山西省阳泉市高二上学期期末考试数学文试题含答案

山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试试题
高二文科数学（选修1—1）
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.
2．答卷前考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4．考试结束后，将答题卡交回.
5．考试时间90分钟，满分100分.
第Ⅰ卷（30分）
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线x 24－y 2
8
＝1的实轴长是( )
A ．2
B ．22
C ．4
D ．4 2
2．设a 、b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( )
A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |
B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |
C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b
D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b 3.下列结论正确的是( )
A ．若y ＝sin x ，则y ′＝cos x
B ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin x
C ．若y ＝1x ，则y ′＝1
x
2 D ．若y ＝
x ，则y ′＝
1
2
x
4．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( )
A ．红豆生南国
B ．春来发几枝
C ．愿君多采撷
D ．此物最相思 5．设椭圆的标准方程为
x 2
k －3＋
y 2
5－k
＝1，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是( )
A ．k >3
B ．3<k <5
C ．4<k <5
D ．3<k <4
6．如果命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题．那么( )
A ．命题p 和命题q 都是假命题
B ．命题p 和命题q 都是真命题
C ．命题p 为真命题，q 为假命题
D ．命题q 和命题p 的真假不同
7．设命题p ：∀x >0，log 2x <2x ＋3，则¬p 为( )
A ．∀x >0，log 2x ≥2x ＋3
B ．∃x >0，log 2x <2x ＋3
C ．∃x >0，log 2x ≥2x ＋3
D ．∀x <0，log 2x ≥2x ＋3
8．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )
A ．无极大值点，有四个极小值点
B ．有三个极大值点，两个极小值点
C ．有四个极大值点，无极小值点
D ．有两个极大值点，两个极小值点
9．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c,0) 到一条渐近线
的距离为
3
2
c ，则其离心率的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．12 D ．3
2
10．已知两点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( )
A ．x 23＋y 24＝1
B ．x 24＋y 23＝1
C x 216＋y 29＝1
D ．x 216＋y 2
12
＝1
第Ⅱ卷（70分）
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若函数f (x )＝x 2，则f ′(1)=
12．命题“能被5整除的整数末尾是0或5”是 形式的命题. 13．抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为 ．
14．下列命题：①空间中没有交点的两直线是平行直线或异面直线；②原命题和逆命题真假相反；③若a >b ，则a ＋c >b ＋c ；④“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中真命题的个数为 ．
15.若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的渐近线为x y ±=，则其离心率为 .
16.经过两点A (0,2)、B (1
2，3)的椭圆的标准方程为 .
17．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2
e
x 的最大值是 .
18．抛物线x y 22
=的一条弦被A (4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是 三、解答题（本大题共5个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题8分）已知函数f (x )＝x 3—3x －1.
（1）求曲线y ＝f (x )在点(2，1)处的切线的方程； （2）求曲线y ＝f (x )的极大值，极小值．
20．（本小题8分）已知p ：实数x ，满足x －a <0，q ：实数x ，满足x 2－4x ＋3≤0.
(1)若a ＝2时，p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
21．（本小题10分）
（1）求焦点在直线x －y ＋2＝0上的抛物线的标准方程；
（2）已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝90°，求|PF 1|·|PF 2|的值.
