2021年上海市崇明区高考数学二模试卷(解析版)

2021年上海市崇明区高考数学二模试卷
一、填空题（每小题5分）.
1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1}，A∩B＝．
2．复数z＝i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应的点在第象限．
3．已知圆锥的底面面积为π，母线长为2，则该圆锥的高等于．
4．直线（t为参数）的一个方向向量可以是．
5．已知（1﹣x）n＝0，则实数x的取值范围是．
6．已知实数x，y满足条件，则z＝2x+y的最大值等于．
7．设f（x）＝lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．
8．已知（x﹣）n的二项展开式中，所有二项式系数的和等于64，则该展开式中常数项的值等于．
9．已知等差数列{x n}的公差d＞0，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x9，则方差Dξ＝．
10．某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于.（用数字作答）
11．设y＝f﹣1（x）是函数f（x）＝+sin x+，x∈[﹣，]的反函数，则函数y＝f （x）+f﹣1（x）的最小值等于．
12．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣3，a）作圆x2+y2﹣2x＝0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．若（x2﹣x1）（x2+x1）+（y2﹣y1）（y2+y1﹣2）＝0，则实数a的值等于．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
13．关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵为（）
A．B．
C．D．
14．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝﹣x3B．y＝C．y＝lgx D．y＝sin x
15．数列{a n}满足a1＝2，则“对任意的p，r∈N*，都有a p+r＝a p a r是“{a n}为等比数列”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
16．已知以下三个陈述句：
p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（2x﹣a）＜f（2x）+f（a）恒成立；
q1：函数y＝f（x）是减函数，且对任意的x∈R，都有f（x）＞0；
q2：函数y＝f（x）是增函数，存在x0＜0，使得f（x0）＝0；
用这三个陈述句组成两个命题，命题S：“若q1，则p．”；命题T：“若q2，则p”．关于S，T，以下说法正确的是（）
A．只有命题S是真命题
B．只有命题T是真命题
C．两个命题S，T都是真命题
D．两个命题S，T都不是真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】
17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝，A1A＝4，点M为线段A1A的中点．
（1）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积；
（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）
18．已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．
19．某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x件，需另投入成本为C（x）当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时.（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（件）的函数解析式：
（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
20．（16分）双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B是双曲线C 上一点．
（1）当b＝2时，求双曲线两条渐近线的夹角；
（2）若直线BF的倾斜角为，与双曲线C的另一交点为D，且|BD|＝8，求b的值；
（3）若＝0，且||＝||，点E是双曲线C上位于第一象限的动点，求证：∠EFA＝2∠EAF．
21．（18分）对于数列{a n}，定义{△a n}为数列{a n}的差分数列，其中△a n＝a n+1﹣a n，n∈N*，如果对任意的n∈N*，都有△a n+1＞△a n，则称数列{a n}为差分增数列．
（1）已知数列1，2，4，x，16，24为差分增数列，求实数x的取值范围；
（2）已知数列{a n}为差分增数列，且a1＝a2＝1，a n∈N*．若a k＝2021，求非零自然数k 的最大值；
