【河南省】2017年中原名校高考模拟数学(文科)试卷(八)-答案

河南省2017年中原名校高考模拟数学（文科）试卷（八）
答 案
一、选择题 1~5．DABBC
6~10．BCCDC
11~12．BD
二、填空题
13．38
14．84π
15．2017
2018 16．6
三、解答题
17．解：（1）当1n =时1131
22a a =-，得11a =，
当2n ≥时，113
()2
n n n n n S S a a a ---==-得31n n a a =-，
所以13n n a +=， （2）由（1）得：2123
n n n n n n
b a a ++=
=-，
又212333n n n T =
++⋅⋅⋅+① 得2311223333
n n n T +=+⋅⋅⋅+② 两式相减得：21211133333
n n n n
T +=++⋅⋅⋅+-，
故1
11(1)
23313313
n n n n T +-=--， 所以33234434
n n n T +=-⨯＜． 18．解：（1）
支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 20 60 80 年龄大于50岁
10 10 20 合计
30
70
100
（2）22
2
()100(200600) 4.762 3.841()()()()80203070
n ad bc K a b c d a c b d -⨯-=≈++++⨯⨯⨯=＞，
所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关；
（3）记5人为abcde ，其中ab 表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：
abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde ，，，，，，，，，共10个，其中至多1位教师有7个基本事件：
acd ace ade bcd bce bde cde ，，，，，，，所以所求概率是7
10
． 19．
证明：（1）在三角形ABD 中由勾股定理得AD BD ⊥， 又PAD ABCD PAD ABCD AD ⊥=I 平面平面，平面平面， 所以BD PAD ⊥平面， 又BD BDM ⊂平面， 所以平面MBD PAD ⊥平面；
解：（2）取AD O PO 中点为，则是四棱锥的高，PO =
底面ABCD 的面积是ABD 三角形面积的
3
2
，即
所以四棱锥P ﹣ABCD 的体积为133
⨯=．
20．
解：（1）由已知12(2,0)(2,0)A A -，，设((,P t Q t ，
则直线12)A P y x =+：，
直线22)A Q y x -：，
两式相乘2
2
1(4)4
y x =--，化简得2214x y +=，
即动点M 的轨迹D 的方程为2
214
x y +=；
（2）过(0,2)E 的直线若斜率不存在则1
3
λ=或3，
设直线斜率k 存在，1122(,)(,)A x y B x y ，，，
22
2
440y kx x y =+⎧⎨+-=⎩⇒22(14)16120k x kx +++= 则1221221
20(1)16(2)1412(3)
14(4)
k x x k x x k x x λ∆⎧⎪
⎪+=-⎪+⎨⎪=⎪+⎪=⎩≥
由（2）（4）解得12x x ，代入（3）式得
2222
1612
()(1)1414k k k λλ-=+++g ，
化简得
2
231
(4)(1)64k
λλ=++， 由（1）0∆≥解得23
4
k ≥代入上式右端得，
23116(1)4
λλ+＜≤， 解得1
33
λ＜＜，
综上实数的取值范围是1[,3]3
． 21．
解：（1）1()ln (0)m f x x m x x x -=--
＞，∴22
1(1)[(1)]
()1m m x x m f x x x x ----'=-+=
， min 2()1,e '()0()(1])2[m f x x f x f x f m ∈==-当≤时，在上≥，， [e 1()1e '()0]m f x f x +当≥时，在,上≤，min 1
()(e)e e
m f x f m -==--
， min 2e 1()1,1'()01,e '()0()(1)2ln(1])
[][m f x x m f x x m f x f x f m m m m +∈∈-=-=---当＜＜时，在-上≤，上≥，（2）已知等价于1min 2min ()()f x g x ≤，
由（1）知22()e,[e ]m f x x ∈≤时在上min 1
()0()(e)e e
m f x f x f m -'==--≥，， 而'()e (1)e (1e )g x x x x x x x =+-+=-， 当222min 2,0'()0()](0)1[x g x g x g -∈==，≤，，
所以1
2e 1e
m m m ---
≤，≤， 所以实数m 的取值范围是2e e 1
[,2]e+1
-+．
22．
解：（1）直线l 的参数方程为132x t
y t =+⎧⎨=+⎩
（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程21y x =+，
曲线C 的极坐标方程为sin 216cos 0ρθθ-=，即2sin 216cos ρθρθ=，曲线C 的直角坐标方程为216y x =，
（2
）直线的参数方程改写为13x y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
， 代入216y x =
，24705t -=
，12t t +=12354t t =-，
121211||||||t t PA PB t t -+==． 23．
解：（1）当1a =时，不等式()2f x x +≥，即||12x x x -++≥，即||12x -≥ ∴12x -≥，或12x -≤-，求得3x ≥，或1x -≤ 故不等式()2f x x +≥的解集为}3{|1x x x ≥，或≤-． （2）不等式()3f x x ≤，即3||x a x x -+≤，即||2x a x -≤
可得022x x x a x
⎧⎨--⎩≥≤≤，求得3a x ≥．
再根据不等式{(})32|f x x x x ≤的解集为≥，可得23
a
=，∴6a =．
河南省中原市2017年名校高考模拟文科数学试卷
解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
【分析】解不等式求得集合P、Q，再根据补集与并集的定义计算即可．
【解答】解：实数集R，集合P={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，
Q={x|x2﹣4＜0}={x|﹣2＜x＜2}，
∴∁RQ={x|x≤﹣2或x≥2}，
∴P∪（∁RQ）={x|x≤﹣2或x≥1}=（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．
2．
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．
