长轴的最大值是4.
答案：4
4.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
解析：由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2， ∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .
∴3a 2－2ac －5c 2＝0，∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.
∴5e 2
＋2e －3＝0，∴e ＝35
或e ＝－1(舍去)．
答案：3
5
5.若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为1
3
，则m 的值
为________．
解析：由已知得1－m 16＝19
或1－16m ＝1
9，∴m
＝128
9
或18.
答案：128
9
或18
6.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF
1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
解析：结合图形(图略)，转化为c <b .
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫
0，22
7.设P 为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上一点，F 1，
F 2是椭圆的两个焦点，如果∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率是________．
解析：在Rt △PF 1F 2中，由正弦定理，
得PF 1sin 15°＝PF 2sin 75°＝F 1F 2sin 90°＝2c ， ∴PF 1＋PF 2
sin 15°＋sin 75°
＝2c . 由椭圆的定义，知PF 1＋PF 2＝2a .
代入上式，有e ＝c a ＝1sin 75°＋sin 15°＝6
3.
答案：6
3
8.在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆x 2a 2＋y 2
b
2
＝1(a >b >0)上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B 、C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的率心率的取值范围是________．
解析：由题意得，圆半径r ＝b 2
a
，因为△ABC
是锐角三角形，所以cos 0>cos A 2＝c r >cos π4，即
2
2
<c r <1，所以22<ac a 2－c 2<1，即22<e 1－e 2
<1，解得e ∈⎝
⎛⎭⎪⎪⎫6－22，5－12. 答案：⎝
⎛⎭⎪⎫
6－22，
5－12 9.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标
轴，焦点在x 轴上，短轴的一个顶点B 与两个焦点F 1，F 2组成的三角形的周长为4＋23，且
∠F 1BF 2＝2π
3
，求椭圆的标准方程．
解：设长轴长为2a ，焦距为2c ，则在△F 2OB 中，由∠F 2BO ＝π3得：c ＝3
2
a ，所以△F 2BF 1
的周长为2a ＋2c ＝2a ＋3a ＝4＋23，∴a ＝2，
c ＝3，∴b 2＝1；故所求椭圆的标准方程为x
24
＋
y 2＝1.
10.已知椭圆C 1：x 24
＋y 2
＝1，椭圆C 2以C 1
的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．
(1)求椭圆C 2的方程；
(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，
OB →＝2OA →，求直线AB 的方程． 解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24
＝
1(a >2)，
其离心率为32，故a 2－4a ＝3
2，则a ＝4，
故椭圆C 2的方程为y 216＋x 2
4
＝1.
(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，
(x B ，y B )，由OB
→＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .
将y ＝kx 代入x 24＋y 2
＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，
所以x 2
A ＝41＋4k 2
，
将y ＝kx 代入y 216＋x 2
4
＝1中，得(4＋k 2)x 2＝
16，
所以x 2
B ＝164＋k
2
， 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2
＝16
1＋4k 2
， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .
法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，
由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .
将y ＝kx 代入x 24
＋y 2
＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，
所以x 2A ＝
4
1＋4k
2
， 由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 2
1＋4k
2， 将
x 2B ，y 2
B 代入
y 216＋x
2
4＝1中，得4＋k 2
1＋4k
2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .
[能力提升]
1.过椭圆x 25＋y 2
4
＝1的右焦点作一条斜率为2
的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．
解析：椭圆x 25＋y 2
4
＝1的右焦点F 2(1，0)，
故直线AB 的方程y ＝2(x －1)，由⎩⎪⎨
⎪⎧x 25＋y 24＝1
y ＝2（x －1）
，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1<x 2，
则x 1，x 2是方程3x 2－5x ＝0的两个实根，
解得x 1＝0，x 2＝53，故A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫53，43，
故S △OAB ＝S △OFA ＋S △OFB ＝12×⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫|－2|＋43×1＝53
. 答案：5
3
2.设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)
的左、右焦点，P 为直线x ＝3a
2
上一点，△F 2PF 1
是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．
解析：由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°， ∴∠PF 2x ＝60°.
