2021年江苏省无锡市木渎高级中学高三数学文月考试卷含解析

2021年江苏省无锡市木渎高级中学高三数学文月考试卷含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知i为虚数单位，复数z满足iz=1+i，则（）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
参考答案：
【知识点】复数运算L4
A，故选A.
【思路点拨】由复数运算直接计算即可.
2. 方程C：y2=x2+所对应的曲线是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数的奇偶性和函数的最值即可判断．
【解答】解：当y＞0时，y=（x2+），该为函数为偶函数，故关于y轴对称，且y2=x2+≥2=2，当且仅当x=±1时，取等号，故最小值为2，
y2=x2+也关于x轴对称，
故选：D
3. “φ＝”是“函数为偶函数的”（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
4. 设函数满足，则时，的最小值为（）
A．B． C. D．
参考答案：
D
对于等式，因为，故此等式可化为：，且
.令，
..当时，，单调递增，故
，因此当时，恒成立.因为，所以恒成立.因此，在上单调递增，的最小值为.故本题正确答案为D.
5. 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )
A．求数列的前10项和(n∈N*)
B．求数列的前11项和(n∈N*)
C．求数列的前10项和(n∈N*)
D ．求数列
的前11项和(n ∈N *)
参考答案：
C 略
6. 定义运算,函数
图象的顶点坐标是（
），且
成
等比数列，则
的值为 .
参考答案： 14
略
7. 设变量x ，
y 满足约束条件：
.则目标函数z=2x+3y 的最小值为( )
A. 6
B. 7 C . 8 D . 23
参考答案：
B 略
8. 化简 A.
B.
C.
D.
参考答案：
D 略
9. 点是曲线
上任意一点，则点到直线的最小距离是
（ ）
A ．
B . C. D.
参考答案： B 略
10. 已知，那么的值是（ ）
A.
B. C.
D.
参考答案：
B 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知一组抛物线，其中a为1、3、5、7中任取的一个数，b为2、4、6、8中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行
的概率是
．
参考答案：
12. 以下命题：①若，则∥；②=（－1，1）在=
=
（3，4）方向上的投影为
；③若△ABC 中，a=5,b =8,c =7，则·=20；④若非零向量、满足，则．其中所有真命题的标号是。

参考答案：
①②④
13. 已知函数（，）的图象如图所示，其中，
，则函数．
参考答案：
依题意，，解得：，故，将点A带入，得：
，解得：.
故答案为：14. 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f （x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有
对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发
现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）= ．
参考答案：
2014
【考点】F3：类比推理．
【分析】由题意可推出（，1）为f（x）的对称中心，从而可得f（）+f（）=2f
（）=2，从而求f（）+f（）+f（）+…+f（）=2014的值．
【解答】解：f′（x）=x2﹣x+3，
由f′′（x）=2x﹣1=0得x0=，
f（x0）=1，
则（，1）为f（x）的对称中心，由于，
则f（）+f（）=2f（）=2，
则f（）+f（）+f（）+…+f（）=2014．
故答案为：2014．
15. 已知=，=，且与的夹角为锐角，则的取值范围是．参考答案：
且
略
16. 某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________．
参考答案：
由题意得共有
这15种，
其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有这6种，所以概率
为
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
17. 已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若，S2=a3，则a2=______，S n=_______。

参考答案：
，
因为，
所以，。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （2016?汉中二模）设函数f（x）=|2x﹣|+|2x+m|（m≠0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式．
【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式，结合基本不等式证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）求出f（x）min=3，若?x∈R，恒成立，则只需
．
【解答】（Ⅰ）证明：∵m＞0，，
当即时取“=”号…
（Ⅱ）解：当m=2时，f（x）=|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|=3
则f（x）min=3，若?x∈R，恒成立，
则只需，
综上所述实数t的取值范围是．…（10分）
【点评】本题考查绝对值三角不等式，考查基本不等式的运用，考查恒成立问题，属于中档题．19. 如图：ABCD是菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，
（1）若DC=2EF，求证：OE∥平面ADF；
（2）求证：平面AFC⊥平面ABCD；
（3）若AB=FB=2，AF=3，∠BCD=60°，求直线AF与平面ABCD所成角．
参考答案：
（1）见解析（2）见解析（3）30°
【详解】试题分析: （1）取AD的中点G，连接OG，FG，证明OGFE为平行四边形，可得OE∥FG，即可证明：OE∥平面ADF；
（2）欲证：平面AFC⊥平面ABCD，即证BD⊥平面AFC；
（3）做FH⊥AC于H，∠FAH为AF与平面ABCD所成角，即可求AF与平面ABCD所成角．试题解析：
(1)证明：取AD的中点G，连接OG，FG.
∵对角线AC与BD的交点为O，
∴OG∥DC，OG＝DC，
∵EF∥DC，DC＝2EF，∴OG∥EF，OG＝EF，∴OGFE为平行四边形，
∴OE∥FG，
∵FG?平面ADF，OE?平面ADF，
∴OE∥平面ADF；
(2)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴OC⊥BD，
∵FD＝FB，O是BD的中点，
∴OF⊥BD，
∵OF∩OC＝O，
∴BD⊥平面AFC，
∵BD?平面ABCD，
∴平面AFC⊥平面ABCD；
(3)解：作于，
因为平面平面，
所以平面, 则为与平面所成角．
由及四边形为菱形，得为正三角形，
则，．
又，
所以为正三角形，从而．
在中，由余弦定理，得，则，
从而，
所以与平面所成角的大小为．
20. （12分）（2014?郑州模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值，并判断当tan（A﹣B）取最大值时△ABC的形状．
参考答案：
考点：三角形的形状判断；基本不等式；两角和与差的正弦函数．
专题：计算题．
分析：（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式展开可求
（2）利用换元，结合基本不等式可求最大值取得的条件，从而可判断三角形的形状．
解答：解：（1）由可得2sinAcosB﹣2sinBcosA=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB?sinAcosB=3sinBcosA?=3（4分）
（2）设tanB=t，则tanA=3t且t＞0
tan（A﹣B）=（10分）
此时，故，△ABC为直角三角形（12分）
点评：本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦公、两角差的正切公式在解三角形中的应用，基本不等式在求解函数最值中的应用
21. （12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．
（1）求c；
（2）设为边上一点，且，求的面积．
参考答案：
（1）由得，
即，又，
∴，得.
由余弦定理.又∵代入并整理得，故. （2）∵，
由余弦定理.
∵，即为直角三角形，
则，得.
由勾股定理.
又，则，
. 22. 等差数列前项和为，已知对任意的，点在二次函数图象上。

（1）求，；
（2）若，求数列前项和.
参考答案：
解析：（1）点在二次函数的图象上，∴……1分
，，
又∵等差数列，∴，………………………3分
，………………6分
（2）…………7分
…………①………………8分
……②………………9分
①-②
………………11分
………………………………14分。