（3）已知项数为2k的数列{log3a n}（n＝1，2，3，…，2k）是差分增数列，且所有项的和等于k，证明：a k a k+1＜3．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1}，A∩B＝{0，1}．【分析】直接根据交集的定义即可求出．
解：集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1}，
则A∩B＝{0，1}，
故答案为：{0，1}．
2．复数z＝i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应的点在第二象限．【分析】由i（1+i）＝﹣1+i，由此能求出复数i（1+i）的复数在复平面内对应的点所在的象限．
解：∵i（1+i）＝i+i2＝﹣1+i，
∴i（1+i）即复数为﹣1+i，
∴﹣1+i在复平面内对应的点（﹣1，1）位于第二象限．
故答案为：二．
3．已知圆锥的底面面积为π，母线长为2，则该圆锥的高等于．【分析】求出圆锥的底面半径，结合勾股定理求解圆锥的高即可．
解：圆锥的底面面积为π，所以圆锥的底面半径为：r，
πr2＝π，解得r＝1，母线长为2，
则该圆锥的高：＝．
故答案为：．
4．直线（t为参数）的一个方向向量可以是．【分析】先将直线的参数方程化为一般方程，求出直线的斜率，得到直线的方向向量．解：把直线（t为参数）化为一般方程为2x+y﹣5＝0，
因为直线2x+y﹣5＝0的斜率为﹣2，
故直线（t为参数）的一个方向向量可以是．
故答案为：．
5．已知（1﹣x）n＝0，则实数x的取值范围是（0，2）．
【分析】结合题意得到关于x的不等式，解出即可．
解：∵（1﹣x）n＝0，
∴﹣1＜1﹣x＜1，
解得：0＜x＜2，
故答案为：（0，2）．
6．已知实数x，y满足条件，则z＝2x+y的最大值等于3．解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，A（1，1），
由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为3．
故答案为：3．
7．设f（x）＝lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【分析】由题意，f（x）＝lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．
解：由题意，f（x）＝lgx在（0，+∞）上单调递增，
∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，
∴1﹣a＞a＞0，
∴a∈，
故答案为
8．已知（x﹣）n的二项展开式中，所有二项式系数的和等于64，则该展开式中常数项的值等于60．
解：∵（x﹣）n的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n＝64，则n＝6，故展开式的通项公式为T r+1＝C6r•x6﹣r•（﹣2）r x﹣2r＝C6r•x6﹣3r•（﹣2）r，
令6﹣3r＝0，求得r＝2，
可得展开式中常数项等于C62（﹣2）2＝60．
故答案为：60．
9．已知等差数列{x n}的公差d＞0，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x9，则方差Dξ＝．
解：因为{x n}是等差数列，公差为d，
所以，
所以方差Dξ＝[（x1﹣x5）2+（x2﹣x5）2+…+（x9﹣x5）2]＝
＝．
故答案为：．
10．某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于.（用数字作答）
解：根据题意，农场主与6名同学站成一排，有A77＝5040种不同的站法，
若农场主站在中间，有A66＝720种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有4A22A44＝192种站法，
则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有A66﹣4A22A44＝528种站法，
则其概率P＝＝，
故答案为：．
11．设y＝f﹣1（x）是函数f（x）＝+sin x+，x∈[﹣，]的反函数，则函数y＝f （x）+f﹣1（x）的最小值等于．
【分析】先求出f（x）的值域，从而得到y＝f﹣1（x）的定义域，进而得到y＝f（x）+f﹣1（x）的定义域，利用f（x）与f﹣1（x）的单调性相同，分别求解即可．
解：因为函数f（x）＝+sin x+在x∈[﹣，]上是单调递增函数，
又y＝f﹣1（x）是函数f（x）的反函数，
所以f（x）与f﹣1（x）的单调性相同，
函数f（x）在x∈[﹣，]上的值域为[﹣，]，
函数y＝f（x）+f﹣1（x）的定义域为[﹣，]，
因为，故，
所以y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为＝．
故答案为：．
12．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣3，a）作圆x2+y2﹣2x＝0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．若（x2﹣x1）（x2+x1）+（y2﹣y1）（y2+y1﹣2）＝0，则实数a的值等于4．
解：x2+y2﹣2x＝0化为：（x﹣1）2+y2＝1，可得圆心C（1，0）．
∵（x2﹣x1）（x2+x1）+（y2﹣y1）（y2+y1﹣2）＝0，
