山西省临汾市武池中学2019-2020学年高三数学理联考试题含解析

山西省临汾市武池中学2019-2020学年高三数学理联考
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知、均为锐角，若的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
答案：C
2. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了242盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯（）
A．162盏B．114盏C．112
盏D．81盏
参考答案：
A
3. 已知＝(, 1)，若将向量－2绕坐标原点逆时针旋转120o得到向量，则的坐标为：
A．(0, 4) B．(2, －2) C．(－2, 2) D．(2, －2)
参考答案：
【知识点】旋转变换．F1
B 解析：∵=（，1），∴﹣2=（﹣2，﹣2），以x轴正半轴为始边，夹角为210°，绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量，在第四象限，与x轴的正半轴夹角为30°，∴=（2，﹣2），故选：B．
【思路点拨】确定向量﹣2以x轴正半轴为始边的角，绕坐标原点逆时针旋转120°得到
向量，在第四象限，与x轴的正半轴夹角为30°，即可得出结论．
4. 已知，且，则的值为
（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
试题分析：,所以，
，故选A.
考点：1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系.
5. 已知平面向量，，若与共线，则
A． B． C．
D．
参考答案：
D
6. 若则的值是 ( )
A. 1
B. 0
C.
D.
参考答案：
略
7. 已知实数、满足则的最小值为（）
A、1
B、
C、
D、
参考答案：
B
略
8. 我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”.已知双曲线
，则下列双曲线中与是“相近双曲线”的为（）.
A．
B．C．
D．
参考答案：
B
双曲线的离心率为，对于A答案，其离心率为，不符合题意；对于B
答案，其离心率为，符合题意；对于C答案，其离心率为，不符合题意；对于D答案，其离心率为3，不符合题意.选B.
9. 已知映射,其中，对应法则若对实数
，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
10. 不等式且对任意都成立，则的取值
范围为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （文）不等式的解为 .
参考答案：
由行列式的定义可知不等式为，整理得，解得，或（舍去），所以。

12. 等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a5=10，S5=30，则
+++…+= ．
参考答案：
【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．
【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a5=10，S5=30，可得，解得
a1，d．可得S n，再利用“裂项求和”方法即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=10，S5=30，∴，
解得a1=d=2．
∴S n==n（n+1），
∴==．
则+++…+=++…+=1﹣=．故答案为：．
13. 已知||＝1，||＝2，||＝2，则||＝．
参考答案：
略
14. 已知向量满足，，且，则向量与向量的夹角
为．
参考答案：
∵，∴，即，代入条件中数据：
∴，∴与的夹角为.
15. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火
箭（除燃料外）的质量的函数关系是,要使火箭的最大速度可达，则燃料质量与火箭质量的比值是
参考答案：
16. 在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P为矩形ABCD内一点，则使得?≥1的概率为．
参考答案：
【考点】几何概型．
【分析】将矩形放在坐标系中，设P（x，y）利用向量的数量积公式，作出对应的区域，求出对应的面积即可得到结论．
【解答】解：将矩形放在坐标系中，设P（x，y），
则A（0，0），C（2，1），
则?≥1等价为2x+y≥1，
作出不等式对应的区域，为五边形DCBE，
当y=0时，x=，即E（，0），
则△ADE的面积S=××，
则五边形DCBE的面积S=2﹣=，
则?≥1的概率P=，
故答案为．
17. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
(2)求二面角A－A1C1－B1的余弦值；
参考答案：
如图所示，以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数，
，曲线
的图象在点
处的切线
方程为.
（1）求函数
的解析式；
（2）当时，求证：；
参考答案：
（1）；（2）证明见解析；
试题分析：
(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为.
(2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得
.
试题解析：（1）根据题意，得，则.
由切线方程可得切点坐标为，将其代入，得，
故.
（2）令.
由，得，
当，，单调递减；
当，，单调递增.
所以，所以.
19. （本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值和的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.
参考答案：
解：（I）………………2分
因为
………………4分
………………6分
………………8分所以的周期为
………………9分
（II）当时，，
所以当时，函数取得最小值………………11分当时，函数取得最大值………………13分
略
20. 已知函数，R.
（1）试讨论函数f(x)的极值点的个数；
（2）若a∈N*，且恒成立，求a的最大值.
参考数据：
1.6 1.7 1.74 1.8 10
4.953
5.474 5.697
6.050 22026
0.470 0.531 0.554 0.588 2.303
参考答案：
（1）函数的定义域为.
…………………………………………………………………………………………1分
①当时，，在定义域单调递减，没有极值点；…………2分
②当时，在单调递减且图像连续，，
时，，所以存在唯一正数，使得，
函数在单调递增，在单调递减，
所以函数有唯一极大值点，没有极小值点.………………………………………………3分
综上：当时，没有极值点；
当时，有唯一极大值点，没有极小值点.………………………………………4分（2）方法一：
由（1）知，当时，有唯一极大值点，所以
，
恒成立
………………………………………………………………………5分
因为，所以，所以.
令，则在单调递增，
由于，，
所以存在唯一正数，使得，
从而.…………………………………………………………………6分
由于恒成立，
①当时，成立；
②当时，由于，所以.…………………………7分令，当时，，所以在
单调递减，从而.因为，且，且N*，所以.…………………………………………………………………8分
下面证明时，.
，且在单调递减，由于，
所以存在唯一，使得，…………………………9分
所以. ……10分
令，，易知在单调递减，
所以，
所以………………………………11分
即时，.
所以的最大值是10. …………………………………………………………12分
方法二：
由于恒成立，所以
，；
，；
，；
因为N*，所以猜想：的最大值是
10. ………………………………………………………6分
下面证明时，.
，且在单调递减，由于，
所以存在唯一，使得
，……………………………………8分
所以. (9)
令，，易知在单调递减，
所以
，………………10分所以
……………………………………………11分即时，.
所以的最大值是10.………………………………………………………………………………12分
21. 已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m
（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。

参考答案：
22. 已知,其中.
(Ⅰ)求的单调递减区间；
(Ⅱ)若在上的最大值是,求的取值范围.
参考答案：
(Ⅰ)当时,的单调递增减区间是,；
当时,的单调递增减区间是,；
当时，的单调递增减区间是. (Ⅱ)
解析：(Ⅰ)函数的定义域为，
令得，
①当时, ,
与的变化情况如下表
00
减增减所以的单调递减区间是,；…………2分
②当时, ，，
故的单调递减区间是；………4分
③当时,，
与的变化情况如下表
00
减增减所以的单调递增减区间是, .
综上,当时,的单调递增减区间是,；
当时,的单调递增减区间是,；
当时，的单调递增减区间是. …6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
① 当时,在的最大值是
但,所以不合题意；…9分
② 当时,在上单调递减，
，可得在上的最大值为,符合题意.
在上的最大值为0时,的取值范围是. …12分略。