均值不等式扩展公式

均值不等式扩展公式
均值不等式是数学中一个非常重要的概念，它在解决很多数学问题
时都能发挥关键作用。

而均值不等式的扩展公式更是让我们在处理各
种复杂情况时有了更强大的工具。

咱们先来聊聊均值不等式的基本形式。

对于任意两个正实数a 和b，算术平均数大于等于几何平均数，也就是（a + b）/ 2 ≥ √(ab) 。

这就像
是数学世界里的一个“基本法则”。

那均值不等式的扩展公式是啥呢？比如说，对于三个正实数 a、b、
c ，就有(a + b + c) / 3 ≥ ³√(abc) 。

这就好像是把“两员大将”扩充成了
“三员猛将”，威力更强啦！
还记得我之前教过的一个学生小明，他在刚开始接触均值不等式扩
展公式的时候，那叫一个头疼。

他总是搞不清楚什么时候该用，怎么用。

有一次做作业，题目是：已知三个正数 a = 3，b = 4，c = 5，求 (a
+ b + c) / 3 与³√(abc) 的大小关系。

小明一看，立马就懵了，完全不知
道从哪里下手。

我就引导他，先把数值代入公式，算出 (3 + 4 + 5) / 3 = 4 ，
³√(3×4×5) = ³√60 。

然后再比较大小，发现 4 大于³√60 。

通过这道题，
小明算是对均值不等式的扩展公式有了点感觉。

再说说在实际生活中的应用。

比如说，你要建一个长方体形状的仓库，已知仓库的体积是固定的，要怎么样设计才能使得仓库的表面积
最小，从而节省建筑材料呢？这时候均值不等式扩展公式就能派上用场啦。

咱们假设长方体的长、宽、高分别是 a、b、c ，体积 V = abc 是固定的。

而表面积 S = 2(ab + bc + ca) 。

这时候，根据均值不等式扩展公式，就有(a + b + c) / 3 ≥ ³√(abc) ，当且仅当 a = b = c 时，等号成立。

也就是说，当长方体变成正方体的时候，表面积最小。

在解决一些数学竞赛题的时候，均值不等式扩展公式更是能展现出它的魅力。

比如有这样一道题：已知 a、b、c 是正实数，且 a + b + c = 1，求证：(1 / a - 1)(1 / b - 1)(1 / c - 1) ≥ 8 。

这道题如果不用均值不等式扩展公式，那可真是难倒一大片同学。

我们可以先把式子展开：(1 / a - 1)(1 / b - 1)(1 / c - 1) = [(b + c) / a][(a + c) / b][(a + b) / c] ，然后再利用均值不等式扩展公式，就能得出结论啦。

总之，均值不等式扩展公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多数学难题的大门。

同学们在学习的时候，可别被它吓住，多做几道题，多琢磨琢磨，就能掌握其中的奥秘啦！就像小明一样，从一开始的迷茫，到后来的逐渐熟练，相信大家都能学好它！。