2022版高考数学一轮复习 练案(39理+38文)第六章 不等式 第二讲 一元二次不等式及其解法练

第二讲一元二次不等式及其解法
A组基础巩固
一、选择题
1．不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集是（D)
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
［解析］不等式（x＋5)(3－2x)≥6可化为2x2＋7x－9≤0，所以（2x＋9）（x－1）≤0，解得－错误!≤x≤1。

所以不等式(x＋5)(3－2x）≥6的解集是错误!。

故选D．2．下列四个解不等式不正确的是（A）
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x〉2或x<1｝
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是错误!
C．若不等式ax2＋8ax＋21〈0的解集是{x|－7<x〈－1｝，那么a的值是3
D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是（q,1)，则p＋q的值为－1
[解析]对于A，∵2x2－x－1＝(2x＋1）(x－1)，
∴由2x2－x－1>0得（2x＋1）(x－1)>0，
解得x〉1或x〈－1
2,
∴不等式的解集为错误!.故A错误;
对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
或x≤－错误!。

故B正确;
∴（2x－1）（3x＋2）≥0,∴x≥1
2
对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．∴－7×（－1）＝错误!，∴a＝3。

故C正确；
对于D，依题意q,1是方程x2＋px－2＝0的两根,
q＋1＝－p,即p＋q＝－1,故D正确．
3．（2021·重庆一中期中）“2〈m〈6"是“方程错误!－错误!＝1表示的曲线为双曲线”的(C）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[解析］方程表示双曲线⇔（m－2）(6－m）〉0⇔（m－2）（m－6）〈0⇔2<m<6，
故选C．
4．（2021·衡水中学调研卷)已知A＝{x｜x2－3x－4≤0,x∈N｝，B＝｛x|2x2－x－6〉0，x∈Z}，则A∩B的真子集个数为（B）
A．2B．3
C．7D．8
［解析]A＝{x｜（x－4）（x＋1）≤0,x∈N｝＝｛x｜－1≤x≤4，x∈N｝＝｛0,1，2,3，4｝,B＝｛x｜（2x＋3）（x－2)〉0，x∈Z}＝错误!，∴A∩B＝｛3，4｝，其真子集个数为22－1＝3.
5．（2021·山东临沂质检）函数y＝ln（2x＋1）＋4－x2的定义域为(B）
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
［解析]由题意可知：错误!解得－错误!〈x≤2。

故选B．
6．(2021·湖南长沙雅礼中学月考）关于x的不等式ax－b〈0的解集是（1，＋∞），则关于x的不等式（ax＋b)·(x－3）〉0的解集是（C）
A．(－∞，－1）∪（3，＋∞）B．（1，3）
C．（－1，3）D．(－∞，1)∪(3,＋∞）
[解析］本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的求解．
关于x的不等式ax－b〈0,即ax〈b的解集是（1，＋∞）,∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b）（x－3)〉0，可化为（x＋1)(x－3）<0,解得－1<x〈3，∴所求不等式的解集是（－1,3）,故选C．
7．（2021·山东枣庄三中学情调查）若不等式ax2＋bx－2<0的解集为错误!，则ab等于（C）
A．－28B．－26
C．28D．26
［解析］本题考查根据一元二次不等式的解集求参数．∵不等式ax2＋bx－2<0的解集为错误!,∴－2,错误!是一元二次方程ax2＋bx－2＝0的两个实数根，且a>0。

∴错误!解得错误!∴ab＝28。

故选C．
8．（2021·山东淄博模拟)若存在x∈R,使ax2＋2x＋a〈0，则实数a的取值范围是（A）
A．（－∞,1）B．（－∞，1]
C．（－1，1）D．(－1，1］
［解析］“存在x∈R,使ax2＋2x＋a<0”的否定为“对任意x∈R,都有ax2＋2x＋a≥0”，下面先求对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a≥0恒成立时a的范围．
①当a＝0时，该不等式可化为2x≥0，即x≥0，显然不合题意；
②当a≠0时,有错误!解得a≥1。

综合①②得a的范围为[1,＋∞）,所以存在x∈R,使ax2＋2x＋a〈0的a的取值范围为（－∞，1）．
9．(2021·广东广州期末）已知函数f（x)＝ax2－x－c,且不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2〈x<1｝，则函数y＝f（－x)的图象为（B）
［解析］∵不等式ax2－x－c〉0的解集为{x｜－2〈x<1}，∴a<0，方程ax2－x－c＝0的两个根为－2和1，则－2＋1＝错误!，－2×1＝－错误!，∴a＝－1,c＝－2，∴f（x）＝ax2－x－c＝－x2－x＋2，∴f（－x）＝－x2＋x＋2，其图象开口向下，与x轴交于点（－1,0），（2,0）．故选B．
二、填空题
10．不等式－x2－3x＋4〉0的解集为__{x｜－4<x〈1}__．
［解析]－x2－3x＋4>0⇔x2＋3x－4<0⇔（x＋4)(x－1)〈0⇔－4〈x〈1.
11．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集,则实数m的取值范围是错误!.
［解析］由题意,知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝（－4)2－4×3m≤0，解得m≥错误!。

