东乌珠穆沁旗第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试数学.doc

优选高中模拟试卷
东乌珠穆沁旗第二高级中学2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级 __________姓名__________分数__________
一、选择题
1．设函数，则有（）
A ．f （x）是奇函数，B． f（ x）是奇函数，y=b x
C． f（x）是偶函数D． f（ x）是偶函数，
2．已知数列 {a n} 知足 a1=1， a2=2， a n+2=（ 1+cos2）a n+sin2，则该数列的前10 项和为（）
A ．89B．76C．77D．35
3．某几何体三视图以下列图所示，则该几何体的体积是（）
A ．1+B． 1+C． 1+D． 1+π
4．若对于x 的不等式 | x 1| | x 2 | m 7 0 的解集为 R ，则参数m的取值范围为（）A．(4, ) B．[4, ) C．( ,4) D．( ,4]
【命题企图】此题考察含绝对值的不等式含参性问题，加强了函数思想、化归思想、数形联合思想在此题中的应用，属于中等难度 .
5．已知圆O的半径为 1, PA, PB为该圆的两条切线, A, B为两切点 ,那么PA PB
的最小值为
A、4 2
B、3 2
C、422
D、322
6．若 a=ln2， b=5，c=xdx ，则 a， b， c 的大小关系（）
A ．a＜ b＜ c
B B． b＜ a＜ c
C C ． b＜ c＜ a D． c＜ b＜ a
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7． 已知全集 U={0 ， 1， 2 ，3， 4} ，会合 A={0 ， 1 ， 3} ， B={0 ， 1，4} ，则（ ?U A ） ∪ B 为（ ）
A ．{0 ，1，2， 4}
B ．{0 ， 1， 3， 4}
C ．{2，4}
D ． {4}
8． 若 f （x ） =x 2﹣ 2x ﹣4lnx ，则 f ′ （x ）＞ 0 的解集为（ ）
A ．（ 0， +∞）
B ．（﹣ 1，0） ∪（2，+∞）
C ．（ 2，+∞ ）
D ．（﹣ 1 ， 0）
9
“ x R
x 2 1”
）
．命题?
∈ ，使得
＜
的否认是（
A ．? x R
x 2 ＜ 1
B
x R
x 2
1
∈ ，都有
． ?
∈ ，使得
＞
C ．? x R x 2≥1
D ． ? x R x ≤ 1
或 x ≥1
∈ ，使得
∈ ，都有 ﹣
10．已知函数 f （ x ）知足： x ≥4 ，则 f （ x ）= ；当 x ＜ 4 时 f （ x ）=f （ x+1 ），则 f （ 2+log 23 ）=（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工时期的年降水量
X （单位： mm ）对工期延迟天数
Y 的影响及相应的概率
P 如表所示：
降水量 X
X ＜100
100≤X ＜200
200≤X ＜300
X ≥300
工期延迟天数 Y
5 15 30
概率 P
0.4 0.2
0.1
0.3
在降水量 X 起码是 100 的条件下，工期延迟不超出 15 天的概率为（
）
A ．0.1
B ． 0.3
C ． 0.42
D ． 0.5
12．等比数列 {a n } 中， a 3， a 9 是方程 3x 2﹣ 11x+9=0 的两个根，则 a 6=（ ）
A ．3
B ．
C ．±
D ．以上皆非
二、填空题
13．意大利有名数学家斐波那契在研究兔子生殖问题时，发现有这样一组数：
1， 1， 2，3， 5， 8，13， 此中
从第三个数起， 每一个数都等于他前面两个数的和． 该数列是一个特别漂亮、 和睦的数列，有好多巧妙的属性． 比 如：跟着数列项数的增添，前一项与后一项之比越迫近黄金切割
0.6180339887 ．人们称该数列 {a n } 为 “斐波那
契数列 ”．若把该数列 {a n } 的每一项除以 4 所得的余数按相对应的次序构成新数列 {b n } ，在数列 {b n } 中第 2016
项的值是
．
14．在
ABC 中，有等式：① a sin A b sin B ；② a sin B b sin A ；③ a cosB b cos A ；④
a
b c
.此中恒建立的等式序号为 _________.
