2023届江苏省南通市高三年级下册学期5月高考前练习卷数学试题【含答案】

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合
，则A B ⋂=
A ．（-∞，1）
B ．（0，1）
C.1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
D ．（0，1
2）
2.已知函数2log ,0
(),0
x x f x sinx x >⎧=⎨-≤⎩,则6f f π⎛⎫⎛⎫-= ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭
A ．2
B ．1
C ．-1
D ．2
3.若3
z i
z i -=+，复数z 与z 在复平面内对应的点分别为A ，B ，则|AB|=
A ．2
B ．22
C ．3
D ．4
4.现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为A ．0.25升
B ．0.5升
C ．1升
D ．1.5升
5.古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质。

比如，双曲线有如下
性质：A ，B 分别为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右顶点，从C 上一点P （异于A ，B ）向实
轴引垂线，垂足为Q ，则
2|PQ AQ QB
⋅为常数。

若C 的离心率为2，则该常数为
A ．3
3
B ．3
C ．13
D ．3
6.在平行四边形ABCD 中，134,2,,,9,24AB AD AM AD AN AB CM CN ====⋅=
则DM DN ⋅=
A ．-1
B ．1
C ．15
8
D ．37.正四棱柱
1111
ABCD A B C D -中，
12,3AB AA ==，M 是
11
A D 的中点，点N 在棱
1
CC 上，
1
2CN NC =，
则平面AMN 与侧面11BB C C
的交线长为
A ．3
B ．132
C ．2103
D ．2133
8.已知
()(
)
2ln
1f x x x
=+-，若
211ln ,,tan 332a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=== ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则A ．a b c <<B ．b a c
<<C
．
D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某学校高三年级有男生640人，女生360人。

为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm ），并计算得到男生样本的平均值175，方差为36，女生样本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是
A ．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的平均值为171.4
B ．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的方差为36
C ．若男、女的样本量都是50，则总样本的平均值为170
D ．若男、女的样本量都是50，则总样本的方差为61
10.已知O 为坐标原点，过抛物线
2
:2(0)C y px p =>的焦点F （2，0）作斜率为3的弦AB ，其中点A 在第一象限，则A ．AOF BOF ∠=∠B ．
90AOB ∠>
C ．16
3
AB =
D.3AF FB
=11.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。

如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m 。

设筒车上的某个盛水桶P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下记d 为负数），若从盛水筒P
刚浮出水面时开始计算时间，则
A ．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m
B ．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点
C ．盛水桶第二次距离水面4m 时用时15秒
D ．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面
12.在边长为2的菱形ABCD 中，
3BAD π
∠=
，将菱形ABCD 沿对角线BD 折成空间四边形A'BCD ，使得
2A BC π
∠'=。

设E ，F 分别为棱BC ，A'D 的中点，则
.3
A EF =
B ．直线A'
C 与EF 所成角的余弦值为3
3
C ．直线A'C 与EF 的距离为1
2
D ．四面体A'BCD 的外接球的表面积为4π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.()4
232x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 项的系数为___________。

14.已知圆
()()22
1:11
C x a y -+-=与圆
22
2:3C x y +=交于A ，B 两点，若直线AB 的倾斜角为60 ，则|AB|=___________。

15.已知
sin cos sin ,sin cos sin 2,0,2πθθαθθαα⎛⎫
+==-∈ ⎪
⎝⎭，则cosα=___________。

16.已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，f （x ）是偶函数，
()11
g x -+是奇函数，且
()()()24,43
g x f x f -=+=-，则g （-1）=___________；
()2023
1
i g k ==∑___________。

四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）
记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 在线段AC 上，2BD CD AD ==。

（1）若2a c ==，求b ；
（2）若
3B π
=
，求角A 。

18.（12分）已知数列{
n
a }是公差为3的等差数列，数列{n
b }是公比为2的等比数列，且满足
131232424
,a a b b b a a b b +=+++=+。

将数列{
n
a }与{
n
b }的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数
列{n c }。

（1）证明：
2;
n n c b =（2）求数列{n n a c }的前n 项和n S 。

19.（12分）
某微型电子集成系统可安装3个或5个元件，每个元件正常工作的概率均为且各元件是否正
常工作相互独立。

若有超过一半的元件正常工作，则该系统能稳定工作。

（1）若该系统安装了3个元件，且
2
3p =
，求它稳定工作的概率；
（2）试比较安装了5个元件的系统与安装了3个元件的系统哪个更稳定。

20.（12分）
如图，在三棱台
111ABC A B C -中，112AC A C =，四棱锥A-11BCC B 的体积为3
2。

（1）求三棱锥A-
111
A B C 的体积；
（2）若△ABC 是边长为2的正三角形，平面
11
A ACC ⊥平面ABC ，平面11A AB
B ⊥平面AB
C ，求二面角
11A B C B --
的正弦值。

