欣宜市实验学校二零二一学年度高二数学下学期期中试题理含解析试题 2_1

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度2021－2021
学年第二学期期中考试
高二数学〔理〕
一、选择题：此题一共12小题，每一小题4分，一共48分。

每一小题只有一个选项是最符合题意的。

1.无理数是实数，是无理数，所以是实数．以上三段论推理
A.正确
B.推理形式不正确
C.两个“无理数〞概念不一致
D.两个“实数〞概念不一致
【答案】A
【解析】
【分析】
分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．
【详解】解：∵无理数是实数，是无理数，所以是实数．
大前提：无理数是实数是正确的，
小前提：是无理数是正确的，
结论：是实数是正确的，
∴这个推理是正确的，
应选：A．
【点睛】此题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进展运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个根底题．
2.i是虚数单位，那么的虚部是
A.i
B.－i
C.
D.－【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用分式代数形式的乘除运算化简求得答案．
【详解】解：∵，
∴复数的虚部是．
应选：D．
【点睛】此题考察了分式代数形式的乘除运算，考察了复数的根本概念，是根底题．
3.函数f(x)＝cosx在点〔0，f(0)〕处的切线方程为
A.x－y＋1＝0
B.x－y－1＝0
C.y－1＝0
D.x＋1＝0
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线的方程．
【详解】解：函数f(x)＝cosx的导数为f′〔x〕＝﹣sin x，
即有在点〔0，f〔0〕〕处的切线斜率为k＝﹣sin0＝0，
切点为〔0，1〕，
那么在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程为y﹣1＝，
即为y－1＝0．
应选：C．
【点睛】此题考察导数的运用：求切线的方程，注意运用导数的几何意义和直线的方程，考察运算才能，属于根底题．
4.分析法又叫执果索因法，假设使用分析法证明：“a＞b＞0，求证：－＜．〞最终的索因应是
A.＜1
B.＞1
C.1＜
D.a－b＞0【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得，要证－＜，经过分析，只要证1＜，从而得出结论．
【详解】解：由a＞b＞0，可得
要证－＜，a，只要证，
即证，即证，
即证，即证1＜．
故求证“－＜〞索的因应是1＜，
应选：C．
【点睛】此题主要考察用分析法证明不等式，属于根底题．
0个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法
A.种
B.－种
C.种
D.种
【答案】C
【解析】
【分析】
不相邻问题采用“插空法〞.
【详解】解：∵10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排，
∴采用插空法来解，
另外六人，有种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁，
有种结果，
根据分步计数原理知一共有•，
应选：C．
【点睛】此题考察排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．
A.复数a＋bi不是纯虚数
B.假设x＝1，那么复数z＝(－1)＋(x＋1)i为纯虚数
C.假设(－4)＋(＋3x＋2)i是纯虚数，那么实数x＝±2
D.假设复数z＝a＋bi，那么当且仅当b≠0时，z为虚数
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的分类逐一判断选项即可.
【详解】对于Ａ，时，复数a＋bi是纯虚数，错误；
对于B，当x＝1，复数z＝2i为纯虚数，正确；
对于C，(－4)＋(＋3x＋2)i是纯虚数，那么，
即x＝2，故错误；
对于D，复数z＝a＋bi，未注明为实数，故错误；
应选：B
【点睛】此题考察复数的分类，考察学生对根本概念的理解与运用，属于根底题.
7.假设函数f(x)＝＋x，那么＝
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用微积分根本定理即可得到结果.
【详解】∵f(x)＝＋x，
∴
应选：C
【点睛】此题考察微积分根本定理，考察函数的表达式，考察运算才能.
8.今有2个红球、2个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这7个球排成一列的不同方法有
A.210种
B.162种
C.720种
D.840种
【答案】A
【解析】
【分析】
先在7个位置中选3个位置排白球，有种排法，再从剩余的4个位置中选2个位置排红球，有种排法，剩余的2个位置排黄球有种排法，由乘法原理可得答案．
【详解】解：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题．
先在7位置中选3个位置排白球，有种排法，再从剩余的4个位置中选2个位置排红球，有种排法，剩余的2个位置排黄球有种排法，
所以一共有••＝210．
应选：A
【点睛】此题考察排列组合的根本知识．分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是根底方法．
9.i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，那么“点M在第四象限〞是“a＝1〞的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
把复数的表示形式写成HY形式，根据复数在第四象限，得到复数的坐标所满足的条件，横标大于零，纵标小于零，得到a的取值范围，得到结果．
【详解】解：∵复数z＝〔a﹣2i〕〔1+i〕＝a+2+〔a﹣2〕i，
∴在复平面内对应的点M的坐标是〔a+2，a﹣2〕，
假设点在第四象限那么a+2＞0，a﹣2＜0，
∴﹣2＜a＜2，
∴“点M在第四象限〞是“a＝1〞的必要而不充分条件，
应选：B．
【点睛】此题考察充要条件问题，考察复数的代数表示法及其几何意义，考察各个象限的点的坐标特点，此
题是一个根底题．
10.观察以下各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，，…，那么＝
A.521
B.322
C.123
D.199【答案】B
【解析】
【分析】
观察1，3，4，7，11，…的规律，利用归纳推理即可得到第12个数的数值．
【详解】解：等式的右边对应的数为1，3，4，7，11，…
其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第12项．
∴对应的数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，第12项为322，
应选：B．
【点睛】此题考察归纳推理的应用，得到等式的右边数的规律是解决此题的关键，比较根底．
11.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中互相平行或者互相垂直的有
A.24对
B.16对
C.18对
D.48对【答案】C
【解析】
【分析】
考虑相对面的互相平行或者互相垂直的情况即可，相对面中，互相平行的有2对，互相垂直的4对.【详解】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，互相平行或者互相垂直，
那么考虑相对面的互相平行或者互相垂直的情况即可.
相对面中，互相平行的有2对，互相垂直的4对，一共6对，
正方体有三组相对面，故3×6=18，
【点睛】此题考察空间直线平行与垂直的判断，考察空间想象才能，考察分类讨论思想，属于中档题.
12.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处获得极大值，那么函数y＝
f′(x)的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题设条件知：当﹣2＜x＜0以及x＞0时，f′(x)的符号；当x＝﹣2时，f′(x)＝0；当x＜﹣2时，f′(x)符号．由此观察四个选项可以得到正确结果．
【详解】解：∵函数f〔x〕在R上可导，其导函数f′〔x〕，
且函数f〔x〕在x＝﹣2处获得极大值，
∴当x＞﹣2时，f′〔x〕＜0；
当x＝﹣2时，f′〔x〕＝0；
当x＜﹣2时，f′〔x〕＞0．
∴当﹣2＜x＜0时，f′(x)＞0；x＞0时，f′(x)＜0；
当x＝﹣2时，f′(x)＝0；
当x＜﹣2时，f′(x)＜0．
【点睛】此题考察利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分。