sin A
sin B sin C
15 ．设全集 U={0 1 2 3 4} ，会合 A={0 1 ， 2} ，会合 B={2 ， 3} ，则（ ? U A ） ∪ B= ．
， ， ， ， ，
16 ．若函数 f x ）， g （ x ）知足： ? x ∈ 0 ， +∞ f x x g x ）＜ x 建立，则称 “f x ）与 （ （ ），均有 （ ）＞，（
（ 对于 y=x 分别 ”．已知函数 （f x ）=a x
与 （g x ）=log a x a 0 ，且 a ≠1 ）对于 y=x 分别，则 a 的取值范围是
（ ＞
g （x ）
．
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17 ．用“＜”或“＞”号填空： 30.8 30.7．
18 ．已知点 A （﹣ 1， 1）， B（ 1 ， 2）， C（﹣ 2，﹣ 1）， D（ 3， 4），求向量在方向上的投影．
三、解答题
19 ．设函数，若对于随意 x∈[﹣ 1，2] 都有 f（ x）＜m 建立，务实数 m 的取值范围．20．已知向量=（，1），=（ cos，），记f（x）=．
（ 1）求函数 f （ x）的最小正周期和单一递加区间；
（ 2）将函数 y=f （x）的图象向右平移个单位获得y=g（ x）的图象，议论函数y=g（ x）﹣k 在
的零点个数．
x2 y2
1 a b 0 的左右焦点分别为F1, F
2 ，椭圆 C过点P 1,2
，直线 PF1
21．已知椭圆C : 2
b 2
a 2
交 y 轴于Q，且 PF2 2QO, O 为坐标原点．
（ 1）求椭圆C的方程；
（ 2）设M是椭圆C上的极点，过点M 分别作出直线MA , MB交椭圆于A, B两点，设这两条直线的斜率分别为 k1, k2，且 k1 k2 2 ，证明：直线AB过定点．
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22．已知函数f（ x）=x ﹣ alnx（ a∈R）
（1）当 a=2 时，求曲线 y=f （x）在点 A （ 1， f （1））处的切线方程；
（2）求函数 f （ x）的极值．
23．某学校为认识高三年级学生寒假时期的学习状况，抽取甲、乙两班，检查这两个班的学生在寒假时期每日均匀学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频次分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数同样，甲班学生每日均匀学习时间在区间[2，4]的有 8 人．
（ I）求直方图中a 的值及甲班学生每日均匀学习时间在区间[10， 12] 的人数；
（ II ）从甲、乙两个班每日均匀学习时间大于10 个小时的学生中任取4 人参加测试，设4 人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的散布列和数学希望．
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24．（本小题满分12 分）已知过抛物线C : y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点， 斜率为22 的直线交抛物线于A （ x 1， y 1） 和 B （ x 2， y 2）（ x 1＜ x 2）两点，且AB = 9
．
2
（ I ）求该抛物线C 的方程；
（ II ）以下图，设O 为坐标原点，取C 上不一样于 O 的点 S ，以 OS 为直径作圆与 C 订交此外一点R ， 求该圆面积的最小值时点S 的坐标．
S
y
x
O
R
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东乌珠穆沁旗第二高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学（参照答案）一、选择题
1．【答案】 C
【分析】 解：函数f （ x ）的定义域为R ，对于原点对称． 又 f （﹣ x ）===f （ x ），所以f （ x ）为偶函数． 而 f （） ===﹣=﹣ f （ x ）， 应选 C ．
【评论】此题考察函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法． 2． 【答案】 C
【分析】 解：由于 a 1=1， a 2=2 ，所以 a 3=（ 1+cos 2 ） a 1+sin 2
=a 1+1=2 ，a 4=（1+cos 2π） a 2+sin 2π=2a 2=4．
一般地，当 n=2k ﹣1（ k ∈ N * ）时，a 2k+1=[1+cos 2
]a 2k ﹣ 1+sin 2
=a 2k ﹣ 1+1 ，即 a 2k+1 ﹣ a 2k ﹣ 1=1．
所以数列 {a 2k ﹣ 1 的等差数列，所以 2k ﹣1
} 是首项为 1、公差为 1 a =k ． 当 n=2k （ k ∈ N * ）时， a 2k+2=（ 1+cos 2
） a 2k +sin 2
=2a 2k ． 所以数列 {a 2k } 是首项为 2、公比为 2 的等比数列，所以 a 2k =2k ．
该数列的前 10 项的和为 1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77 应选： C ．
3．【答案】 A
【分析】 解：由三视图知几何体的下部是正方体，上部是 圆锥，且圆锥的高为 4，底面半径为 1；
正方体的边长为 1，
∴ 几何体的体积 V=V 正方体 + =1 3
2
．
+ × ×π×1×1=1+ 应选： A ．
【评论】此题考察了由三视图求几何体的体积， 解答此类问题的重点是判断几何体的形状及图中数据所对应的几何量．
4．【答案】 A
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5．【答案】 D.