21.（12
分）已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点，
1C 的
焦点到2C
的渐近线的距离为3
3。

直线
与
2
C 相交于A ，B 两点，3
OA OB ⋅=-（1
）求证：（2）若直线l 与
1C 相交于P ，Q 两点，求|PQ|的取值范围。

22.（12
分）已知函数（1）若1a =，证明：曲线()
y f x =与曲线
()
y g x =有且仅有一条公切线；
（2）当1x ≥时，
，求a 的取值范围。

南通市2023届高三下学期5月高考前练习卷数学参考答案及评分建议
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合
，则A B ⋂=
A ．（-∞，1）
B ．（0，1）
C.1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
D ．（0，1
2）
D
2.已知函数2log ,0
(),0
x x f x sinx x >⎧=⎨-≤⎩,则6f f π⎛⎫⎛⎫-= ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭
A ．2
B ．1
C ．-1
D ．2
C
3.若3
z i z i -=+，复数z 与z 在复平面内对应的点分别为A ，B ，则|AB|=
A ．2
B ．22
C ．3
D ．4
A
4.现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为A ．0.25升B ．0.5升
C ．1升
D ．1.5升
B
5.古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质。

比如，双曲线有如下
性质：A ，B 分别为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右顶点，从C 上一点P （异于A ，B ）向实
轴引垂线，垂足为Q ，则
2|PQ AQ QB
⋅为常数。

若C 的离心率为2，则该常数为
A ．3
3
B ．3
C ．13
D ．3
D
6.在平行四边形ABCD 中，134,2,,,9,24AB AD AM AD AN AB CM CN ====⋅=
则DM DN ⋅=
A ．-1
B ．1
C ．158
D ．3
B
7.正四棱柱
1111
ABCD A B C D -中，
12,3
AB AA ==，M 是
11
A D 的中点，点N 在棱
1
CC 上，
1
2CN NC =，
则平面AMN 与侧面
11BB C C 的交线长为
A ．3
B ．132
C ．2103
D ．2133
C
8.已知
()(
)
2ln
1f x x x
=+-，若
211ln ,,tan 332a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=== ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则A ．a b c <<B ．b a c
<<C
．
D.
B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某学校高三年级有男生640人，女生360人。

为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm ），并计算得到男生样本的平均值175，方差为36，女生样本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是
A ．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的平均值为171.4
B ．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的方差为36
C ．若男、女的样本量都是50，则总样本的平均值为170
D ．若男、女的样本量都是50，则总样本的方差为61ACD
10.已知O 为坐标原点，过抛物线
2
:2(0)C y px p =>的焦点F （2，0）作斜率为3的弦AB ，其中点A 在第一象限，则A ．AOF BOF ∠=∠B ．90AOB ∠>
C ．16
3
AB = D.3AF FB
=BD
11.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。

如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m 。

设筒车上的某个盛水桶P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下记d 为负数），若从盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则
A ．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m
B ．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点
C ．盛水桶第二次距离水面4m 时用时15秒
D ．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面ABC
12.在边长为2的菱形ABCD 中，
3BAD π
∠=
，将菱形ABCD 沿对角线BD 折成空间四边形A'BCD ，使得
2A BC π
∠'=。

设E ，F 分别为棱BC ，A'D 的中点，则
.3
A EF =
B ．直线A'
C 与EF 所成角的余弦值为3
3
C ．直线A'C 与EF 的距离为1
2
D ．四面体A'BCD 的外接球的表面积为4π
AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.()4
232x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 项的系数为___________。

3
14.已知圆
()()22
1:11
C x a y -+-=与圆
22
2:3C x y +=交于A ，B 两点，若直线AB 的倾斜角为60 ，则|AB|=___________。

3
15.已知sin cos sin ,sin cos sin 2,0,2πθθαθθαα⎛⎫
+==-∈ ⎪
⎝⎭，则cosα=___________。

417
17
16.已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，f （x ）是偶函数，
()11
g x -+是奇函数，且
()()()24,43
g x f x f -=+=-，则g （-1）=___________；
()2023
1
i g k ==∑___________。