12．(2021·四川泸县四中线上月考）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为｛x｜
2<x〈3}，则关于x的不等式cx2＋bx＋a〈0的解集为错误!∪错误!.
［解析］本题考查一元二次不等式的解法．由ax2＋bx＋c〉0的解集为｛x｜2〈x〈3}
＝5，错误!＝可知a〈0,且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知－b
a
6，由a〈0易知c<0，－错误!＝错误!,错误!＝错误!，故不等式cx2＋bx＋a〈0可化为x2＋错误!x＋错误!>0，即x2－错误!x＋错误!>0,解得x〈错误!或x>错误!，所以不等式cx2＋bx＋a〈0的解集为错误!∪错误!。

13．（2021·江西八校联考）已知f(x)＝错误!则不等式x2·f(x）＋x－2≤0的解集是__｛x|x〈2｝．__
［解析］原不等式可化为错误!或错误!
解得x〈2。

三、解答题
14．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3〉0。

[解析］x2－(a＋a2）x＋a3〉0⇒（x－a2）（x－a）>0，
当a〈0时，x<a或x〉a2；当a＝0时，x〈0或x>0；
当0〈a〈1时，x〈a2或x〉a；
当a＝1时，x<1或x>1；当a〉1时，x〈a或x〉a2.
综上可知:①当a〈0或a〉1时，不等式解集为{x｜x<a或x〉a2}；
②当a＝0时,不等式解集为｛x|x〈0或x>0｝；
③当a＝1时,不等式解集为｛x｜x〉1或x<1｝；
④当 0<a<1时,不等式解集为{x｜x<a2或x>a}．
15．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k〈0(k≠0)．
（1）若不等式的解集为｛x｜x〈－3或x>－2｝,求k的值;
（2）若不等式的解集为错误!,求k的值；
(3）若不等式的解集为R，求k的取值范围;
（4）若不等式的解集为∅，求k的取值范围．
［解析]（1)由不等式的解集为{x|x〈－3或x〉－2｝可知k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，
∴（－3）＋(－2）＝错误!，解得k＝－错误!。

（2）由不等式的解集为错误!
可知错误!解得k＝－错误!。

（3)依题意知错误!解得k<－错误!。

（4）依题意知错误!解得k≥错误!。

B组能力提升
1．(2021·山东洛阳一中月考题）不等式x2－2x－3≥3a－a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（A）
A．（－∞,－1]∪［4，＋∞）B．［－1,4］
C．［4,＋∞）D．［－2，5]
［解析]x2－2x－3＝（x－1)2－4的最小值为－4,所以x2－2x－3≥3a2－a2对任意实数x恒成立,只需3a－a2≤－4,解得a≤－1或a≥4,故选A．
2．在关于x的不等式x2－(a＋1）x＋a〈0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是（D)
A．(－3,5）B．（－2，4)
C．[－3,5］D．［－2，4］
［解析］关于x的不等式x2－（a＋1)x＋a<0可化为（x－1）（x－a）〈0.当a〉1时，不等式的解集为(1，a）；当a<1时，不等式的解集为（a，1)．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2。

又当a＝1时，不等式的解集为∅,符合题意．所以a的取值范围是［－2，4］,故选D．
3．(2021·江西南昌重点校联考）如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（A)
A．（0,1）B．（－2，1）
C．(－2,0)D．（－2，错误!）
［解析］记f（x）＝x2＋(m－1)x＋m2－2,依题意有错误!即错误!解得0〈m〈1。

选A．
4．（2021·山西大同一中模拟）已知函数f（x)＝错误!若f(3－a2)<f（2a)，则实数a的取值范围是__（－3，1）__．
［解析］作出函数f（x）的图象如图,
由图可知,函数f（x)为单调递减函数,
∵f(3－a2）<f（2a)，∴3－a2>2a，解得－3〈a<1。

5．（2021·河北正定中学月考）已知f（x）＝ax2＋x－a，a∈R。

（1）若不等式,f（x)>（a－1）x2＋（2a＋1）x－3a－1对任意的x∈［－1,1］恒成立，求实数a的取值范围；
（2)若a<0，解不等式f(x)>1。

[解析]（1）原不等式等价于x2－2ax＋2a＋1〉0对任意的x∈［－1，1］恒成立，设g（x）＝x2－2ax＋2a＋1＝（x－a)2－a2＋2a＋1,x∈［－1，1]；
①当a〈－1时，g（x)min＝g(－1）＝1＋2a＋2a＋1>0，无解；
②当－1≤a≤1时,g（x)min＝g（a)＝－a2＋2a＋1〉0，得1－错误!〈a≤1；
③当a>1时，g（x）min＝g（1）＝1－2a＋2a＋1〉0，得a〉1。

综上，实数a的取值范围为(1－2，＋∞）．
(2）f（x）〉1，即ax2＋x－a－1〉0，即(x－1）(ax＋a＋1)>0，
因为a<0，所以（x－1)(x＋错误!)〈0，
因为1－错误!＝错误!,
所以当－错误!〈a<0时，1〈－错误!,
解集为错误!；
当a＝－错误!时，不等式可化为(x－1）2〈0，不等式无解;
当a〈－错误!时，1〉－错误!，解集为错误!。