， PA PB t 2
1
sin
1
【分析】设PO t
，向量 PA 与 PB 的夹角为 2 t ，
，
cos 1 2sin 2
1
2
PA PB cos (t
2
1)(1
2
1) ，
2 t 2， PA PB t 2 )(t
PA PB t 2 2
3(t 1) ，依不等式PA PB 的最小值为 2 2 3
.
t 2
6．【答案】 C
【分析】解：∵a=ln2 ＜ lne 即，
b=5 = ，
c= xdx= ，
∴ a， b，c 的大小关系为：b＜ c＜ a．
应选： C．
【评论】此题考察了不等式大小的比较，重点是求出它们的取值范围，是基础题．
7．【答案】 A
【分析】解：∵U={0 ， 1， 2， 3， 4} ，会合 A={0 ， 1， 3} ，
∴C U A={2 ， 4} ，
∵B={0 ，1，4} ，
∴（ C U A ）∪ B={0 ，1， 2， 4} ．
应选： A．
【评论】此题考察会合的交、交、补集的混淆运算，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．8．【答案】 C
【分析】解：由题， f（ x）的定义域为（0， +∞）， f′（ x）=2x ﹣ 2﹣，
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令 2x﹣ 2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，
联合函数的定义域知，f ′（ x）＞ 0 的解集为（ 2， +∞）．
应选： C．
9．【答案】 D
【分析】解：命题是特称命题，则命题的否认是? x∈R，都有 x≤﹣ 1 或 x≥1，
应选： D．
【评论】此题主要考察含有量词的命题的否认，比较基础．
10．【答案】 A
【分析】解：∵ 3＜2+log 23＜ 4，所以 f （2+log 23） =f （ 3+log 23）
且 3+log 23＞ 4
∴f（ 2+log 23） =f （ 3+log 23）
=
应选 A．
11．【答案】 D
【分析】解：降水量 X 起码是 100 的条件下，工期延迟不超出 15 天的概率 P，设：降水量 X 起码是 100 为事件 A ，工期延迟不超出 15 天的事件 B ，P（ A） =0.6， P
（ AB ） =0.3，
P=P（B 丨 A ） ==0.5，
故答案选： D．
12．【答案】 C
【分析】解：∵a3， a9是方程 3x2﹣11x+9=0 的两个根，
∴a3a9=3，
又数列 {a n} 是等比数列，
则 a62=a3a9=3，即
a6=± ．应选 C
二、填空题
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13．【答案】 0 ．
【分析】解： 1，1，2，3，5， 8，13，除以 4 所得的余数分别为1，1，2， 3， 1，0，； 1， 1，2，3，1，0，即新数列 {b n} 是周期为 6 的周期数列，
∴b2016=b336×6=b6=0，
故答案为： 0．
【评论】此题主要考察数列的应用，考察数列为周期数性，属于中档题．
14．【答案】②④
【分析】
试题剖析：对于①中，由正弦定理可知asin A b sin B ，推出 A B 或A B ，所以三角形为等腰三角
2
形或直角三角形，所以不正确；对于②中， a sin B bsin A ，即 sin Asin B sin B sin A 恒建立，所以是正确的；对于③中， a cosB b cos A ，可得sin( B A) 0 ，不知足一般三角形，所以不正确；对于④中，由
正弦定理以及合分比定理可知
a b c
是正确，应选选②④． 1 sin A sin B sin C
考点：正弦定理；三角恒等变换．
15．【答案】{2 ， 3，4} ．
【分析】解：∵全集 U={0 ， 1， 2， 3 ， 4} ，会合 A={0 ， 1，2} ，∴C U A={3 ， 4} ，
又 B={2 ，3} ，
∴（C U A ）∪ B={2 ， 3， 4} ，
故答案为： {2 ， 3， 4}
16．【答案】（，+∞）．