13.i为虚数单位，设复数在复平面内对应的点关于原点对称，假设＝－20＋18i，那么＝
______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用复数对应的点的坐标，求出对称点的坐标，即可得到复数．
【详解】解：设复数在复平面内对应的点关于原点对称，复数的实部相反，虚部相反，
＝－20＋18i，
所以＝20－18i．
故答案为：20－18i．
【点睛】此题考察复数的几何意义，对称点的坐标的求法，根本知识的应用．
14.的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为______．
【答案】8
【解析】
【分析】
，令x＝1，x＝﹣1，两式相减可得结论．
【详解】设
令x=1，可得
令x=，可得，
两式相减可得：，
故答案为：8
【点睛】此题考察二项式定理的运用，考察赋值法的运用，考察学生的计算才能，比较根底．
15.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是2的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，那么这两个正方形重叠局部的面积恒为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，由四边形ABCD为正方形，得到OB＝OA，∠BOA＝90°，∠MBO＝∠OAN＝45°，而四边形ORQP为正方形，得∠NOM＝90°，所以∠MOB＝∠NOA，那么△OBM≌△OAN，即可得到S四边形MONB＝S△AOB.
【详解】解：连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，
如图示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OA，∠BOA＝90°，∠MBO＝∠OAN＝45°，
而四边形ORQP为正方形，
∴∠NOM＝90°，
∴∠MOB＝∠NOA，
∴△OBM≌△OAN，
∴S四边形MONB＝S△AOB2×2＝1，
即它们重叠局部的面积为1，
故答案为：1
【点睛】此题考察旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的间隔相等．也考察了正方形的性质．
16.函数f(x)＝x(8－2x)(5－2x)在区间［0，3］上的最大值是______．
【答案】18
【解析】
【分析】
求出导函数，明确函数的单调性，从而得到函数的最值.
【详解】由题意可得，
∴，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴函数f(x)＝x(8－2x)(5－2x)在区间［0，3］上的最大值是，
故答案为：18
【点睛】此题考察利用导数求函数的最值，考察运算才能，属于根底题.
三、解答题：本大题一一共5小题，一共56分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