【解答】解：复数z满足z（3+4i）=1+i，∴z（3+4i）（3﹣4i）=（1+i）（3﹣4i），∴5z=7﹣i，∴z=﹣i．
∴=+i．
则复平面内表示z的共轭复数的点在第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．
【考点】2E：复合命题的真假．
【分析】命题P：由△ABC为钝角三角形，则π＞A+B＞，因此π＞A＞﹣B＞0，当A为锐角时，可得sinA＞sin=cosB，即可判断出真假；命题q：判断其逆否命题的真假即可得出结论．
【解答】解：命题P：若△ABC为钝角三角形，则π＞A+B＞，因此π＞A＞﹣B＞0，若A为锐角，
则sinA＞sin=cosB，可知是假命题；
命题q：∀x，y∈R，若x+y≠2，则x≠﹣1或y≠3，其逆否命题：若x=﹣1且y=3，则x+y=2，是真命题，因此是真命题．
则下列命题为真命题的是（￢P）∧q．
故选：B．
【点评】本题考查了解三角形、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】由表中数据计算平均数、，
代入回归方程求出a，写出回归方程，
把x=15代入回归方程计算的值．
【解答】解：由表中数据，计算=×（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，
=×（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，
代入回归方程可得a=8﹣0.76×10=0.4，
∴回归方程为=0.76x+0.4，
把x=15代入回归方程计算=0.76×15+0.4=11.8．
故选：B．
【点评】本题考查了线性回归方程与平均值的计算问题，是基础题．
5．
【考点】54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】结合图象得出|logam|和|logan|的大小关系，利用对数的运算性质化简即可得出答案．
【解答】解：令f（x）=0得|logax|=，
则y=|logax|与y=的图象有2个交点，
不妨设m＜n，a＞1，
作出两个函数的图象如图：
∴＞，即﹣logam＞logan，
∴logam+logan＜0，即loga（mn）＜0，
∴mn＜1．
故选C．
【点评】本题考查了基本初等函数的图象与性质，对数的运算性质，属于中档题．
6．
【考点】EF：程序框图．
【分析】由程序框图知输出的S值为S=0+﹣﹣1﹣+=﹣1，即可得出结论．
【解答】解：由程序框图知输出的S值为S=0+﹣﹣1﹣+=﹣1
故选：B．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．
7．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（1，4）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可
【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线8x﹣y﹣4=0与y=4x的交点B（1，4）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大2，
即a+4b=2，
则=（a+4b）（）=（5+）（5+4）=；
当且仅当a=2b时等号成立；
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．
8．
【考点】89：等比数列的前n项和．
【分析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An．莞的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．．
【解答】解：设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An．
莞的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，
其前n项和为Bn．则An=，Bn=，
由题意可得：=，化为：2n+=7，
解得2n=6，2n=1（舍去）．
∴n==1+≈2.6．
∴估计2.6日蒲、莞长度相等，
故选：C
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．
【考点】LR：球内接多面体．
【分析】由已知一个几何体的三视图均为一边长是2的正方形，可知该几何体为正八面体，且每个面是边长为2的等边三角形，其对角线为2．由此可求出其外接球的半径，进而可求出外接球的表面积．
【解答】解：由已知一个几何体的三视图均为一边长是2的正方形，
可知该几何体为正八面体，且每个面是边长为2的等边三角形，其对角线为2．
∵，∴对角线为外接球的直径，
设其外接球的半径为R，则2R=2，∴R=，
∴外接球的表面积=4πR2=8π．
故选D．
【点评】本题考查了由三视图求原几何体的表面积问题，由三视图恢复原几何体是解决问题的关键．10．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．
【分析】根据，，|α﹣β|的最小值为，建立关系求解ω的值．
【解答】解：函数，
∵，可得sin（）=﹣1，
∴=，k∈Z．
∴α=，k∈Z．
∵，可得sin（）=0，
∴=kπ，k∈Z．
∴β=．
那么：|α﹣β|的最小值为|﹣|=||
当k=0时，可得最小值为，即=．
可得：ω=．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的运用和计算能力．属于基础题．
11．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】由题意，抛物线的准线方程为y=﹣1，M（2，3），P的横坐标为2，设直线方程为y=kx+1，
与抛物线x2=4y联立，可得x2﹣4kx﹣4=0，利用韦达定理，求出k，即可得出结论、
【解答】解：由题意，抛物线的准线方程为y=﹣1，M（2，3），P的横坐标为2，
设直线方程为y=kx+1，与抛物线x2=4y联立，可得x2﹣4kx﹣4=0，
∴4=4k，∴k=，
∴直线l的方程为y=x+1．
故选B．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查韦达定理，属于中档题．12．
【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．
【分析】f（x）是定义在R上的减函数，f′（x）＜0，（f′（x）≠0）．则，化为f（x）+f′（x）x＞f′（x），可得[（x﹣1）f（x）]′＞0，因此函数y=（x﹣1）f（x）在R上单调递增，对x分类讨论即可得出．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的减函数，f′（x）＜0，（f′（x）≠0）．
