湖南科技大学附中2014年高考数学一轮复习单元训练平面向量

湖南科技大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元训练：平面向量 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知O 是正三角形ABC 内部一点，230OA OB OC ++=，则OAC ∆的面积与OAB ∆ 的面积之比是( )
A ．32
B ．23
C ．2
D ．13
【答案】B
2
212,4-=⋅b a ，则a 与b 的夹角为( ) A ． 120 B ． 150
C ． 135
D ． 45
【答案】C
3．若平面向量(1,2)=-a 与b 的夹角是180
°，且||=b ，则b 等于( )
A ．(6,3)-
B ．(3,6)-
C ．(6,3)-
D ．(3,6)-
【答案】D
4．已知向量a ，b 满足|a|=2，|b|=1，(a-b)·b=0，那么向量a ，b 的夹角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
【答案】C
5．下列命中，正确的是( )
A ．|a |＝|b |⇒
a ＝b
B ．|a |＞|b |⇒a ＞b
C ．a ＝b ⇒a ∥b
D ．｜a ｜＝0⇒a ＝0
【答案】C
6．设向量,a b 满足：3
||2,,||222
a a
b a b =∙=
+=，则||b 等于( ) A ．
12
B ．1
C ．32
D ．2
【答案】B
7．已知向量(1,1),(1,)a x b y =-=，且a b ⊥，则22x y +的最小值为( )
A ．1
4
B ．13
C ．1
2 D ．1
【答案】C
8．已知0a b c ++=， 2,3,7,a b c a b ===
则向量
与的夹角为( )
A ．
30 B ．
45
C ．60
D ．120
【答案】D
9．如图， 非零向量,OA a OB b ==且,BC OA ⊥
C 为垂足，若OC a λ=，则λ=( )
A ．
2
a b a
⋅ B ．
a b a b
⋅⋅
C ．
2
a b b
⋅
D ．
a b
a b
⋅
【答案】A 10．已知向量)3,2(=a
)2,1(-=b ，若b a m 4+与b a 2-共线，则m 的值为( )
A ．
21 B ．2
C ．2-
D ． 2
1-
【答案】C
11．已知ABC ∆中，AB BC
AC CB ⋅=⋅且2AC AB BC +=，则ABC ∆的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
【答案】C
12．如图，在ABC ∆中，||||BA BC =，延长CB 到D ，使,AC AD AD AB AC λ
μ⊥=+若，则λμ-的值是( )
A ．1
B ．3
C ．-1
D ．2
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知向量),2,4(),5,1,2(x b a -=-=
，若a ⊥b ，则=x ___________；若//a b 则
=x ___________． 【答案】2 、 10-
14．设向量满足 b,若
,则
的值
是 【答案】4
15．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是___________。

【答案】圆
16．若a =)8,2(，b =)2,7(-，则2a b +=___________； 【答案】(12,12)-
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(65，0)，P(cos α，sin α)，其中0≤α≤π
2
．
(1)若cos α＝5
6
，求证：PA ⊥PO ；
(2)若PA ∥PO ，求sin(2α＋π
4
)的值．
【答案】(1)法一：由题设，知PA ＝(6
5
－cos α，－sin α)，
PO ＝(－cos α，－sin α)，
所以PA ·PO ＝(65
－cos α)(－cos α)＋(－sin α)2
＝－65cos α＋cos 2α＋sin 2
α
＝－6
5
cos α＋1.
因为cos α＝5
6，所以PA ·PO ＝0.故PA ⊥PO .
法二：因为cos α＝56，0≤α≤π2，所以sin α＝11
6，
所以点P 的坐标为(56，11
6)．
所以PA ＝(
1130，－116)，PO ＝(－56，－116)． PA ·PO ＝11
30×(－5
6)＋(－11
6)2＝0，故PA ⊥PO .
(2)由题设，知PA ＝(6
5
－cos α，－sin α)，
PO ＝(－cos α，－sin α)．
因为PA ∥PO ，所以－sin α·(6
5
－cos α)－sin αcos α＝0，即sin α＝0.
因为0≤α≤π
2
，所以α＝0.
从而sin(2α＋π4)＝2
2．
18．设向量)1,(),4,2(-==m b a 。