∴﹣+﹣﹣2（y2﹣y1）＝0，
利用圆的方程可得：+﹣2x2＝0，+﹣x1＝0，
∴﹣2x1+2x2﹣2（y2﹣y1）＝0，
∴＝1，
由圆的切线性质可得：k MN•k CP＝﹣1，∴•＝﹣1，
∴1•＝﹣1，解得a＝4．
故答案为：4．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
13．关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵为（）
A．B．
C．D．
解：的增广矩阵，
故选：C．
14．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝﹣x3B．y＝C．y＝lgx D．y＝sin x
解：y＝﹣x3在（0，1）上单调递减，不符合题意；
y＝my＝lgx为非奇非偶函数，不符合题意；
y＝sin x为奇函数且在（0，1）上单调递增．
故选：D．
15．数列{a n}满足a1＝2，则“对任意的p，r∈N*，都有a p+r＝a p a r是“{a n}为等比数列”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
解：对任意的p，r∈N*，都有a p+r＝a p a r，若a p＝0，则a p+r＝0，因此数列{a n}不是等比数列；
反之也不成立：例如取a n＝2，则a3＝2≠4＝a1a2，
∴“对任意的p，r∈N*，都有a p+r＝a p a r是“{a n}为等比数列”的既非充分也非必要条件，故选：D．
16．已知以下三个陈述句：
p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（2x﹣a）＜f（2x）+f（a）恒成立；
q1：函数y＝f（x）是减函数，且对任意的x∈R，都有f（x）＞0；
q2：函数y＝f（x）是增函数，存在x0＜0，使得f（x0）＝0；
用这三个陈述句组成两个命题，命题S：“若q1，则p．”；命题T：“若q2，则p”．关于S，T，以下说法正确的是（）
A．只有命题S是真命题
B．只有命题T是真命题
C．两个命题S，T都是真命题
D．两个命题S，T都不是真命题
【分析】由指数函数的单调性和不等式的性质，结合不等式恒成立思想，可判断结论．解：对于命题S：“若q1，则p”；
当f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立时，存在a＜0，此时2x﹣a＞2x，
而f（x）递减，所以f（2x﹣a）＜f（2x），
又因为f（x）＞0恒成立，
则f（a）＞0，则有f（2x﹣a）＜f（2x）+f（a）恒成立；
对于命题T：“若q2，则p”．
当f（x）递增，存在x0＜0，使得f（x0）＝0，
存在a＞0，则a＞x0，f（a）＞0，
由于a＞0，则2x﹣a＜2x，
而f（x）递增，则f（2x﹣a）＜f（2x），
故f（2x﹣a）＜f（2x）+f（a）恒成立，
命题T也为真命题．
两个命题S，T都是真命题．
故选：C．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】
17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝，A1A＝4，点M为线段A1A的中点．
（1）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积；
（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）
解：（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为×1×1＝，
侧面积为（1+1+）×4＝8+4，
所以直三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为2×+8+4＝9+4；
（2）因为BC∥B1C1，所以∠MBC（或补角）即为异面直线BM与B1C1所成的角．连接CM，在三角形MBC中，BC＝，BM＝＝，CM＝，
可得cos∠MBC＝＝＝．
所以异面直线BM与B1C1所成的角的大小为arccos．
18．已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．
【分析】先将原函数化简为y＝A sin（ωx+φ）+b的形式
（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，]上的最值．
（2）将x0代入化简后的函数解析式可得到sin（2x0+）＝，再根据x0的范围可求出cos（2x0+）的值，
最后由cos2x0＝cos（2x0+）可得答案．
解：（1）由f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1，得
f（x）＝（2sin x cos x）+（2cos2x﹣1）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+）
所以函数f（x）的最小正周期为π．
因为f（x）＝2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（0）＝1，f（）＝2，f（）＝﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．
（Ⅱ）由（1）可知f（x0）＝2sin（2x0+）