-1；-2021
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）
记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 在线段AC 上，2BD CD AD ==。

（1）若2a c ==，求b ；
（2）若
3B π
=
，求角A 。

【解】（1）因为2,,
BD CD AD AD CD b ==+=所以
21,33BD CD b AD b ==
=。

在△ABD 中，由余弦定理，得
2222254
2cos cos 99AB AD BD AD BD ADB b b ADB
=+-⋅∠=-∠，①
在△BCD 中，由余弦定理，得
2222288
2cos cos 99BC CD BD CD BD BDC b b ADC
=+-⋅∠=-∠。

②。

2分
因为ADB BDC π∠+∠=，所以cos cos 0ADB BDC ∠+∠=由2⨯+①②，得2
2
2
22AB BC b +=，即2
2
2
22a c b +=。

又因为2a c ==，所以6b =。

5分
（2）设CBD θ∠=，则
3ABD π
θ∠=
-，
因为BD CD =，所以2ADB θ∠=，所以
23BAD π
θ∠=
-。

在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin AD BD
ABD BAD
=
∠∠即
1
2
2sin sin 33ππθθ=
⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以
2sin 2sin ,33ππθθ⎛⎫⎛⎫
-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

7分
即
22sin
cos cos sin 2sin cos cos sin ,3333ππππθθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
即31cos sin 3cos sin 22θθθθ+=-，所以
3tan .3θ=因为03
π
θ<<
，所以,6
πθ=
所以
232A ππθ=
-=。

10分
18.（12分）已知数列{
n a }是公差为3的等差数列，数列{n b }是公比为2的等比数列，且满足
131232424,a a b b b a a b b +=+++=+。

将数列{n a }与{n b }的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数
列{n c }。

（1）证明：
2;
n n c b =（2）求数列{n n a c }的前n 项和n S 。

【解】（1）由13123
a a
b b b +=++，得
11
267a b +=，
由
2424a a b b +=+，得
11
21210a b +=，
解得，
114, 2.a b ==因为数列{
n
a }的公差为3，数列{
n
b }的公比为2，
所以31,2n
n n a n b =+=。

2分
12b =不是数列{n a }的项，24b =是数列{n a }的第1项。

设
231k k b m ==+，则()11222231322,
k k k b m m ++==⨯=+=⨯+所以1
k b +不是数列{
n
a }的项。

4分
因为()()22
2424313211k k
k m m ++==⨯=+=++，
所以2k b +是数列{n a }的项。

所以
2n n c b =。

6分
（2）由（1）可知，()24,314n
n
n n n n C b a c n ===+。

()234474104314n
n S n =⨯+⨯+⨯+++ 4n S =
()2344474104314
n n +
⨯+⨯+⨯+++ 。

8分
所以(
)()2341
31634444
314
n
n n S n +-=+++++-+ ()
()23414344444314n n n +=++++++-+ (
)()1
41443314
14
n n n +-=+⨯
-+-()111431434,
n n n n n +++=-+=-所以1
4n n S n +=。

12分
19.（12分）
某微型电子集成系统可安装3个或5个元件，每个元件正常工作的概率均为且各元件是否正
常工作相互独立。

若有超过一半的元件正常工作，则该系统能稳定工作。

（1）若该系统安装了3个元件，且
2
3p =
，求它稳定工作的概率；
（2）试比较安装了5个元件的系统与安装了3个元件的系统哪个更稳定。

【解】（1）设安装3个元件的系统稳定工作的概率为P ，则3个元件中至少2个元件正常工作。

又因为各元件是否正常工作相互独立，
所以
()23
2
2
33
3
3
212201333327P C p p C p ⎛⎫⎛⎫
=-+=⨯⨯+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.答：安装3个元件的系统稳定工作的概率为20
27。

4分
（2）由（1）知，安装3个元件的系统稳定工作的概率()2233
32
33123P C p p C p p p =-+=-+。

6分
设安装5个元件的系统稳定工作的概率为P'，则
()()2
334455
543
5551161510P C p p C p p C p p p p =-+-+=-+'。

8分
所以
()
()2
543322615102331(21
P P p p p p p p p p -'=-+--+=--。

10分
当
1
2p =
时，0,P P P P ='-'=，两个系统工作的稳定性相同；
当1
02
p <<
时，，3个元件的系统比5个元件的系统更稳定；
当112
p <<时，0,0P P P >'-'>，5个元件的系统比3个元件的系统更稳定。