(1）若b a
⊥，求实数m 的值； (25，求实数m 的值。

【答案】（1）由b a ⊥，得0)1(42=-⨯+=⋅m b a ，得2=m ；
(2）由)3,2(m b a +=+53)2(22=++m ，解得2=m ，或6-=m 。

法25251)42(220222
2=++-+=+⋅+m m b b a a ，
解得2=m
，或6-=m 。

19．已知平面向量a )1,3(-=,b )2
3
,21(= (Ⅰ）若存在实数t k 和,满足x )2(+=t a )5(2
--+t t b ，y k -=a 4+b 且x ⊥y ，求出k 关
于t 的关系式)(t f k
=；
(Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论,试求出函数)(t f k =在)2,2(-∈t 上的最小值.
【答案】（Ⅰ）0a b ⋅=1
∴2
2
2
(2)()4(5)()0x y t k a t t b ⋅=-+⋅⋅+--⋅=
∴25)(2+--==t t t t f k (2-≠t ）
(Ⅱ）52
1
225)(2-+++=+--=
=t t t t t t f k ∵)2,2(-∈t ，∴02>+t ，
则352
1
2-≥-++
+=t t k ， 当且仅当12=+t ，即1-=t 时取等号，∴k 的最小值为-3 .
20．已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x x x x ==-a b ，其中[,]22
x ππ
∈-.
(1）求证：()()+⊥-a b a b ；
(2）设函数2
()f x =⋅+a b b ，求()f x 的最大值和最小值 【答案】（1）2
2
()()+⋅-=-=-=22
a b a b a b a b
2
22233cos
sin (cos sin )1102222
x x
x x +-+=-=
所以，()()+⊥-a b a b (2）2
()f x =⋅+a b b
33cos cos sin sin 12222
x x
x x =-+
cos21x =+ 当 2,x k k z π=∈ max 2y = 2,x k k z ππ=+∈ min 0y =
21．在四边形ABCD 中，
||12AD =，||5CD =，||10AB =，
||||DA DC AC +=，AB 在AC 方向上的投影为8；
(1)求BAD ∠的正弦值；(2)求BCD ∆的面积. 【答案】(1)
||||DA DC AC +=， 90ADC ∠=︒，
在Rt ADC ∆中，
||12AD =，||5CD =， 13BD =，12cos 13DAC ∠=
，5
sin 13DAC ∠=
， AB 在AC 方向上的投影为8， ||cos 8AB CAB ∠=，||10AB =4
cos 5CAB ∠=
， (0,)CAB π∠∈， 4sin 5CAB ∠=
56
sin sin()65BAD DAC CAB ∠=∠+∠=
(2)1sin 392ABC S AB AC BAC ∆=⋅⋅∠=，1
30
2ACD S AD CD ∆=⋅=，
1672sin 213ABD S AB AD BAD ∆=
⋅⋅∠= 22513BCD ABC ACD ABD S S S S ∆∆∆∆=+-=
22．已知向量(sin ,cos ),(3,1)m A A n ==-，1m n ⋅= 且 A 为锐角
(1）求角 A 的大小 (2）求函数
()cos 24cos sin f x x A x =+⋅ ()x R ∈的值域
【答案】（1）、由3sin cos 1m n A A ⋅=
-=得2sin()16
A π
-=
1sin()62A π-=
，又A 为锐角，663A πππ
∴-<-<
6
6
A π
π
∴-
=
3
A π
=
(2）、由（1）知：1
cos 2
A =
2213
()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin )22f x x x x x x =+=-+=--+
,sin [1,1]x R x ∈∴∈-
当1sin 2x =
时，()f x 有最大值32
当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-。

()f x 的值域是3
[3,]2
-。