又因为f（x0）＝，所以sin（2x0+）＝
由x0∈[，]，得2x0+∈[，]
从而cos（2x0+）＝﹣＝﹣．
所以
cos2x0＝cos[（2x0+）﹣]＝cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin＝．19．某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x件，需另投入成本为C（x）当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时.（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（件）的函数解析式：
（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解：（1）∵①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，
∴L（x）＝50x﹣x2﹣10x﹣250＝﹣x2+40x﹣250；
②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，
∴L（x）＝50x﹣51x﹣+1450﹣250＝1200﹣（x+）．
综合①②可得，L（x）＝．
（2）①当0＜x＜80时，L（x）＝﹣x2+40x﹣250＝﹣（x﹣60）2+950，
∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；
②当x≥80时，L（x）＝1200﹣（x+）≤1200﹣2＝1200﹣200＝1000，
当且仅当x＝，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．
综合①②，由于950＜1000，
∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元20．（16分）双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B是双曲线C 上一点．
（1）当b＝2时，求双曲线两条渐近线的夹角；
（2）若直线BF的倾斜角为，与双曲线C的另一交点为D，且|BD|＝8，求b的值；
（3）若＝0，且||＝||，点E是双曲线C上位于第一象限的动点，求证：∠EFA＝2∠EAF．
解：（1）由b＝2，可得双曲线的方程为x2﹣＝1，渐近线方程为y＝±2x，
则双曲线两条渐近线的夹角的正切值为||＝，
即有夹角为arctan；
（2）直线BF的斜率为tan＝1，又F（，0），则直线BF的方程为y＝x﹣，设B（x1，y1），D（x2，y2），
由可得（1﹣）y2+2y+b2＝0，
所以y1+y2＝﹣，y1y2＝，
所以|BD|＝|y1﹣y2|＝•＝8，
化为1﹣＝，解得b＝；
（3）证明：令x＝c＝，则c2﹣＝1，解得y＝±b＝±b2，
由BF⊥AF时，|BF|＝b2，而|AF|＝1+，所以b2＝1+，
解得b＝，即双曲线的方程为x2﹣＝1，A（﹣1，0），F（2，0），
设E（m，n），可得n2＝3（m2﹣1），
tan∠EFA＝，tan∠EAF＝，
所以tan2∠EAF＝＝＝＝＝tan∠
EFA，
因为E为第一象限的点，可得∠EFA＝2∠EAF．
21．（18分）对于数列{a n}，定义{△a n}为数列{a n}的差分数列，其中△a n＝a n+1﹣a n，n∈N*，如果对任意的n∈N*，都有△a n+1＞△a n，则称数列{a n}为差分增数列．
（1）已知数列1，2，4，x，16，24为差分增数列，求实数x的取值范围；
（2）已知数列{a n}为差分增数列，且a1＝a2＝1，a n∈N*．若a k＝2021，求非零自然数k 的最大值；
（3）已知项数为2k的数列{log3a n}（n＝1，2，3，…，2k）是差分增数列，且所有项的和等于k，证明：a k a k+1＜3．
【解答】（1）解：数列1，2，4，x，16，24的差分数列为1，2，x﹣4，16﹣x，8，由题意可得，解得8＜x＜10，
故实数x的取值范围是（8，10）．
（2）解：由题意，△a1＝0，△a n∈N，
因为数列{a n}为差分增数列，所以对任意的n∈N*，都有△a n+1＞△a n，
所以△a2＞△a1＝0，△a2≥1，同理，△a3≥2，…，△a k≥k﹣1，k∈N*，
所以当k≥2时，a k＝a1+△a1+△a2+…+△a k﹣1≥1+1+2+…+（k﹣2）＝1+，所以2021≥1+，
解得k≤65，
所以非零自然数k的最大值为65．
（3）证明：假设a k a k+1≥3，
由题意知a n＞0（n＝1，2，3，…，2k），
因为项数为2k的数列{log3a n}所有项的和等于k，
所以log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a2k＝k，
即log3a1a2a3…a2k＝k，
所以a1a2a3…a2k＝3k，
因为数列{log3a n}（n＝1，2，3，…，2k）是差分增数列，
所以log3a n+1﹣log3a n＜log3a n+2﹣log3a n+1，
所以＜，因此＜＜＜…＜，
所以对任意的m≤k﹣1，m∈N*，都有＜，即a m+1a2k﹣m＜a m a2k+1﹣m，所以a1a2k＞a2a2k﹣1＞a3a2k﹣2＞…＞a k a k+1≥3，
所以a1a2a3…a2k＞3k与a1a2a3…a2k＝3k矛盾，
故假设不成立，所以a k a k+1＜3．。