【分析】解：由题意，a＞1．
x
故问题等价于a ＞ x（a＞ 1）在区间（ 0，+∞）上恒建立．
由 f ′（x） =0，得 x=log a（ log a e），
x＞ log a（log a e）时， f ′（ x）＞ 0， f（ x）递加；
0＜ x＜ log a（ log a e）， f ′（ x）＜ 0， f （ x）递减．
则 x=log a（ log a e）时，函数f（ x）取到最小值，
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故有﹣ log a（ log a e）＞ 0，解得 a＞．
故答案为：（， +∞）．
【评论】此题考察恒建立问题重点是将问题等价转变，进而利用导数求函数的最值求出参数的范围．17．【答案】＞
【分析】解：∵ y=3x是增函数，
又 0.8＞0.7，
∴ 30.8＞ 30.7．
故答案为：＞
【评论】此题考察对数函数、指数函数的性质和应用，是基础题．
18．【答案】
【分析】解：∵点 A （﹣ 1， 1）， B（ 1， 2）， C（﹣ 2，﹣ 1）， D （ 3， 4），
∴向量=（ 1+1， 2﹣ 1） =（2， 1），
=（ 3+2， 4+1）=（ 5， 5）；
∴向量在方向上的投影是
==．
三、解答题
19．【答案】
【分析】解：∵，
∴f′（x） =3x 2﹣ x﹣2= （ 3x+2）（ x﹣ 1），
∴当 x∈[ ﹣1，﹣），（1，2]时，f′（x）＞0；
当 x∈（﹣，1）时，f′（x）＜0；
∴ f（ x）在 [ ﹣1，﹣），（1，2]上单一递加，在（﹣，1）上单一递减；
且 f （﹣）=﹣﹣× +2× +5=5+，f（2）=8﹣×4﹣2×2+5=7；
故 f max（ x） =f （2） =7；
故对于随意x∈[ ﹣ 1，2]都有 f（ x）＜ m 建立可化为7＜ m；
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故实数 m 的取值范围为（7， +∞）．
【评论】此题考察了导数的综合应用及恒建立问题的办理方法，属于中档题．
20．【答案】
【分析】解：（ 1）∵向量=（，1），=（ cos ，），记 f （x） =．
∴f（ x） = cos + = sin + cos + =sin（ + ）+ ，
∴最小正周期 T= =4 π，
2kπ﹣≤ + ≤2kπ+ ，
则 4kπ﹣≤x≤4kπ+ ， k∈ Z ．
故函数 f （x）的单一递加区间是[4k π﹣， 4kπ+ ]， k∈Z ；
（ 2））∵将函数 y=f （ x） =sin（+ ） + 的图象向右平移个单位获得函数分析式为
： y=g（ x） =sin[ （ x﹣+ ） ]+ =sin（﹣） + ，
∴则 y=g （x）﹣ k=sin （x﹣） + ﹣ k，
∵x∈ [0，]，可得：﹣≤x﹣≤π，
∴﹣≤sin（x﹣）≤1，
∴0≤sin（x﹣）+≤，
∴若函数 y=g（ x）﹣ k 在 [0，]上有零点，则函数y=g（ x）的图象与直线y=k 在 [0，]上有交点，
∴实数 k 的取值范围是 [0， ] ．
∴当 k＜ 0 或 k＞时，函数 y=g （x）﹣ k 在的零点个数是0；
当 0≤k＜ 1 时，函数 y=g（ x）﹣ k 在的零点个数是 2；
当 k=0 或 k= 时，函数 y=g（ x）﹣ k 在的零点个数是 1．
【评论】此题是中档题，考察向量的数目积的应用，三角函数的化简求值，函数的单一增区间的求法，函数零
点的判断方法，考察计算能力．
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x 2 2
；（ 2）证明看法析 . 21． 【答案】 （1）
y 1
2
【分析】
试
题分析：
（ 1） PF 2
2QO ，∴ PF 2
F 1 F 2 ，∴ c 1 ，
1
1
2
1,a
2
2
c 2 b 2 1 ，
a 2
b 2 b
∴ 2
1,a 2
2 ，
b
即 x 2
y 2 1；
2
（ 2）设 AB 方程为 y
kx
b 代入椭圆方程
1 k
2 x 2
2kbx
b 2
1 0 ， x A x B
2kb , x A x B