12分20.（12分）
如图，在三棱台
111ABC A B C -中，112AC A C =，四棱锥A-11BCC B 的体积为32。

（1）求三棱锥A-111A B C 的体积；
（2）若△ABC 是边长为2的正三角形，平面
11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ABB ⊥平面ABC ，求二面角11A B C B --
的正弦值。

【解】（1）连结
1BC 。

因为三棱台
111ABC A B C -中，111112ABC A B C AC A C ∆~∆=，，所以
112BC B C =，所以1112BCC BB C S S ∆∆=，所以111
2A BCC A BB C V V --=因为三棱台111ABC A B C -中，
111112ABC A B C AC A C ∆~∆=，，所以1114ABC A B C S S ∆∆=，所以1111
4C ABC A A B C V V --=又因为
11C ABC A BCC V V --=所以111111::1:2:4
A A
B
C A BB C A BCC V V V ---=。

2分又因为
11111A BCC B A BB C A BCC V V V ---=+所以
11111113366212A A B C A BCC B V V --==⨯=。

4分（2）取AB 中点D ，AC 中点E ，连结CD 、BE ，交于点F ，
因为△ABC 是正三角形，E 是AC 中点，所以BE AC ⊥。

又因为平面
11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，BE ⊂平面ABC ，
所以BE ⊥平面
11A ACC 。

又因为
1A A ⊂平面11A ACC ，所以1BE A A ⊥，
同理，1CD A A ⊥又因为CD BE F ⋂=，CD ，BE ⊂平面ABC ，
所以1A A ⊥平面ABC ．。

6分
在平面ABC 内，过点A 作AH AC ⊥，
以A 为原点，AH 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -
，
因为
，所以。

由（1
）可知，故11A A =。

所以A （0，0，0），B （3，1，0），C （0，2，0），
1B （32，12，1），1C （0，1，1
），。

8分
设平面11AB C 的一个法向量为()111,,,
m x y z =由110
0{AB m AC m ⋅=⋅= 得
不妨取
设平面11BB C 的一个法向量为()
222,,n x y z =由10
{0
CB n CC n ⋅=⋅= ，得，不妨取3,1,13n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭。

10分设二面角11A B C B --的平面角为θ，则
因为22sin cos 1θθ+=，且，所以
即二面角11A B C B --的正弦值为437。

12分
21.（12
分）已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点，1C 的
焦点到2C 的渐近线的距离为33。

直线
与2C 相交于A ，B 两点，3OA OB ⋅=-（1
）求证：
（2）若直线l 与1C 相交于P ，Q 两点，求|PQ|的取值范围。

【解】（1）由题意得椭圆焦点坐标为（1，0），双曲线渐近线方程为0bx ay ±=，所以，解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
所以2C 的方程为2212x y -=。

2分由消y
，得所以得，
设A （
1x ，1y ），B （2(x ，2y ），则。

4分
所以
化简得，得证。

6分
（2）由
消x ，得，
所以，即结合，及，可得设P （3x ，3y ），Q （4(x ，4y ），则。

8分
所以所以。

10分
设，则，所以
所以所以。

12分
22.（12分）已知函数
（1）若1a =，证明：曲线
()y f x =与曲线()y g x =有且仅有一条公切线；（2）当1x ≥时，
，求a 的取值范围。

【解】（1）当1a =时，
所以
所以曲线()y f x =在点（）处的切线方程为
，即，
曲线()y g x =在点（2x ，）处的切线方程为
，
即。

2分
令得
消去2x ，整理得
所以。

4分
设，则
所以h （x ）在（0，+∞）上单调递增，
又()10h =，
所以h （x ）在（0，+∞）上有唯一的零点1x =，所以方程有唯一的解1
x =所以曲线()y f x =与曲线()y g x =有且仅有一条公切线y x =。

6分
（2）因为对恒成立，所以在[1,)x ∈+∞上恒成立，
所以在[1,)x ∈+∞上恒成立，令
，
则当x a <时()0G x '<，G （x ）单调递减，当时，()0G x '>，G （x ）单调递增，
当2x a >+时，()0G x '<单调递减，
所以在x a =处G （x ）有极小值，在2x a =+处G （x ）有极大值。

8分
①当21a +≤，即1a ≤-时，由解得，舍去。

10分
②当21a +>，即1a >-时，则，
所以，由，解得
因为，所以，所以
所以
所以
综上，a的取值范围为。

12分。