∴PF 2＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
32a －c ＝3a －2c . ∵F 1F 2＝2c ，F 1F 2＝PF 2，
∴3a －2c ＝2c ，∴e ＝c a ＝3
4
.
答案：3
4
3.椭圆x 29＋y 2
4
＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为
其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 的横
坐标的取值范围．
解：设点P 的坐标为(x ，y )，F 1(－5，0)，F 2(5，0)，
在三角形PF 1F 2中，
由余弦定理得：cos ∠F 1PF 2＝
PF 21＋PF 22－F 1F 2
2
2PF 1·PF 2
，
因为PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，
故cos ∠F 1PF 2＝36－2PF 1·PF 2－20
2PF 1·PF 2
＝
162PF 1·PF 2
－1≥162⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫PF 1＋PF 222
－1＝－1
9，
当且仅当PF 1＝PF 2时取等号，即－1
9
≤cos
∠F 1PF 2≤1.
所以当－1
9
≤cos ∠F 1PF 2<0时，∠F 1PF 2为
钝角．
令PF 1→·PF 2→＝0，因为PF 1→＝(－5－x ，－y )，
PF
2→＝(5－x ，－y )，则x 2－5＋y 2＝0，
y 2
＝－x 2
＋5，代入椭圆方程得：x 2
＝9
5
，x ＝
±355
， 所以点P 的横坐标的取值范围是－
35
5
<x <355
.
4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2
a
2
＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)、F 2(c ，0)．已知点(1，e )和⎝
⎛⎭⎪⎫
e ，32都在椭圆
上，其中e 为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P .
(ⅰ)若AF 1－BF 2＝6
2
，求直线AF 1的斜率；
(ⅱ)求证：PF 1＋PF 2是定值．
解：(1)由题设知a 2＝b 2＋c 2
，e ＝c a
.
由点(1，e )在椭圆上，得1a 2＋c 2
a 2b
2＝1，
解得b 2＝1，于是c 2＝a 2－1.
又点⎝ ⎛⎭⎪⎫
e ，32在椭圆上，所以e 2a 2＋34b 2＝1，即
a 2－1a 4＋3
4
＝1，解得a 2
＝2. 因此，所求椭圆的方程是x 22
＋y 2
＝1.
(2)由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，又直线AF 1与BF 2平行，所以可设直线AF 1的方程为x ＋1＝my ，直线BF 2的方程为x －1＝my .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1>0，y 2>0.
由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 1＋1＝my 1，
得(m 2＋2)y 21－2my 1
－1＝
0，
解得y 1＝m ＋2m 2＋2m 2
＋2， 故
AF 1＝
（x 1＋1）2＋（y 1－0）2＝
（my 1）2＋y 21＝
2（m 2＋1）＋m m 2＋1
m 2＋2
.①
同理，BF2＝2（m2＋1）－m m2＋1
m2＋2
.②
(ⅰ)由①②得AF1－BF2＝2m m2＋1 m2＋2
，
解2m m2＋1
m2＋2
＝6
2
得m2＝2，注意到m>0，
故m＝ 2.
所以直线AF1的斜率为1
m ＝2
2.
(ⅱ)证明：因为直线AF1与BF2平行，所以
PB PF1＝BF2
AF1，
于是
PB＋PF1
PF1
＝
BF2＋AF1
AF1，
故PF1＝AF1
AF1＋BF2
BF1.
由B点在椭圆上知BF1＋BF2＝22，
从而PF1＝AF1
AF1＋BF2
(22－BF2)．
同理，PF2＝BF2
AF1＋BF2
(22－AF1)．
因此PF1＋PF2＝AF1
AF1＋BF2
(22－BF2)＋
BF2 AF1＋BF2·
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
22－AF1＝22－
2AF1·BF2
AF1＋BF2
.
由①②得，AF1＋BF2＝22（m2＋1）
m2＋2
，
AF1·BF2＝m2＋1 m2＋2
，
∴PF1＋PF2＝22－2
2＝3
22，∴PF1＋PF2
是定值．。