b 2 1
2
1
1 ，
k 2 2
2
k
2
k
MA
y A 1
y B 1 ，∴ k MA
k
MB
y A 1 y B 1
y A x B x A y B x A x B
2 ，
x A , k MB
x B x A
x B
x A x B
∴k b 1代入 y kx b 得： y kx k 1 所以， 直线必过 1, 1 ． 1 考点：直线与圆锥曲线地点关系．
【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转变为垂直.直线和圆锥曲线的地点关系一方 面要表现方程思想，另一方面要联合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程获得方程组，化 为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 波及弦长的问题中，应娴熟地利用根与系数关 系、设而不求法计算弦长；波及垂直关系时也常常利用根与系数关系、设而不求法简化运算；波及过焦点的弦 的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
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22．【答案】
【分析】解：函数 f （ x）的定义域为（0， +∞），．（ 1）当 a=2 时， f （x） =x ﹣ 2lnx ，，
因此f
（
1
）
=1 f′ 1 = 1
，（）﹣，
所以曲线y=f （ x）在点 A （ 1， f （ 1））处的切线方程为y﹣ 1=﹣（ x﹣ 1），
即 x+y ﹣ 2=0
（ 2）由， x＞0 知：
①当 a≤0 时， f ′（x）＞ 0，函数 f （ x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（ x）无极值；
②当 a＞ 0 时，由 f′（ x） =0，解得 x=a．
又当 x∈（0， a）时， f′（x）＜ 0，当 x∈（ a，+∞）时， f ′（x）＞ 0．
进而函数 f（ x）在 x=a 处获得极小值，且极小值为 f （ a） =a﹣ alna，无极大值．
综上，当 a≤0 时，函数 f（ x）无极值；
当 a＞ 0 时，函数 f （x）在 x=a 处获得极小值a﹣ alna，无极大值．
23．【答案】
【分析】解：（ 1）由直方图知，（ 0.150+0.125+0.100+0.0875+a ）×2=1，解得 a=0.0375，
由于甲班学习时间在区间[2， 4] 的有 8 人，所以甲班的学生人数为．
所以甲、乙两班人数均为40 人，所以甲班学习时间在区间[10 ，12] 的人数为40×0.0375×2=3 （人）．（ 2）乙班学习时间在区间[10 ， 12]的人数为40×0.05×2=4（人）．
由（ 1）知甲班学习时间在区间 [10 ， 12] 的人数为 3 人．在两班中学习时间大于10 小时的同学共7 人，ξ的
所
有可能取值为0， 1， 2，3. ，，，．
所以随机变量ξ
的散布列为：
ξ0 1 2 3 P
．
24．【答案】
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【分析】【命题企图】此题考察抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线地点关系等基础知识，意在考察
转变与化归和综合剖析问题、解决问题的能力．
因为 y1 y2， y2 0 ，化简得y1 y2 16 ，所以 y12 y22256 32 2 y22 256 32 64，
y2 y22 y22
2
256 2
当且仅当 y2 2 即 y2＝16， y2 =? 4 时等号建立.
y2
圆的直径 OS = x12 + y1 2 =y14 + y1 2 = 1
( y12 +8) 2 - 64 ,由于 y1
2
≥ 64，所以当y1 2 ＝ 64 即y1 =±8 时，
16 4
OS min8 5 ，所以所求圆的面积的最小时，点S 的坐标为（16，±8）．
第14页，共14页。