22．（本小题10分）已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋1－ln x
（1）若f (x )在x ＝1处取到极值，求函数f (x )的单调区间； （2）若f (x )≥0在（1,2）恒成立，求a 的范围．
23．（本小题10分）
已知椭圆()2222:10x y M a b a b
+=>>的离心率为6
3，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆
M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求面积AOB ∆的最大值．
山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试 高二文科数学（选修1—1）参考答案与评分标准
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．2 12．p ∨q 13．（0,1）14．3
15．216．x 2＋y 2
4＝117．e 18．x －2y ＝0
三、解答题（本大题共5个小题，共46分.） 19.（本小题满分8分）
(1)∵f ′(x )＝3x 2－3，..................................................................................................... 1分
∴f (x )在点(2，1)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝
9...................................................................... 2分
∴切线的方程为0179=--y x ................................................................................ 4分 （
2
）
令
f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝
1. ............................................................................. 5分
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
由上表，知
f (x )
极大值
＝)1(-f =1，f (x )
极小值
＝)1(f =－
3......................................................... 8分 20.（本小题满分8分）
(1)由x －a <0，得x <a ...................................................................................................... 1分
当a ＝2时，x <2，即p 为真命题时，x <2...................................................................... 2分
由x 2－4x ＋3≤0得1≤x ≤3，所以q 为真时，1≤x ≤3.................................................... 3分
若p ∧q 为真，则1≤x <2 所
以
实
数
x
的
取
值
范
围
是
[1,2)．................................................................................................ 5分
(2)设
A ＝(－∞，a )，
B ＝[1,3]，q
是
p
的充分不必要条
件............................................................... 6分
所以B ⊆A ，..................................................................................................... 7分 从而a >3.所以实数a 的取值范围是(3，＋∞)．...................................................... 8分
21.（本小题满分10分）
（1）因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，
所以其焦点坐标即为直线x －y ＋2＝0与坐标轴的交点， 所
以
其
焦
点
坐
标
为
(
－
2,0)
和
(0,2)................................................................................. 1分
当焦点为(－2,0)时，可知其方程中的p ＝4，
所以其方程为y 2＝－8x ................................................................................. 3分
当焦点为(0,2)时，可知其方程中的p ＝4， 所以其方程为x 2＝8y ，
故所求方程为y 2＝－8x 或x 2＝8y .................................................................................. 5分
（
2
）
在
△
PF 1F 2
中
，
2
1PF PF -=2,
21F F =22 .................................................... 7分
|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2................................................................................ 8分 ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|，即(22)2＝22＋2|PF 1|·|PF 2|， 解
得
|PF 1|·|PF 2|
＝
2 ..............................................................................10分
22.（本小题满分10分）
(1)因为f (x )＝－x 2＋ax ＋1－ln x ，所以f ′(x )＝－2x ＋a －1
x
(x >0)．.......................... 1分
因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，即－2＋a －1＝0， 解得a ＝3.................................................................................. 2分
∴f ′(x )＝－2x ＋3－1
x (x >0)，
令
f ′(x )>0
，
即
－
2x
＋
3
－
1x
>0
，
解
得
12
<x <1，......................................................................... 3分
所以f (x )的单调递增区间为(1
2
，1)．
令f ′(x ) <0，即－2x ＋3－1x <0，解得0<x <1
2或x >1，
所以f (x )的单调递减区间为(0，1
2
)，(1，＋∞)．
综上，f (x )的单调递减区间为(0，12)，(1，＋∞)，单调递增区间为(1
2，
1) ............................ 4分
(2) 0)(≥x f 在（1,2）恒成立，x x x a 1
ln 2-+≥⇔在（1,2）恒成立，即
max
21ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≥x x x a
.......................................................................................... 5分
设=)(x h x
x x 1
ln 2-+
2
22
ln )(x
x x x h +-=', ...................................................................6分
设2ln )(g 2
+-=x x x
则⇒>-=-='01
212)(g 2x
x x x x 22>x
）单调递增，）上单调递减，在（，在（∞+∴2
2
220)(g x
∴02ln 2
5
)22(
g )(g min >+==x 恒成立0)(>'∴x h .................................................... 8分
）上单调递增在2,1()(x h ∴2
2
ln 3)2()(max +=
→∴h x h ≥
∴a 2
2
ln 3+............................................................................................ 10分 23.（本小题满分10分）
(1)解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝
b 2＋
c 2，
c a ＝6
3，
2c ＝22，
解得a ＝3，b ＝1. 所
以
椭
圆
M 的方程为
x 2
3
＋
y 2
＝
1. ......................................................................................4分
(2)解：设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋m ，x 2
3
＋y 2
＝1，得4x
2
＋6mx ＋3m
2
－3＝
0，..............................................................................5分
所
以x 1＋
x 2＝－
3m
2
，x 1x 2＝
3m 2
－3
4
. .....................................................................................6分
所以|AB |＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝ 2(x 2－x 1)2＝ 2[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2]
＝
12－3m 2
2
2-42
6
m =
........................................................................8分 O 到直线y ＝x ＋m 的距离2
m h =
⋅⋅=∴∆221m S AOB
2
-426m 2
3244322=-+≤m m
当
且
仅
当
2
±=m 时取到最大
值。

......................................................................................10分。