＋x＋(－3x＋2)i〔x∈R〕是复数6－20i的一共轭复数，务实数x的值．
【答案】
【解析】
【分析】
由一共轭复数的定义可得可得，解之可得答案．
【详解】因为复数6－20i的一共轭复数为6＋20i，
由题意得：＋x＋(－3x＋2)i＝6＋20i，
根据复数相等的充要条件，得：
方程①的解为：x＝－3或者x＝2．
方程②的解为：x＝－3或者x＝6．
所以实数x的值是－3．
【点睛】此题考察一共轭复数的概念，属根底题．明确相关概念是解题关键．
的方底无盖水箱，求它的高为何值时最料．
【答案】
【解析】
【分析】
设此水箱的高为x，底面棱长为a，那么a2x＝256，其外表积S＝4ax+a2a2a2，利用均值不等式即可得出．
【详解】解：设此水箱的高为x，底面棱长为a，那么a2x＝256，
其外表积S＝4ax+a2a2a2≥3×26＝192．
当且仅当a＝8即h4时，S获得最小值．
答：它的高为4dm时最料．
【点睛】此题考察了正方体的体积与外表积、均值不等式，属于根底题．
19.从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．
试问：〔1〕能组成多少个不同的五位偶数？
〔2〕五位数中，两个偶数排在一起的有几个？
〔3〕两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？〔所有结果均用数值表示〕
【答案】〔1〕576；〔2〕576；〔3〕144
【解析】
【分析】
〔1〕根据先取后排的原那么，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，然后进展排列；
〔2〕利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进展全排列；
〔3〕利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决.
【详解】〔1〕偶数在末尾，五位偶数一共有＝576个．
〔2〕五位数中，偶数排在一起的有＝576个．
〔3〕两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有＝144．
【点睛】此题主要考察了数字的组合问题，相邻问题用捆绑，不相邻用插空，属于中档题．
20.设函数g(x)＝－1－ax，假设当x≥0时，x(－1－ax)≥0，求a的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
g′〔x〕＝e x﹣a，根据a的取值范围利用导数性质能求出a的取值范围．
【详解】由可得g′(x)＝－a．
假设a≤1，那么当x∈〔0，＋∞〕时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，
即x(－1－ax)≥0．
假设a＞1，那么当x∈〔0，lna〕时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
而g(0)＝0，从而当x∈〔0，lna〕时，g(x)＜0，
即x(－1－ax)＜0．
综上，得a的取值范围为(－∞，1]．
【点睛】此题考察函数的单调区间的求法，考察实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质
的合理运用．
21.试比较3－与〔n为正整数〕的大小，并予以证明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用作差法可得3－－＝，确定3－与的大小关系等价于比较与2n＋1的大小，利用数学归纳法证明即可.
【详解】证明：3－－＝，
于是确定3－与的大小关系等价于比较与2n＋1的大小．
由2＜2×1＋1，＜2×2＋1，＞2×3＋1，＞2×4＋1，＞2×5＋1，
可猜想当n≥3时，＞2n＋1，
证明如下：
ⅰ当n＝3时，由上可知显然成立．
ⅱ假设当n＝k时，＞2k＋1成立．
那么，当n＝k＋1时，
＝2×＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时猜想也成立，
综合ⅰ和ⅱ，对一切n≥3的正整数，都有＞2n＋1．
所以当n＝1，2时，3－＜；
当n≥3时，3－＞〔n为正整数〕．
【点睛】此题考察大小的比较，考察作差法、考察数学归纳法，考察转化思想，属于中档题.。