2019-2020学年高中数学第一章统计案例1.2独立性检验的基本思想及其初步应用练习含解析新人教A版选修1-2

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
[A 基础达标]
1．下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出( )
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的比为60%
解析：选C.由等高条形图知：女生喜欢理科的比例为20%，男生不喜欢理科的比例为40%，因此，B、D不正确．从图形中看出，男生比女生喜欢理科的可能性大些．
2．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是( )
A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾
B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾
C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人
D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有
解析：选D.这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D.
3．某大学数学学院学生会为了调查爱好羽毛球运动与性别是否有关，随机询问110名性别不同的大学生是否爱好羽毛球运动，得到如下的列联表：
附表：
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好羽毛球运动与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好羽毛球运动与性别无关”
C ．有99%以上的把握认为“爱好羽毛球运动与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好羽毛球运动与性别无关”
解析：选C.因为k ≈7.8>6.635，但7.8<10.828，所以有99%以上的把握认为“爱好羽毛球运动与性别有关”，故选C.
4．通过随机询问100名小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：
A ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为爱吃零食与性别有关
B ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为爱吃零食与性别无关
C ．有97.5%以上的把握认为爱吃零食与性别有关
D ．有97.5%以上的把握认为爱吃零食与性别无关
解析：选A.因为k ＝100×（10×30－20×40）
2
50×50×30×70≈4.762>3.841，所以在犯错误的概率不
超过0.05的前提下，认为爱吃零食与性别有关．故选A.
5．假设有两个分类变量X 与Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表为：
( ) A ．a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2 B ．a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5 D ．a ＝2，b ＝3，c ＝5，d ＝4
解析：选D.比较⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎪a a ＋b －c c ＋d 的大小，值越大，说明两个分类变量关系性越强．
选项A 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪59－35＝2
45；
选项B 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪58－46＝1
24；
选项C 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－49＝2
45；
选项D 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－59＝7
45
.
6．为了考察长头发与女性头晕是否有关系，随机抽取了301名女性，得到如下列联表，试根据表格中已有数据填空．
解析：题表中最右侧的总计是对应的行上的两个数据的和，由此可求出①和②；而题表中最下面的总计是对应的列上两个数据的和，由刚才的结果可求得③④.
答案：86 180 229 301
7．在一个2×2列联表中，由其数据计算得K 2
的观测值k ＝7.097，则这两个变量间有关系的可能性为__________．(填百分数)
解析：因为7.097＞6.635，所以我们有99%的把握认为这两个变量有关系． 答案：99%
8．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天内的结果如表所示：
解析：根据独立性检验的基本思想，可知其类似反证法，即要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立．对本题，进行统计分析时的统计假设应是“小白鼠的死亡与剂量无关”．
答案：小白鼠的死亡与剂量无关
9．在研究某种新措施对猪白痢的治疗效果时，得到了以下数据：
解：作出等高条形图如图所示．
图中两个深色条的高分别表示用新措施和未用新措施样本中死亡的频率．
由等高条形图可以看出用新措施的组中的猪的死亡频率明显低于未用新措施的组中猪的死亡频率，
因此我们直观上可以认为新措施对治疗猪白痢是有效的．
10．某地发生核泄漏后，专家为检测当地动物受不同强度的核辐射后对身体健康影响的差异，随机选取了110只羊进行检测(假设这110只羊都受到了辐射)，其中身体健康的50只中有30只受到了严重辐射，20只受到了轻微辐射，余下的60只身体不健康的羊中有50只受到了严重辐射，10只受到了轻微辐射．
(1)作出2×2列联表；
(2)判断有多大把握认为羊受到不同强度的核辐射对身体健康的影响有差异． 解：(1)依题意，得2×2列联表：
(2)k ＝110×（30×10－20×50）2
50×60×80×30
≈7.486.
因为7.486>6.635，所以有99%以上的把握认为羊受到不同强度的核辐射对身体健康的影响有差异．
[B 能力提升]
11．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不
同的居民是否能做到“光盘”行动，得到列联表：
A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C ．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D ．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 解析：选C.列出列联表：
所以k ＝100×（45×15－30×10）2
75×25×55×45≈3.030，
又3.030>2.706，且P (K 2
≥2.706)≈0.10，
所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为该市居民能否做到“光盘”与性别有关． 12．有两个分类变量X ，Y ，其一组的列联表如下所示：
其中a ，15－a 均为大于50.05的前提下认为X ，Y 有关，则a 的值为________．
解析：根据公式，得K 2
的观测值k ＝65×[a （30＋a ）－（15－a ）（20－a ）]2
20×45×15×50
＝
13×（13a －60）
2
20×45×3×2
＞3.841，根据a ＞5且15－a ＞5，a ∈Z ，求得a ＝8，9满足题意．
答案：8或9
13．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：
已知从这30人中随机抽取1人，抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是
8
15
.将上面
的列联表补充完整，并据此分析能否有95%以上的把握认为对“中国式过马路”的态度与性别有关．
解：补充完整的列联表如下：
因为K2的观测值k＝
16×14×16×14
≈1.158<3.841，所以没有95%以上的把握认为对“中国式过马路”的态度与性别有关．
14．(选做题)某地区甲校高二年级有1 100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如表：(已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%) 甲校高二年级数学成绩：
(2)若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异？”
解：(1)x＝10，y＝15.
甲校的平均分为
55×10＋65×25＋75×35＋85×30＋95×10
110≈75.
乙校的平均分为
55×15＋65×30＋75×25＋85×15＋95×5
90
≈71.
(2)数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，得到列联表：
所以K 2
的观测值
k ＝200×（40×70－20×70）2
110×90×60×140≈4.714，
又因为4.714>3.841，
故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”．。