∴，化为f（x）+f′（x）x＞f′（x），
∴f（x）+f′（x）（x﹣1）＞0，
∴[（x﹣1）f（x）]′＞0，
∴函数y=（x﹣1）f（x）在R上单调递增，
而x=1时，y=0，则x＜1时，y＜0，
当x∈（1，+∞）时，x﹣1＞0，故f（x）＞0，
又f（x）是定义在R上的减函数，
∴x≤1时，f（x）＞0也成立，
∴f（x）＞0对任意x∈R成立．
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．
【考点】CF：几何概型．
【分析】根据对数不等式的解法求出不等式的等价条件，根据几何概型的概率公式进行计算即可．
【解答】解：由得≤x+≤2，
即0≤x≤，
∵0≤x≤4，
∴0≤x≤，
则对应的概率P==，
故答案为．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据对数的运算法则求出不等式的等价条件是解决本题的关键．
14．【考点】LG：球的体积和表面积．
【分析】把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．
【解答】解：由题意，设△ABC外接圆的圆心为E，球心为O，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，
AD=6，AB=AC=2，OE=3，
△ABC中，BC==6，
∴AE==2，∴球半径AO==．
所求球的表面积S=4π（）2=84π．
故答案为：84π．
【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力．
15．【考点】8I：数列与函数的综合．
【分析】求得=（n，），运用向量的夹角公式可得cosθn，再求sinθn，可得==﹣，运用裂项相消求和，即可得到所求和．
【解答】解：函数，
可得An（n，），=（n，），
cosθn===，
sinθn==，
可得==﹣，
则=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的夹角公式，同角的平方关系，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
16．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】由题意可得AC⊥CD，设CD=x，可得AD=x，AC=x，设∠ACB=α，运用余弦定理，求出BD 关于x的关系式，结合基本不等式即可得到所求最大值．
【解答】解：AB=2，，，，
可得AC⊥CD，
设CD=x，可得AD=x，AC=x，
设∠ACB=α，可得BD2=DC2+BC2﹣2DC•BC•cos（90°+α）
=x2+8﹣4x•（﹣sinα）=x2+8+4x•sinα，
在△ABC中，可得cosα==，
sinα=，
则BD2=x2+8+=（x2﹣12）++20
要求的最大值，则x2﹣12＞0，
再由a2+b2≥2ab，可得（）2≤，（a=b取得等号），
可得a+b≤．
即有BD2≤+20=16+20=36，
当x2﹣12=8，即x=2时，则的最大值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查向量垂直的条件：数量积为0，以及基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．
【考点】8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．
【分析】（1）利用递推关系即可得出．
（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．
【点评】本题考査了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．
【考点】BL：独立性检验．
【分析】（1）根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表．
（2）假设聋哑没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．
（3）列举法确定基本事件，即可求出概率．
【点评】本题考查独立性检验的应用，考查概率的计算，本题解题的关键是根据所给的数据填在列联表中，注意数据的位置不要出错．
19．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L Y：平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出AD⊥BD，BD⊥平面PAD，由此能证明平面MBD⊥平面PAD．
（2）取AD中点为O，则PO是四棱锥的高，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．
【点评】本题本题考査空间面面关系判定及向何体体积的计算，考查面面垂直的证明，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．20．
【考点】KC：双曲线的简单性质；KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）分别求得A1P与A2Q的方程，两式相乘，化简整理即可求得动点M的轨迹D的方程；（2）当直线斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利益韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得
实数λ的取值范围．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标，考查计算能力，属于中档题．
21．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）求出函数的导数，通过当m≤2时，当m≥e+1时，当2＜m＜e+1时，分别判断函数的单调性求解函数的最小值．
（2）已知条件等价于f（x1）min≤g（x2）min，通过函数的导数求解函数的最值，然后推出实数m的取值范围．
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）直线的参数方程改写为，代入y2=16x，利用参数的几何意义求的值．【点评】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（1）由条件可得|x﹣1|≥2，即x﹣1≥2，或x﹣1≤﹣2，由此求得x的范围．
（2）不等式即|x﹣a|≤2x，求得x≥．再根据不等式f（x）≤3x的解集为{x|x≥2}，可得=2，由此求得a的值．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号，是解题的关键，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。